Hilbert空間下CAANA序列的完全矩收斂

費(fèi)丹丹, 付宗魁, 李彩娟

(信陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

定義1[1-2]若存在非負(fù)序列{q(m),m≥1}滿足q(m)→0,m→0, 且對(duì)任意的m,k≥1, 有

Cov(f(Xm),g(Xm+1,Xm+2,…,Xm+k))≤q(m)(Var(f(Xm))Var(g(Xm+1,Xm+2,…,Xm+k)))1/2,

則稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是AANA(asymptotically almost negatively associated)的, 其中f,g是關(guān)于每個(gè)變?cè)獑握{(diào)非降的連續(xù)函數(shù), 并且存在方差, {q(m),m≥1}稱為該AANA序列的混合系數(shù).

顯然, AANA序列包含了獨(dú)立序列和NA序列[2]. 由于AANA序列在金融保險(xiǎn)、 可靠性分析、 多元統(tǒng)計(jì)分析和時(shí)間序列分析中應(yīng)用廣泛, 因此已得到廣泛關(guān)注, 并且取得了一系列研究結(jié)果. 例如： Wang等[3]研究了AANA序列的強(qiáng)大數(shù)律和重對(duì)數(shù)律； Yuan等[4]得到了AANA序列的Rosenthal型不等式； Shen等[5]討論了AANA序列的強(qiáng)收斂性； Xi等[6]得到了AANA隨機(jī)變量的完全矩收斂; Ko[7]將AANA的概念拓展到Hilbert空間. 設(shè)(H,‖·‖)為實(shí)可分Hilbert空間, 其中‖·‖=〈·,·〉， 〈·,·〉表示內(nèi)積.設(shè){ej,j≥1}為H中單位正交向量序列, 若X為H值隨機(jī)向量, 則X(j)=〈X,ej〉.

定義2[7]若存在H中單位正交序列{ej,j≥1}, 使得對(duì)任意的d(d≥1)維序列{(〈Xi,e1〉,…,〈Xi,ed〉),i≥1}是AANA的, 則稱H值隨機(jī)向量序列{Xn,n≥1}是AANA的.

完全收斂性的概念由Hsu等[8]提出, Chow[9]對(duì)其進(jìn)行了深入研究, 給出了完全矩收斂的概念, 這些研究成果目前已成為概率極限理論中的重要內(nèi)容. 例如： 文獻(xiàn)[10-12]研究了獨(dú)立和混合相依序列實(shí)值情形的結(jié)果； 文獻(xiàn)[13-15]討論了關(guān)于Banach空間值情形的結(jié)果； 文獻(xiàn)[7,16-19]得到了Hilbert空間H值情形的結(jié)果. 特別地, Sung[12]研究了NA序列的完全收斂性, 得到如下結(jié)果：

本文在Sung[12]研究結(jié)果的基礎(chǔ)上, 考慮Hilbert空間下不同分布CAANA序列的完全矩收斂, 所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了Sung[12]的結(jié)論.

定義4[20]設(shè){X,Xn,n≥1}為H值隨機(jī)向量序列, 若存在正常數(shù)C, 使得

則稱{Xn,n≥1}正交弱一致有界于X.簡(jiǎn)記為{Xn,n≥1}X.

本文C在不同之處表示不同的常數(shù), a.s.表示幾乎處處,I(A)表示集合A的示性函數(shù), logx=ln max{x,e}, ?x∈.

2 引 理

引理1[5]設(shè){Xn,n≥1}是混合系數(shù)為{q(n),n≥1}的AANA隨機(jī)變量序列, 若{fn(·),n≥1}為單調(diào)不增(或單調(diào)不減)的函數(shù)序列, 則{fn(Xn),n≥1}仍是混合系數(shù)為{q(n),n≥1}的AANA隨機(jī)變量序列.

引理3[21]設(shè){X,Xn,n≥1}為任意的隨機(jī)變量序列, 若存在正常數(shù)C, 使得

則對(duì)任意常數(shù)a>0,b>0,C1>0,C2>0, 下列不等式成立：

(1)

其中bn=n1/α(logn)1/γ,X(j)=〈X,ej〉.

證明: 對(duì)?n,i,j≥1, 記

首先, 證明

(2)

由式(3)和式(4)知式(2)成立.對(duì)充分大的n, 有

于是, 為證式(1)成立, 只需證H1<∞,H2<∞.

對(duì)H1, 由Markov不等式、 引理3和α/γ>1, 得

(6)

證畢.

3 主要結(jié)果

(8)

其中bn=n1/α(logn)1/γ,X(j)=〈X,ej〉.

證明: 對(duì)?n,i,j≥1, 記

對(duì)?ε>0, 由式(8)知

為證式(8)成立, 由式(1)知只需證

(9)

對(duì)式(9), 易得

(10)

由式(10)～(13)知式(9)成立.證畢.

注1若{X,Xn,n≥1}是混合系數(shù)為{q(n),n≥1}的同分布H值CAANA隨機(jī)向量序列, 則定理2仍然成立.

注2若{X,Xn,n≥1}是同分布H值CNA(coordinatewise negatively associated)隨機(jī)向量序列和獨(dú)立隨機(jī)向量序列, 則定理2仍然成立.

證明: 為證式(8)成立, 只需證式(1)和式(9)成立.先證式(1)成立, 由γ<α和1/2<α<2得

下面證式(9)成立, 由γ<α和1/2<α<2知

因此, 式(8)成立.