有界線性算子的(UWΠ)性質及亞循環性

趙巨濤, 曹小紅

(1. 長治學院 數學系, 山西 長治 046011; 2. 陜西師范大學 數學與統計學院, 西安 710119)

1 引言與預備知識

Weyl[1]研究表明, Hilbert空間中自伴算子的Weyl譜恰好等于該算子的譜集除去有限重的孤立特征值, 該結論稱為Weyl定理.之后, 許多數學工作者對Weyl定理進行了變型和推廣[2-4].(UWΠ)性質[5]是Weyl定理的一種變型, 關于該性質的研究目前得到廣泛關注[6-8].本文利用新的譜集, 討論算子或者算子函數的(UWΠ)性質與亞循環性之間的關系.

令ρea(T)={λ∈:T-λI為上半Fredholm算子且ind(T-λI)≤0},ρSF+(T)={λ∈:T-λI為上半Fredholm算子},σea(T)=ρea(T)稱為算子T∈B(H)的本質逼近點譜.可以證明σea(T)?[σw(T)∩σa(T)].記ρ(T)=σ(T),ρw(T)=σw(T),ρb(T)=σb(T),σ0(T)=σ(T)σb(T).對集合E?, 用isoE,accE和intE分別表示E中孤立點的全體、E聚點的全體及E內點的全體.

2 主要結果

對T∈B(H), 若

σa(T)σea(T)=PD(T),

則稱T滿足(UWΠ)性質[5], 記作T∈(UWΠ), 其中PD(T)=σ(T)σD(T).

令T∈B(H), 對x∈H,x在T下的軌道定義為

Orb(T,x)={x,Tx,T2x,…}.

1)σw(T)∪?D連通;

2)σ0(T)=σ(T)σb(T)=?;

3) ?λ∈ρSF(T), ind(T-λI)≥0.

例1設A,B∈B(l2)定義為

A(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…),B(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…).

σa(T)=D,σea(T)=?D,PD(T)=?,

于是T?(UWΠ).

例2設T∈B(l2)定義為

T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…),

例3設A,B∈B(l2)定義為

A(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…),B(x1,x2,x3,…)=(0,x2,x3,x4,…),

σa(T)={0}∪{λ∈: |λ|=1},σea(T)={λ∈: |λ|=1},PD(T)=?,

σa(T)=σea(T)=σ(T)=σw(T)=σb(T),PD(T)=?.

下面討論這兩種性質同時成立的條件, 為此先定義一個新的譜集, 令

記σ1(T)=ρ1(T), 則顯然σ1(T)?σw(T)?σb(T)?σ(T).

若T∈(UWΠ), 則ρ1(T)?ρ(T)∪ isoσ(T).事實上, 若λ0∈ρ1(T), 則存在>0, 使得當0<|μ-λ0|<時,T-μI為Weyl算子, 且

由于T∈(UWΠ), 則T-μI為Browder算子.設asc(T-μI)=p, 則由文獻[14]中引理3.4知,

于是當0<|μ-λ0|<時,T-μI可逆.從而λ0∈ρ(T)∪ isoσ(T).

σ(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞},

且σ(T)∪?D連通.

σ(T)?[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}

顯然成立.對于反包含, 設

λ0?[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}.

由σea(T)=σ(T)知, accσ1(T)∩σea(T)=accσ1(T).從而必有λ0?accσ1(T).于是存在>0, 使得當0<|λ-λ0|<時,λ∈ρ1(T).故λ∈ρ(T)∪ isoσ(T).由于λ0?accisoσ(T), 故可知λ0∈isoσ(T)∪ρ(T).若λ0∈isoσ(T), 則利用λ0?{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}知des(T-λ0I)<∞.于是由文獻[15]中定理2.6知,T-λ0I為Drazin可逆的, 即λ0∈PD(T), 與PD(T)=?矛盾.因此可得λ0∈ρ(T), 即λ0?σ(T).

反之, 先證明T∈(UWΠ).根據半Fredholm算子攝動定理[15]可知,

ρSF(T)∩[accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}]=?,

于是

因此

[σa(T)σea(T)]∩σ(T)=[σa(T)σea(T)]=?.

同理易見

PD(T)∩{[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}}=?,

于是σa(T)σea(T)=PD(T), 即T∈(UWΠ).

σ0(T)∩{[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}}=?

