環形電機耦合網絡混沌行為的抑制控制

梅春草, 許麗娟

(廣州華商學院 數據科學學院, 廣州 511300)

永磁同步電動機(PMSM)具有效率高、 轉矩電流比和功率密度大等優點[1-2], 作為一種可從模型上證明的混沌電機系統, 其混沌行為的控制與同步研究已引起人們廣泛關注. PMSM系統的參數值在一定范圍內會出現混沌行為,d-q軸電流直接影響轉矩控制, 為實現更好的系統動態性能, 其在矢量控制的PMSM中發揮重要作用[3]. Wei等[4-5]研究了PMSM系統的混沌和分岔等動力學行為, 結果表明, PMSM達到混沌控制的表現為當時間趨于無窮時, 永磁同步電動機的狀態變量達到穩定平衡狀態. 為消除PMSM的混沌行為, 人們提出了較多控制策略, 其中包含線性控制器和非線性控制器. 由于PMSM是一個受參數變化和多重耦合狀態影響的非線性系統, 采用線性控制算法不易獲得良好的控制性能, 因此對非線性反饋控制器的設計越來越多, 如模糊邏輯控制[6]、 滑?？刂芠7]、 預測控制[8]、 神經網絡控制[9]和自適應控制[10]等. PMSM作為一個三維自治系統可結合非線性定理推出合適的控制函數, 如基于有限時間穩定理論、 Lyapunov穩定性理論以及LaSalle不變集定理設計的控制算法[11-13]均具有結構簡單、 控制效果好以及控制時間短等優點.

PMSM在電力系統中作為負載具有耗電功能, 控制電機速度的穩定性在電力系統輸電-發電-配電過程中有重要影響. Tan等[14]采用直流電機等效分數階模型對永磁同步電機速度伺服系統進行建模, 利用自適應遞推最小二乘約束廣義預測控制器(GPC)控制了模型階數未知、 恒負載轉矩和正弦負載兩種負載狀態下永磁同步電機的轉速問題. 在電網穩定運行過程中, 突然加入負載對電網互聯是不可避免的, 研究并網后電力系統的同步穩定性具有一定的實際意義[15-16]. 文獻[17]通過計算電力系統中負載與發電機相互連接的相關系數, 實現了電網的自然同步； 文獻[18]以永磁同步電動機外部耦合Kuramoto電網模型為例, 研究了空間分布式電網與用戶負載間的同步問題； 在網絡拓撲關系中, 雙向耦合的小世界電機網絡基于動力中繼節點的參數不匹配降低了同步耦合強度的臨界值, 以促進節點間的同步特性[19]. 目前研究的網絡拓撲結構主要有Erd?s-Rényi(ER)隨機網絡模型[20]、 環形網絡模型[15]和Barabsi-Albert(BA)無標度網絡模型[21]等, 因此利用網絡拓撲結構的宏觀規律對電機網絡進行同步控制, 可進一步探索電機網絡的同步聚散能力與網絡拓撲結構的內在關系.

基于此, 本文基于Lyapunov穩定性理論提出一種新的非線性反饋控制器, 研究具有反饋控制器的單臺PMSM混沌行為, 并將這臺PMSM作為外部驅動系統, 加入環形電機網絡中研究整個電網的同步穩定特性. 在環形網絡中選取節點數N=100的電動機作為響應系統, 通過外部PMSM系統與電動機節點間的外部耦合函數, 實現電機網絡的混沌抑制. 結果表明， 設計的反饋控制器結構簡單, 控制效果較好.

1 PMSM動力學分析

1.1 PMSM數學模型

PMSM數學模型為三維自治系統[22], 其無量綱均勻氣隙的數學模型為

(1)

其中:Iq,Id,ω為系統狀態變量, 分別表示q軸、d軸定子電流和轉子角速度； 參數uq,ud,TL分別為q軸、d軸外加電壓和外部扭矩.

本文考慮電機沒有外力的情形[23], 即PMSM系統處于零輸入狀態, 系統(1)變為

(2)

其中γ和σ均為正實數, 其多種組合可使均勻氣隙PMSM系統出現混沌行為.

1.2 PMSM混沌行為

PMSM混沌行為的出現取決于分岔影響. 當系統參數σ=4.5時, 以γ為分岔參數作用于系統狀態變量ω的分岔行為如圖1所示.由圖1可見,ω變量在參數γ的影響下出現分岔行為, 表明PMSM處于混沌運行狀態.在圖1中取σ=4.5,γ=25, 設置系統的初始值(Iq,Id,ω)=(0.1,2,-5), PMSM混沌相圖和狀態變量的時序分別如圖2和圖3所示.

