基于Melnikov法的雙擺系統混沌特性研究

劉丁楊， 蹇開林,2， 張 亮,2

(1. 重慶大學 航空航天學院，重慶 400044；2. 重慶大學 非均質材料力學重慶市重點實驗室，重慶 400044)

雙擺系統廣泛的存在于生活與工程中，包括人手腳的運動、機械臂、機械足、高爾夫球手的揮桿、吊車、起重機、受電弓以及各種各樣的雙擺角主軸頭和旋轉雙擺系統都可以簡化為雙擺模型，因此雙擺的混沌研究具有十分重要的意義[1-9]。雖然雙擺是由兩個簡單擺耦合而成的簡單系統，但其運動狀態卻表現出極為復雜的動力學現象，具體表現為第二擺的運動軌跡雜亂無序。雙擺作為不可積二自由度Hamilton系統，雖然運動方程可以通過Euler-Lagrange方程得到，但對運動混沌性的研究一直沒有什么定論。

凌復華和徐如進通過Birkhoff級數形式的正則變換研究系統的可積性，當系統處于較低能級時，系統是近可積的，其近似積分具有大量代表擬周期解的封閉曲線以及代表周期解的離散點，此時系統的運動狀態并非混沌；當系統處于較高能級時，系統是不可積的，此時系統的運動狀態是混沌的[10]。Martynyuk等[11]通過系統對稱性喪失判斷出軌跡中出現非周期解，進而產生混沌運動，利用動態對稱原理分析對稱性喪失的條件，證明了雙擺質量比較大時，雙擺存在有條件的周期性軌跡和混沌軌跡。Stachowiak等[12]通過Poincaré截面圖研究雙擺，表明隨著能量的增加，雙擺將從周期運動轉變為準周期運動，進而轉變為混沌運動。Calvao等[13]不僅比較了分岔圖、最大Lyapunov指數譜圖、功率譜圖、傅里葉變換圖、時間歷程圖等不同方法在混沌研究中的優缺，而且研究了兩擺初始角度對雙擺混沌的影響。Mukul等[14]著眼于質量比與擺長比對混沌的影響，比較不同情況下，雙擺的運動狀態，得到雙擺隨質量和長度的增加而傾向混沌的結論。Yang等[15-19]鉆研拓撲馬蹄理論，基于拓撲馬蹄的存在條件編寫了一個MATLAB工具箱Horseshoe Tool；通過相空間“降維-升維”的思想設計四維時間連續系統尋找算法，使尋找馬蹄的工作變得簡單高效；將理論應用于雙擺模型，在系統某一能量面的Poincaré截面上選取適當的曲面四邊形，發現四邊形經過Poincaré映射呈馬蹄狀，從而在理論上證明了雙擺系統的混沌性。

上述文獻對雙擺系統的混沌研究具有重要意義，但大多停留在數值層面，本文將雙擺的Hamilton系統視為上級系統，運用近似方法得到兩個下級的擬Hamilton系統，下級系統的運動情況較上級系統更為簡單，因此下級系統混沌為雙擺系統混沌的必要條件；應用雙自由度的Melnikov法[20-21]構建擬Hamilton系統的Melnikov函數來分析橫截同宿點的存在條件，立足于能量本身，從理論上找出擬Hamilton系統混沌的能量閾值，從而給出雙擺混沌的必要條件，并用隨參數變化的最大Lyapunov指數圖、分岔圖和Poincaré截面圖驗證了理論推導的正確性；同時也發現了因模型局限而產生的兩種例外情況，并從理論角度對產生例外的原因進行分析。

1 Melnikov方法分析雙擺混沌條件

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圖1 雙擺模型Fig.1 Double pendulum model

對式(1)中的余弦項cos(θ1-θ2)進行放縮處理，取cos(θ1-θ2)/g為ε1；對cosθ2進行泰勒展開，取拉格朗日余項的常數項cosξ/24(0<ξ<θ2)為ε2，得