知,σ0(T)=σ0(T)∩σ(T)=?.同理可證明σw(T)=σ(T), 于是σw(T)∪?D連通.又由

例5令T∈B(l2)定義為

T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…),

σ(T)=D, accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}=?.

于是

σ(T)≠accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞},

即[accσ1(T)∩σea(T)]不可缺.

σ(T)≠[accσ1(T)∩σea(T)]∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞},

即accisoσ(T)不可缺.

例8令A,T∈B(l2)定義為

則σ(T)=σea(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}且σ(T)∪?D, 但T?(UWΠ).

由文獻[15]中定理2.6知,

?σ(T)∩{λ∈: des(T-λI)<∞}?PD(T),

故當PD(T)=?時, ?σ(T)∩{λ∈: des(T-λI)<∞}=?.又由于accisoσ(T)??σ(T), 從而accisoσ(T)∩{λ∈: des(T-λI)<∞}=?.于是當PD(T)=?時, accisoσ(T)?{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}.從而當T∈(UWΠ)且時, 由定理1知,

σ(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}.

根據半Fredholm算子的攝動定理可知,

ρSF(T)∩?σ(T)?ρb(T)?{λ∈: des(T-λI)<∞}.

在定理1或推論1中, 利用包含關系intσ1(T)?accσ1(T), 將accσ1(T)改為intσ1(T), 同理可證下列結論, 即下列敘述等價:

2)σ(T)=[intσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}, 且σ(T)∪?D連通;

3)σ(T)=[intσ1(T)∩σea(T)]∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}, 且σ(T)∪?D連通.

下面用H(σ(T))表示在σ(T)的一個鄰域上解析, 并且在σ(T)的任一分支上不為常值的函數的全體.

若σ(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}或者σ(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}, 則由定理1的證明可知,

σa(T)=σea(T)=σ(T)=σw(T),PD(T)=σ0(T)=?，

且任給λ∈ρSF(T), ind(T-λI)≥0.由半Fredholm算子指標的特點可知, 此時對于算子T,σw(·)滿足譜映射定理[2].類似文獻[2]中定理5可證, 此刻σea(·)也滿足譜映射定理.于是任給f∈H(σ(T)),

PD(f(T))=σ0(f(T))=?且σa(f(T))=f(σa(T))=f(σea(T))=σea(f(T)),

從而f(T)∈(UWΠ).再利用指標的特點可知, 任給f∈H(σ(T))及任給μ∈ρSF(f(T)), ind(f(T)-μI)≥ 0.從而可得下列結論.

推論3設σ(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}或者σ(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}連通.若f∈H(σ(T)), 且存在λ0∈σ(T), 使得|f(λ0)|≠0, 則存在c∈, 使得且f(T)∈(UWΠ).

1)T∈(UWΠ);

2)σ(T)=accσ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞};

3)σ(T)=accσ1(T)∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞};

4)σ(T)=intσ1(T)∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}.

定理2設T∈B(H), 則任給f∈H(σ(T)),f(T)∈(UWΠ)當且僅當下列結論之一成立:

1)σa(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}, 且任給λ,μ∈ρSF+(T), ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0;

2)σb(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}.

證明: 充分性.設結論1)成立.由

σa(T)=[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}

可證得σa(T)=σea(T),PD(T)=?.任給f∈H(σ(T)), 根據PD(f(T))?f(PD(T))知PD(f(T))=?.又由半Fredholm算子指標的特點知,σea(·)滿足譜映射定理, 即任給f∈H(σ(T)),σea(f(T))=f(σea(T)), 于是σea(f(T))=f(σea(T))=f(σa(T))=σa(f(T)).從而任給f∈H(σ(T), 有f(T)∈(UWΠ).

設結論2)成立.由于

[σea(T)]∩{[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}}=?,

PD(T)∩{[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}}=?,

則

σea(T)=σb(T),PD(T)?σ0(T).

又由于

從而

{λ∈ρSF(T): ind(T-λI)<0}∩σb(T)=?.

但由于{λ∈ρSF(T): ind(T-λI)<0}?σb(T), 故{λ∈ρSF(T): ind(T-λI)<0}=?, 即任給λ∈ρSF(T), 有ind(T-λI)≥0.

設f∈H(σ(T)), 并設

μ0∈σa(f(T))σea(f(T)).

