sl(2,)到其單模V(3)和V(4)的局部導(dǎo)子

李趙鑫, 王淑娟

(黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

自Kadison[1]和Larson等[2]引入局部導(dǎo)子的概念以及Crist[3]研究了算子代數(shù)的局部導(dǎo)子以來(lái), 關(guān)于局部導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)研究得到廣泛關(guān)注[4-8]. Ayupov等[9-10]證明了特征零代數(shù)閉域上的非交換Arens代數(shù)與半單李代數(shù)到伴隨模的局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子. 但對(duì)于可解李代數(shù)的局部導(dǎo)子結(jié)論相對(duì)復(fù)雜, 既存在一族可解李代數(shù)具有非導(dǎo)子的局部導(dǎo)子, 也存在一族可解李代數(shù)的局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子的結(jié)論[11].

本文將李代數(shù)到伴隨模的局部導(dǎo)子的概念推廣到李代數(shù)到任意有限維模, 并且決定了A型單李代數(shù)sl(2,)到其兩類(lèi)單模的局部導(dǎo)子空間.sl(2,)是一類(lèi)很重要的單李代數(shù), 其表示理論決定了半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu).本文將sl(2,)到其任意單模V(n)的局部導(dǎo)子問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為線性方程組求解, 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩恒等, 得到了sl(2,)到V(4)的局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子,sl(2,)到V(3)有非導(dǎo)子的局部導(dǎo)子的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

本文約定L為復(fù)數(shù)域上的有限維李代數(shù),V為有限維L-模.令Hom(L,V)表示L到V的線性映射全體.

定義1設(shè)D∈Hom(L,V), 若

D([x,y])=xD(y)-yD(x), ?x,y∈L,

則稱D是L到V的導(dǎo)子.

令Der(L,V)為L(zhǎng)到V的導(dǎo)子全體.易證明Der(L,V)為有限維向量空間.

定義2設(shè)Δ∈Hom(L,V), 若對(duì)于任意x∈L, 均存在與x有關(guān)的D∈Der(L,V), 使得Δ(x)=D(x), 則稱Δ為L(zhǎng)到V的局部導(dǎo)子.

令Lder(L,V)為L(zhǎng)到V的局部導(dǎo)子全體.易證明Lder(L,V)為有限維向量空間.

定義3設(shè)D∈Hom(L,V), 若存在v∈V, 使得對(duì)于任意x∈L, 均有D(x)=xv, 則稱D為由v決定的內(nèi)導(dǎo)子, 將其記為Dv.易知Dv∈Der(L,V).

令I(lǐng)der(L,V)={Dv|v∈V}.易證明Ider(L,V)為有限維向量空間, 且

Ider(L,V)≤Der(L,V)≤Lder(L,V)≤Hom(L,V).

考慮跡為0的線性變換組成的特殊線性李代數(shù)sl(2,), 具有標(biāo)準(zhǔn)基e,h,f.則sl(2,)的(n+1)維單模V(n)具有標(biāo)準(zhǔn)基v0,v1,…,vn, 其模作用為

evi=i(n+1-i)vi-1,hvi=(n-2i)vi,fvi=vi+1,

其中i=0,1,…,n,v-1=vn+1=0.于是關(guān)于有序基v0,v1,…,vn,sl(2,)中每個(gè)元素均對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣.為方便, 引入矩陣E,H,F, 使得

引理1[12]設(shè)x=xee+xhh+xff∈sl(2,){0}, 其中xe,xh,xf∈.令

(xv0,xv1,…,xvn)=(v0,v1,…,vn)X.

則X=xeE+xhH+xfF, 且:

1) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), rankX=n;

引理1確定了sl(2,)中任意元素對(duì)應(yīng)矩陣的秩.

2 局部導(dǎo)子

令VL={v∈V|xv=0, ?x∈L}.

引理2若V為非平凡的單L-模, 則

a1Dv1+a2Dv2+…+akDvk=0 ?a1v1+a2v2+…+akvk=0,

其中v1,v2,…,vk∈V,a1,a2,…,ak∈.特別地,v1,v2,…,vk為V的基 ?Dv1,Dv2,…,Dvk為Ider(L,V)的基.

證明: 任取x∈L, 則

即a1Dv1+a2Dv2+…+akDvk=Da1v1+a2v2+…+akvk.于是充分性顯然成立.下面證明必要性.

設(shè)a1Dv1+a2Dv2+…+akDvk=0.對(duì)于任意的x∈L, 則

(a1Dv1+a2Dv2+…+akDvk)(x)=0,

從而

Da1v1+a2v2+…+akvk(x)=x(a1v1+a2v2+…+akvk),

于是a1v1+a2v2+…+akvk∈VL.注意到VL為V的平凡子模, 而V為非平凡的單模, 故VL=0, 進(jìn)而

a1v1+a2v2+…+akvk=0.

證畢.

由引理2可知, Ider(sl(2,),V(n))具有基Dv0,Dv1,…,Dvn.此外, 由于sl(2,)到V(n)具有平凡的一階上同調(diào), 故sl(2,)到V(n)的導(dǎo)子均是內(nèi)導(dǎo)子.于是Der(sl(2,),V(n))具有基Dv0,Dv1,…,Dvn.本文約定eij表示第i行第j列位置為1、 其余位置為0的(n+1)×3階矩陣單位.為方便, 對(duì)于0≤i≤n, 引入矩陣Di, 使得

(Dvi(e)Dvi(h)Dvi(f))=(v0v1…vn)Di.

