NA序列部分和之和乘積的極限定理

李雪峰, 陸冬梅

(長春電子科技學院, 長春 130114)

1 引言及主要結果

定義1[1]如果對于集合{1,2,…,n}的任意兩個不相交的非空子集T1和T2, 均有

Cov(f(Xi,i∈T1),g(Xj,j∈T2))≤0,

則稱隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)為負相關的(negatively associated, NA), 其中f和g是任意兩個使得協方差存在且對每個變元均非降(或均非升)的函數.如果對任意的n≥1, (X1,X2,…,Xn)為NA的, 則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}為NA序列.

NA隨機變量在可靠性理論、 滲透性理論及多元分析中應用廣泛[2]. 目前, 關于NA隨機變量性質的研究已有許多結果[3-11].設{Xn,n≥1}是均值為1的獨立同分布指數隨機變量序列, 文獻[12]證明了:

(1)

利用Stirling公式, 式(1)等價于

(2)

本文中N均為標準正態隨機變量.由定理1可得以下推論:

注1定理1的結果推廣了文獻[14]的結果, 即從NA序列部分和乘積推廣到NA序列部分和之和乘積.

假設條件:

(H1)g(x)為[n0,∞)上具有非負導數g′(x)的正值可導函數, 且g(x)↑∞,x→∞;

定理2在定理1的假設條件下, 如果假設條件(H1)和(H3)成立, 則對于s>0, 有

(3)

(4)

(5)

由定理2和定理3可得以下推論：

注2定理2和定理3的結果推廣了文獻[19]的結果, 即從ρ-混合序列部分和之和乘積精確漸近性推廣到NA序列部分和之和乘積精確漸近性.

注3滿足假設條件(H1)～(H3)的g(x)有很多, 例如g(x)=xα,(logx)β,(log logx)γ, 其中α>0,β>0,γ>0為某些適當的參數, 下列推論是一些經典的實例.

推論3在定理2中取g(n)=n(2-p)/(2p),s=1, 其中1≤p<2, 則有

推論5在定理2中取g(n)=log logn,s=d, 其中d>0, 則有

推論8在定理3中取g(n)=loglogn,s=d,t=1-b, 其中0b, 則有

2 主要結果的證明

2.1 定理1的證明

引理2[3]設{Xn,n≥1}為一嚴平穩NA隨機變量序列, 滿足

n-1/pTn→0, a.s.n→∞.

引理3[3]在定理1的假設條件下, 有

(6)

下面證明定理1.當x>-1時, 有

log(1+x)=x+xθ(x),

其中當x→0時,θ(x)→0.則有

由引理2(取p=2)以及θ(x)→0可知, 當x→0時, 有

另一方面, 由引理3可知,

利用Markov不等式, 可得

(8)

從而由式(7)和式(8)以及Slutsky引理知, 要證式(2)成立, 只需證明下式成立即可：

(9)

從而

即引理1的條件都滿足, 進而式(9)成立, 定理1得證.

2.2 定理2的證明

引理4[21]在定理2的假設條件下, 有

引理5在定理2的假設條件下, 有

證明: 只需證明式(10)成立, 式(11)類似可證.由定理1可知

注意到

因此由Stolz定理, 可得

引理6[21]在定理2的假設條件下, 有

引理7在定理2的假設條件下, 有

證明: 顯然, 由式(13)成立可推出式(12)成立, 因此只需證明式(13)成立即可.注意到要證式(13)成立, 只需證明下式成立:

(14)

由于對任意的x>-1, 有log(1+x)≤x, 從而要證式(14)成立, 只需說明下式成立即可:

由n>b(ε)可推出εgs(n)>ε1-rs, 通過簡單交換求和次序可知

(15)

下面證明定理2.由引理4～引理7以及三角不等式可知定理2成立.

2.3 定理3的證明

記d(ε)=[g-1(Mε-1/s)], 其中g-1(x)為g(x)的反函數,M≥1.

引理8[21]在定理3的假設條件下, 有

引理9在定理3的假設條件下, 有

證明: 注意到0

注意到

由Stolz定理可得

引理10[21]在定理3的假設條件下, 有

引理11在定理3的假設條件下, 有

(16)

證明: 由于對任意的x>-1, 均有log(1+x)≤x, 因此要證式(16)成立, 只需說明下式成立即可：

下面證明定理3.由引理8～引理11以及三角不等式可知定理3成立.