圖1 PMSM分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of PMSM

圖2 PMSM混沌相圖Fig.2 Chaotic phase diagram of PMSM

圖3 PMSM狀態變量的時序Fig.3 Time sequences of PMSM state variables

2 基于Lyapunov穩定性理論的非線性反饋控制器

由于PMSM在系統參數特定的范圍內會產生混沌不穩定現象, 因此設計一種非線性反饋控制器, 并分析PMSM混沌系統在該反饋控制器作用下的動力學行為. 為計算方便, 令Iq=x1,Id=x2,ω=x3, 則PMSM數學模型(2)變為

(3)

設計一個非線性反饋控制器

(4)

其中κ為非線性反饋系數.

因此, 具有非線性反饋控制的PMSM模型為

(5)

根據Lyapunov穩定性理論分析可知, Lyapunov函數的構造不唯一[12]. 本文將構造一個與PMSM混沌系統相關的Lyapunov函數V(x1,x2,x3), 若使PMSM混沌系統趨于穩定狀態, 則需保證V(x1,x2,x3)為正定函數, 即V(x1,x2,x3)>0.構造函數

(6)

顯然, 式(6)的函數是正定的.

根據定理1, 對式(6)求導可得

(7)

將式(4)和式(5)代入式(7)可得

3 具有反饋控制器的單臺PMSM動力學行為分析

下面用數值仿真證明系統參數σ大于反饋系數κ時的PMSM系統具有混沌抑制作用.采用步長h=0.001的四階Runge-Kutta法[25]對具有非線性反饋控制的PMSM系統動力學模型(式(5))進行仿真實驗, 設置系統參數σ=4.5,γ=25, 使PMSM在無反饋控制器的作用下處于混沌狀態, 非線性反饋系數κ=4.38體現反饋控制器作用于PMSM的混沌行為.為觀察非線性反饋控制器對已產生混沌現象的PMSM系統動力學行為的影響, 在t=30 s時加入反饋控制器, 圖4為PMSM系統各狀態變量間的時序. 由圖4可見： PMSM系統在30 s時加入反饋控制器使混沌行為轉變成穩定運行狀態, 并使各狀態變量逐漸穩定于零點狀態, 即系統平衡點；ω在t=62.5 s后趨于0, 驗證了非線性反饋控制器抑制PMSM系統的混沌行為, 進一步證明了該控制器的有效性.

設σ=4.5,κ=4, 觀察PMSM混沌行為趨于穩定時間的長短, 在t=30 s時加入反饋控制器, 其狀態變量的時序如圖5所示.由圖5可見，ω在t=36 s后趨于0, 與圖4的ω變量相比, 圖5的狀態變量趨于穩定所需時間更短.因此, 當增大σ-κ之差時, PMSM混沌系統趨于平衡點所需時間更短, 表明PMSM越快趨于穩定運行狀態.

圖4 當σ=4.5, κ=4.38時, PMSM狀態變量的時序Fig.4 Time sequences of PMSM state variables when σ=4.5, κ=4.38

圖5 當σ=4.5, κ=4時, PMSM狀態變量的時序Fig.5 Time sequences of PMSM state variables when σ=4.5, κ=4

為進一步體現PMSM穩定狀態對系統參數σ與反饋系數κ間的依賴性, 研究σ-κ的變化對PMSM系統混沌行為的影響.將σ-κ作為自變量, 選取系統運行時間t=40 s時角速度狀態變量ω值作為因變量, 觀察σ-κ與系統變量趨于穩定時間的快慢, 結果如圖6所示.由圖6可見, 當σ-κ=0.12時, 系統運行t=40 s時角速度ω未達到零點穩定狀態； 當σ-κ=0.5時, 系統運行t=40 s時角速度ω已處于零點穩定狀態, 表明系統參數σ和反饋系數κ之差越大, PMSM混沌系統趨于平衡點所需時間越短, 即PMSM混沌系統越快趨于穩定運行狀態.