由于Dvi(x)=xvi, 則

D0=ne12+e23,Dn=nen1-nen+1,2,Dj=j(n+1-j)ej1+(n-2j)ej+1,2+ej+2,3,

其中1≤j≤n-1.注意到Hom(sl(2,),V(n))中每個(gè)元素φ關(guān)于有序基e,h,f和v0,v1,…,vn都對(duì)應(yīng)一個(gè)(n+1)×3矩陣, 于是可設(shè)

(φ(e)φ(h)φ(f))=(v0v1…vn)Φ.

若φ∈Der(sl(2,),V(n))或Lder(sl(2,),V(n)), 則稱矩陣Φ分別為sl(2,)到V(n)的導(dǎo)子或局部導(dǎo)子.

下面將局部導(dǎo)子的求解問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為相關(guān)矩陣秩恒等的問(wèn)題.

引理3設(shè)Φ是(n+1)×3矩陣, 則Φ∈Lder(sl(2,),V(n))的充要條件是對(duì)任意的y∈3, 恒有

rankM=rank(MΦy),

其中M=(D0yD1y…Dny).

證明: 設(shè)φ∈Hom(sl(2,),V(n))關(guān)于有序基e,h,f和v0,v1,…,vn對(duì)應(yīng)的矩陣為Φ, 則Φ∈Lder(sl(2,),V(n))等價(jià)于對(duì)任意的x∈sl(2,), 均存在與x有關(guān)的a0,a1,…,an∈, 使得

φ(x)=(a0Dv0+a1Dv1+…+anDvn)(x).

(1)

令x=xee+xhh+xff,y=(xe,xh,xf)T.一方面, 有

φ(x)=φ(xee+xhh+xff)=(φ(e)φ(h)φ(f))y=(v0v1…vn)Φy;

另一方面, 有

aiDvi(x)=aiDvi(xee+xhh+xff)=ai(Dvi(e)Dvi(h)Dvi(f))y=ai(v0v1…vn)Diy.

由式(1)知

(a0D0+a1D1+…+anDn)y=Φy,

即

(D0yD1y…Dny)(a0,a1,…,an)T=Φy,

從而

M(a0,a1,…,an)T=Φy.

(2)

故Φ∈Lder(sl(2,),V(n))?對(duì)任意xe,xh,xf∈, 關(guān)于a0,…,an的線性方程組(2)有解?對(duì)任意y∈3, rankM=rank(MΦy)恒成立.證畢.

為方便, 引入一類(lèi)(n+1)×3矩陣:

下面給出本文的主要結(jié)果:sl(2,)到V(3)的所有局部導(dǎo)子.

定理1Lder(sl(2,),V(3))具有基D0,D1,D2,D3,B1,B2, 即存在sl(2,)到V(3)的局部導(dǎo)子不是導(dǎo)子.

證明: 顯然D0,D1,D2,D3,B1,B2線性無(wú)關(guān), 且每個(gè)Di均為局部導(dǎo)子.下面說(shuō)明每個(gè)Bi均為局部導(dǎo)子, 即證明對(duì)任意的y∈3, 恒有

rankM=rank(MBiy),

(3)

其中M沿用引理3中的記號(hào).根據(jù)Di的定義可知,Di的第一列為Dvi(e)在有序基v0,v1,…,vn下的坐標(biāo).又由于Dvi(e)=evi, 于是Di的第一列為E的第(i+1)列.同理,Di的第二列為H的第(i+1)列,Di的第三列為F的第(i+1)列.設(shè)y=(xe,xh,xf)T, 于是M的第(i+1)列為xeE+xhH+xfF的第(i+1)列, 從而

M=xeE+xhH+xfF,

進(jìn)而

下面分兩種情形證明式(3).

rank(MBiy)=3,i=1,2,

于是式(3)成立.下面設(shè)xexf≠0, 此時(shí)必有xh≠0.將(MB1y)的第一行依次與第二行、 第三行、 第四行交換, 再利用xf將其化為行階梯型, 得

同理將(MB2y)化為階梯型, 得

故對(duì)于B1,B2均有式(3)成立.

任取φ∈Lder(sl(2,),V(3))， 設(shè)φ關(guān)于有序基e,h,f和v0,v1,v2,v3對(duì)應(yīng)的矩陣為Φ.下面證明Φ為D0,D1,D2,D3,B1,B2的線性組合.不妨設(shè)則

① 取xh=xe=0,xf≠0, 則f0=0;

② 取xh=xf=0,xe≠0, 則e3=0;

其中

故

由xh,xf的任意性可知,

h0-3f1=0, -e0-3h1+6f2=0, -6e2-6h3=0, 3e1+6h2-6f3=0.

綜合①～③可知

證畢.

下面給出本文的另一個(gè)主要結(jié)果,sl(2,)到V(4)的所有局部導(dǎo)子.

定理2Lder(sl(2,),V(4))具有基D0,D1,D2,D3,D4, 即sl(2,)到V(4)的局部導(dǎo)子均為導(dǎo)子.

證明: 顯然D0,D1,D2,D3,D4線性無(wú)關(guān), 且每個(gè)Di均為局部導(dǎo)子.下面說(shuō)明Lder(sl(2,),V(4))的任意元素φ均為D0,D1,D2,D3,D4的線性組合.仍沿用上述符號(hào)M,y,Φ, 則

從而有以下結(jié)論：

① 取xh=xe=0,xf≠0, 則f0=0;

② 取xh=xf=0,xe≠0, 則e4=0;

③ 取xe=xf=0,xh≠0, 則h2=0;

其中

故

由xh,xe,xf的任意性知,

-4f1+h0=0, -4f2+e0=0, 24h3+8e2=0, -4e1+24f3=0,

-4e2+24f4=0, -4h1+8f2=0, 24e3+24h4=0.

綜合①～④可知

證畢.