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2 混沌條件的數值模擬驗證

顯然，初速度不影響能量閾值，雙擺存在初速度時，閾值不變而系統能量較無初速度時更大，更有可能超越閾值。為方便討論，本章假定雙擺系統無初速度，此時H=(m1+m2)gl1(1-cosθ1)+m2gl2(1-cosθ2)，同時考慮2m2gl2和2(m1+m2)gl1兩個閾值，有

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本節從兩方面入手： 一方面以m為自變量，固定參數l=2/9；另一方面以為自變量，固定參數m=2；角度參數按假設條件選擇，通過最大Lyapunov指數圖、分岔圖、Poincaré截面圖和時間歷程圖驗證上述假設，進而來證明本文理論。最大Lyapunov指數屬于定量分析法，是目前判斷系統混沌最可靠的標準之一，當最大 Lyapunov指數大于0，可判斷系統為混沌運動。分岔圖表示系統狀態隨分岔參數變化的規律，可以得到系統混沌運動的所對應的參數區域。Poincaré截面圖和時間歷程圖反映某一時間內系統響應的變化規律。

2.1 完全混沌

隨參數m變化的最大Lyapunov指數圖如圖2所示，圖2(a)中θ1=60°,θ2=120°；圖2(b)中θ1=150°,θ2=120°。當m∈[1.1,16]時，最大Lyapunov指數始終大于0，系統處于混沌運動。

圖3為隨參數l變化的最大Lyapunov指數圖，圖3(a)、圖3(b)的角度參數與圖2(a)、圖2(b)一致。當l∈[0.1,2]時，最大Lyapunov指數始終大于0，系統處于混沌運動。可以發現：圖2(b)、圖3(b)中的Lyapunov指數顯然大于圖(a)中的Lyapunov指數，表明在圖(b)的參數條件下，系統混沌程度更深；與系統能量增加，系統混沌程度也會增大的一般結論相符。

圖2 當l=2/9時，隨參數m變化的最大Lyapunov指數圖Fig.2 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter m when l=2/9

圖3 當m=2時，隨參數l變化的最大Lyapunov指數圖Fig.3 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter l when m=2

2.2 局部擬周期

本節取參數θ1=60°,θ2=90°，由本文得到的混沌條件可推測：若系統l=2/9，在m<3和m>9處必然混沌；若系統m=2，在1/l<1和1/l>3處必然混沌。

圖4為的最大Lyapunov指數圖。圖4(a)可見：當m<3時，系統雖然處于混沌運動，但最大Lyapunov指數逐漸下降，最終趨近于0； 當m>9時，最大Lyapunov指數大于0，且緩慢上升，系統處于混沌狀態。圖4(b)為圖4(a)中m∈[3,9]的放大圖，圖中大部分數值低于0.005，卻很少為0，有一些甚至為負數，而對于Hamilton系統，Lyapunov指數的和為0[22]，可以推測最大Lyapunov指數應始終大于等于0。可見Lyapunov指數終究是通過數值方法計算得出，不可避免的存在一些誤差，無法很好判斷擬周期狀態，因而需要引入分岔圖、Poincaré截面圖和時間歷程圖來說明。

圖4 當θ1=60°,θ2=90°,l=2/9時，隨參數m變化的最大Lyapunov指數圖Fig.4 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter m when θ1=60°,θ2=90°,l=2/9

圖5為分岔圖，圖5(a)以為分岔參數，圖5(b)以1/l為分岔參數，描述了系統從混沌態到擬周期態再到混沌態的轉變，系統混沌運動的所對應的參數區域滿足理論推導結果。

圖5 當θ1=60°,θ2=90°時，以m和1/l為分岔參數的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram with m and 1/l as bifurcation parameter when θ1=60°,θ2=90°

圖6為Poincaré截面圖，可見：圖6(a)、圖6(c)、圖6(d)、圖6(f)中存在明顯的片狀區域，周邊還有一些的離散截點，表明在相應參數條件下，系統為混沌運動；圖6(b)、圖6(e)圖中存在有限個封閉曲線狀和直線狀的點集，表明在相應參數條件下，系統為擬周期運動。