反之, 令μ0∈PD(f(T)), 且令f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中λi≠λj(i≠j),g(T)可逆.不失一般性, 不妨設任給λi(1≤i≤k),λi∈σ(T), 由于Drazin譜滿足譜映射定理, 于是任給λi(1≤i≤k),λi∈PD(T).又由于PD(T)=σ0(T), 于是任給1≤i≤k,T-λiI為Browder算子.從而f(T)-μ0I為Browder算子, 即μ0∈σa(f(T))σea(f(T)).于是再次證明了f(T)滿足(UWΠ)性質.

必要性.此時顯然T∈(UWΠ).首先可斷言: 任給λ,μ∈ρSF+(T), ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0.事實上, 若存在λ0,μ0∈ρSF+(T), 使得ind(T-λ0I)=n>0, ind(T-μI)=-m<0.則n必為有限正整數,m為正整數或者+∞.若m有限, 則定義f0(T)=(T-λ0I)m(T-μ0I)n, 否則設f0(T)=(T-λ0I)(T-μ0I).從而0∈σa(f0(T))σea(f0(T)).由于f0(T)∈(UWΠ), 則f0(T)為Browder算子, 于是T-λ0I和T-μ0I均為Browder算子, 與ind(T-λ0I)=n>0, ind(T-μI)=-m<0矛盾.所以斷言成立.

下面分兩種情形討論.

情形1) 設σ0(T)=?.下面證結論1)必成立.

此時由T∈(UWΠ)知,σa(T)=σea(T),PD(T)=?.包含關系σa(T)?[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}顯然成立.反之, 設λ0?{[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}}.若λ0?σea(T), 則λ0?σa(T).下設λ0?accσ1(T).類似于定理1的證明可知,λ0∈PD(T)∪ρ(T).由于PD(T)=?, 則λ0∈ρ(T), 于是λ0?σa(T).

情形2) 設σ0(T)≠?.下面證結論2)必成立.

首先可斷言:σb(T)=σea(T).

事實上, 設λ0?σea(T), 取μ0∈σ0(T).令f(T)=(T-λ0I)(T-μ0I), 則0∈σa(f(T))σea(f(T)).由于f(T)滿足(UWΠ)性質, 于是f(T)為Browder算子, 從而T-λ0I為Browder算子, 即得σb(T)?σea(T).反包含顯然成立, 于是σb(T)=σea(T).

類似于定理1可知,

σb(T)?{accσ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}}.

又由于σb(T)=σea(T), 于是

σb(T)?[accσ1(T)∩σea(T)]∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}.

反包含顯然成立.故結論2)成立.證畢.

1) 任給f∈H(σ(T)),f(T)∈(UWΠ);

2)σ(T)=accσ1(T)∪ accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞};

3)σ(T)=accσ1(T)∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞};

4)σ(T)=intσ1(T)∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞};

5)T∈(UWΠ).

必要性.由定理1顯然可得.證畢.

結合定理1, 可得下列結論.

推論7設T∈B(H), 則下列敘述等價:

3)σ(T)=accσ1(T)∪ accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}, 且σ(T)∪?D連通;

4)σ(T)=accσ1(T)∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}, 且σ(T)∪?D連通;

5)σ(T)=intσ1(T)∪{λ∈?σ(T): des(T-λI)=∞}, 且σ(T)∪?D連通.

若任給x∈H, 有‖T*x‖2≤‖T2x‖·‖x‖, 則T∈B(H)稱為*-paranormal算子， 其中T*表示T的共軛算子.若任給λ∈,T-λI均為*-paranormal算子, 則T∈B(H)稱為完全*-paranormal算子.

對完全*-paranormal算子T, ?λ∈,T-λI均有有限的升標.于是當T為完全*-paranormal算子時, 有下列性質: ?λ∈ρSF+(T), ind(T-λI)≤0.

若T的共軛算子T*為完全*-paranormal算子, 則σea(T)=σb(T),σa(T)=σ(T).于是

accσ1(T)∩σea(T)=accσ1(T),σa(T)σea(T)?PD(T),

且任給λ∈ρSF(T), 均有ind(T-λI)≥0.于是有:

推論9若算子T*∈B(H)為完全*-paranormal算子, 則任給f∈H(σ(T)),f(T)∈(UWΠ)當且僅當下列結論之一成立:

1)σ(T)=accσ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞};

2)σb(T)=accσ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈isoσ(T): des(T-λI)=∞}.