圖6 σ-κ與角速度狀態變量ω的關系Fig.6 Relationship between σ-κ and angular speed state variable ω

4 具有反饋控制器的PMSM誘發環形電機網絡動力學行為

4.1 具有反饋控制器的PMSM耦合環形電機網絡的數學模型

環形網絡是電力系統網絡中最常見的一種拓撲結構. 將具有非線性反饋控制器的PMSM作為一個驅動節點, 連接到由PMSM作為響應節點的環形拓撲網絡中, 研究整個環形電機網絡的同步行為. 環形網絡由N個相同的PMSM混沌節點組成, 每個節點由一個n維動態系統構成, 節點間僅通過一個狀態變量進行耦合, 其表達式為

Xi=f(Xi)+hi,

(9)

其中i=1,2,…,N,Xi=(xi,1,xi,2,…,xi,n)T∈n是網絡中每個節點的狀態變量,hi=(hi,1,hi,2,…,hi,n)T∈n是每個節點i的耦合輸入信號, 包含節點間自身的內耦合項和外部其他系統節點連接的外耦合項.由于PMSM是三維自治動態系統, 因此網絡中每個節點均為一個PMSM系統, 取q軸電流狀態變量作為耦合變量, 根據式(9)可知n=3,Xi=(xi,1,xi,2,xi,3)T∈3, 則環形電機網絡耦合的狀態方程為

(10)

其中常數c1和c2分別表示環形網絡的內耦合強度和外耦合強度,A=(aij)為由常數0和1構成的內耦合矩陣, 當環形網絡節點i和節點j連接時,aij=1, 否則aij=0.假設環形網絡模型節點數N=5, 具有非線性反饋控制器的電動機PMSM對其進行外部耦合, 圖7為其模型示意圖.由圖7可見, 環形網絡中相鄰的節點間有連接, 即體現了環形網絡的內耦合作用, 其鄰接矩陣為

圖7 電動機外部耦合環形網絡示意圖Fig.7 Schematic diagram of motor external coupling ring network

外部PMSM對環形網絡具有全局耦合作用, 表明外部PMSM對環形網絡中每個節點均有外耦合的影響, 這為具有反饋控制器的PMSM系統誘發網絡中每個節點實現混沌抑制提供了可能性, 并最大限度節省了電力網絡趨于穩定運行所需時間. 下面研究具有反饋控制器的PMSM系統誘發環形網絡的穩定同步行為.

4.2 具有反饋控制器的PMSM誘發環形電機網絡的混沌抑制

首先, 分析環形網絡在無耦合連接作用下的動力學行為. 設網絡節點數N=100, 每個節點的狀態變量初始值各不相同, (Idi,Iqi,ωgi)T=(20,0.1,-5)T+0.1×(i-1)×(1,2,3)T.令網絡自身的內耦合常數c1=0.1, 由于無外部耦合作用, 因此外耦合常數c2=0, 對環形網絡進行數值仿真, 網絡各節點狀態變量的時序如圖8所示.由圖8可見, 在外部PMSM系統的耦合項未加入環形網絡前(c2=0), 網絡中各節點均處于混沌運行狀態, 表明環形網絡在內耦合項條件下是不穩定的.

圖8 無外部耦合時的環形網絡各變量時序波形Fig.8 Time sequence waveforms of each variable in ring network without external coupling

其次, 為研究外部耦合系統對原始環形網絡的動力學行為影響, 改變外耦合常數值, 觀察網絡混沌行為達到混沌同步或混沌抑制的效果.令內耦合常數c1=0.1, 外耦合常數c2=1.58, 外部PMSM系統參數σ=4.5, 反饋系數κ=4, 其數值仿真結果如圖9所示.由圖9可見, 環形網絡各節點狀態變量在t=10 s后趨于一個穩定值, 即抑制了環形電機網絡的混沌行為, 實現了振幅死亡的效果. 表明具有反饋控制器的PMSM系統可誘發環形網絡實現混沌抑制, 進一步體現了非線性反饋控制器對單機PMSM混沌行為有抑制作用, 并可誘發電力網絡實現振幅死亡的結果.

圖9 外部耦合常數c2=1.58時的環形網絡各變量時序波形Fig.9 Time sequence waveforms of each variable in ring network when external coupling constant c2=1.58

綜上, 本文提出了一種非線性反饋控制器, 先用Lyapunov穩定性理論證明其正確性, 實現了永磁同步電動機PMSM系統各變量趨于零點的穩定狀態; 再將這臺已被穩定控制的PMSM作為電機網絡的外部耦合系統, 加入節點由PMSM系統組成的環形網絡中, 利用外部耦合常數誘發了環形網絡實現振幅死亡的結果. 數值仿真結果表明, 該控制器有效, 控制效果較好, 并縮短了混沌系統達到穩定狀態所需時間, 對電機網絡穩定運行的研究提供了一種具有實際意義的控制方法.