圖6 當θ1=60°,θ2=90°時，Poincaré的截面圖Fig.6 Poincaré section when θ1=60°,θ2=90°

圖7為時間歷程圖，可見系統在圖7(a)、圖7(c)、圖7(d)、圖7(f)圖的參數條件下，響應混亂、不規則、無周期；圖7(b)、圖7(e)圖的參數條件下，系統響應平穩、規律且具有一定周期。圖6、圖7表明系統在推測區域確為混沌運動，且在某些區域存在擬周期運動，驗證了理論的正確性。

圖7 當θ1=60°,θ2=90°時的時間歷程圖Fig.7 The graph of time series when θ1=60°,θ2=90°

(m1,m2,l1,l2)4個物理量同時影響能量與閾值，因此不能簡單通過能量大小判斷系統狀態。若m2為定值1，則m=1+m1；若其余參數條件相同，則m1的大小將決定系統能量的大小，圖4～圖7顯示：當m=2時系統處于混沌運動狀態； 當m=6時系統處于擬周期運動狀態，可見即便系統能量較低，也有可能產生混沌。

3 模型局限性分析

該結論雖然能處理絕大多數情況，但在數值模擬中依然可以發現兩種例外情況。下面分別對兩種情況進行分析。

3.1 θ1≈θ2

Calvao等通過各種數值方法，研究了在無初速度，m=2,l=1,θ1=θ2的參數條件下的系統狀態，得到系統混沌閾值為θ1≥80°，而通過本文理論得到的閾值為θ1≥70.5°，相差了約10°。

3.2 l2?l1或l1?l2

若m較大，在l1?l2的情況下，系統的能量主要集中在第一擺上，第二擺對系統的影響極為有限；而在l2?l1的情況下，兩擺間難以相互影響，與其說兩擺耦合在一起，不如說一個單擺系統加上第二擺產生的微小擾動。因此，上述兩條件下，系統在參數m較大的區域進行擬周期運動，而非混沌運動。本節取固定參數θ1=60°,θ2=90°，圖8(a)是l=1/9的分岔圖，圖8(b)為l=9時的分岔圖。

圖8 當θ1=60°,θ2=90°時，以m為分岔參數的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram with m as bifurcation parameter when θ1=60°,θ2=90°

圖8體現出系統從混沌態到擬周期態的轉變。對比圖8(a)、圖8(b)可知，兩種情況下系統有著相似的運動狀態。雖然具體參數有所差異，但隨著參數m增加，系統的運動可分為三個階段：第一階段，分岔圖顯示完全離散的點，系統處于混沌狀態，與理論相符；第二階段，離散的點逐漸組成模糊的線，此時m2較大，雖然第二擺可以當作微小擾動，但依然可以影響系統的運動狀態；第三階段，圖中顯示清晰的線相互交錯，此時m2足夠小，第二擺作為微小擾動已不能影響系統的運動狀態，系統無法重回混沌狀態。當m=50時系統能量遠超閾值，卻處于擬周期狀態，可見系統處于較高能級時，也有可能不產生混沌。

4 結 論

(1) 本文研究了雙擺的混沌運動，建立了雙擺運動的擬Hamilton模型，根據雙自由度的Melnikov法提出擬Hamilton系統發生混沌運動的能量閾值，雖然因模型局限產生了兩種例外情況，但在一般情況中，得到Hamilton系統混沌的必要條件。

(2) 研究表明閾值大小與擺長、擺重密切相關，而擺長、擺重又影響能量大小，意味著其他參數相同的條件下，初速度越大的系統越可能超越閾值，進行混沌運動；對無初速度雙擺系統進行分析，得到了與必要條件等價的兩個公式，運用數值方法驗證其正確性。

(3) 詳細討論了混沌運動和能量之間的關系，發現即便系統能量較低，也有可能產生混沌；利用理論與數值相結合的方法解釋結論的局限性，發現某些極端情況下即便能量遠超閾值，也有可能不產生混沌。可見，能量與系統混沌之間存在復雜的聯系，而不是一般認為的“低能級擬周期、高能級混沌”這么簡單。