杠桿式隔振器的理論模型及隔振特性研究

王志豪， 潘俠圭， 武傳宇， 嚴 博

(浙江理工大學 機械與自動控制學院，杭州 310018)

機械振動響應已是高、精、尖裝備研發和先進制造領域前沿技術中的共性問題，也是亟需解決的關鍵技術問題。因此，為了降低振動響應，隔振[1-5]、吸振[6]、阻尼減振及振動主動控制[7-8]等方式得到廣泛應用。此外，也可以通過力電轉化機制，將有害振動轉化為電能，供低功耗電子器件使用[9]。

隔振是一種應用較為廣泛的可在較寬頻率范圍內抑制振動的方式。線性隔振器原理簡單，易于加工，因此，得到了極為廣泛的應用。隨著結構輕量化、輕質復合材料的應用，系統的固有頻率呈現下降趨勢。傳統線性隔振器需要降低剛度，以滿足隔振帶寬的需要。然而，這也導致了隔振系統靜支撐能力不足，位移響應增大。基于以上原因，在過去二十年間，利用非線性特征拓寬隔振帶寬得到廣泛關注和深入研究。例如，Carrella等[10]利用兩個斜拉彈簧和豎直彈簧構建了一種準零剛度隔振器，極大的提高了隔振帶寬。嚴博等[11]利用永磁體構建了等效負剛度，實現了大幅值激勵下的高性能隔振。楊凱等[12]提出了適用于空間環境的非線性消振器結構，實現了空間環境下航天器結構的振動抑制。目前研究較多的是“三彈簧”結構[13]和一些基于永磁結構的非線性隔振[14-16]。此外，還可以根據仿生構型實現高靜剛度低動剛度隔振，如剪刀型結構[17]，滾球型結構[18]， X形結構[19]，仿骨架結構[20]。但由于強非線性，系統可能產生混沌及跳躍現象，會影響隔振性能[21]。

傳統的線性/非線性隔振器通過增加質量、減小剛度或者引入非線性等方法來拓寬隔振帶寬。杠桿結構可通過杠桿效應放大質量-彈簧組合來產生反共振頻率[22-23]。當通過杠桿放大的質量產生的慣性力抵消彈簧力時，會出現反共振。基于此，將杠桿與傳統線性隔振器結合，用產生的慣性力增大隔振器的質量，從而增大了隔振帶寬。Yilmaz等[24]根據杠桿支點位置設計了兩種杠桿式反共振隔振器，并進行了理論建模。隨后Yilmaz等[25]又討論了多杠桿型反共振隔振器，可實現單自由度系統的最低阻帶頻率。Liu等[26]將混合杠桿嵌入一個X形結構中，結果表明，該系統可在多頻和隨機激勵下有很好的隔振性能，并且對低頻區被動隔振系統的設計有一定的指導意義。Zang等[27]將杠桿系統加入到非線性能量阱中，結果表明，杠桿型非線性能量阱在具有相同質量、阻尼和非線性剛度情況下性能優于常規非線性能量阱。Yang等[28]研究了杠桿與雙穩態耦合非線性能量收集器，該裝置可提高能量回收性能。

以上研究表明，有效利用杠桿結構可以提高隔振器的隔振性能與隔振帶寬。相比于傳統拓寬隔振帶寬的方法，杠桿結構具有結構簡單，效果可調，易于加工等優點。本文設計了一種新型杠桿式隔振器，將杠桿結構與隔振器結合，通過杠桿結構來提高隔振性能與隔振帶寬，并通過研究杠桿自由端質量、杠桿比以及非線性阻尼對隔振器隔振性能和隔振帶寬的影響進一步揭示了杠桿式隔振器的隔振性能。

1 新型杠桿式隔振器結構

圖1為杠桿式隔振器的3D模型，包括杠桿子結構和質量-彈簧-阻尼單元。杠桿子結構通過轉動副與負載板相連，杠桿自由端為一大小可調節的配重，中間鉸支座固定在基板上。杠桿可繞轉動支點轉動，通過調節連桿的位置調節杠桿比。在軸向使用了4個直線軸承以減小摩擦帶來的影響。

圖1 杠桿式隔振器3D模型Fig.1 Three-dimensional model of lever-type vibration isolator

2 杠桿式隔振器的理論模型

圖2為杠桿式隔振器的簡化模型。圖2中：mu，mb和ml分別為負載板、杠桿自由端配重及杠桿的質量；k為四個線性彈簧剛度的總和；c為系統的等效黏性阻尼；l1和l2分別為負載板支點和質量塊到杠桿轉動支點O的水平距離。與螺旋彈簧相比，杠桿的剛度足夠大，因此，本文忽略了杠桿的彈性變形和轉動帶來的影響。由圖2可知，杠桿自由端配重的位移zb和負載板的位移z滿足

zb=-αz

(1)

圖2 杠桿式隔振器簡化模型Fig.2 Simplified model of lever-type vibration isolator

假設隔振器受到u=U0sin(ωt+θ)的基礎加速度激勵。其中：U0為激勵幅值；ω為激勵頻率。系統的動能為

(2)

記ρl為單位長度的杠桿質量，則杠桿的質量為

ml=ρll1(1+α)

(3)

考慮到杠桿的轉動角度φ=z/l1較小，將式(1)和式(3)代入式(2)，可得

(4)

系統的勢能和非保守力所做的虛功分別為

式中,K是關于參數θc的協方差矩陣,[K]i,j=k(xi,xj)θc,N(z|μ,Σ)表示向量z服從均值為μ,方差為Σ的標準正態分布。

(5)

(6)

因此，根據拉格朗日方程

(7)

(8)

記

(9)

(10)

式中，M和m分別為慣性耦合項和激勵耦合項，則式(8)可以簡化為

(11)

等式(11)中包括非線性項，可以用諧波平衡法進行求解，設方程的解

z=asin(ωt)+bcos(ωt)

(12)

將等式(12)代入等式(11),忽略高次諧波，可得

(13)

式中，r2=a2+b2。

從中可得

(14)

(15)

則隔振器的總位移為

x=z+u=

u0cos(ωt+θ)+rcos(ωt)

(16)

根據傳遞關系，可知系統的位移傳遞函數為

(17)

3 數值仿真

本節著重探討杠桿自由端配重mb、杠桿比α及非線性阻尼對杠桿式隔振器隔振性能的影響規律。表1為杠桿式隔振器參數，基于理論建模結果可計算傳遞率，其中，等效阻尼可由試驗結果并根據半功率法獲得。

表1 杠桿式隔振器的參數

圖3為當α=1時的位移傳遞率曲線對比圖，未控制曲線是指隔振器未安裝杠桿子結構，則隔振器為傳統的線性隔振器。mb=0是指隔振器的杠桿子結構未安裝配重。可以看出，通過引入杠桿子結構隔振器的傳遞率降低，峰值頻率左移。當mb=0.083 kg時，相比于未控制的傳遞率16.7和固有頻率7.97，傳遞率和固有頻率分別降低到了10.84和6.97，隔振性能提高了35.1%，固有頻率下降了12.5%。可以看出，杠桿式隔振器體現出了良好的隔振特性。圖中陰影面積及之后代表隔振帶，當有附加質量mb時，起始點逐漸前移，可以看出系統出現了反共振頻率，拓寬了隔振器的隔振帶寬。

圖3 當α=1時的位移傳遞率曲線Fig.3 Displacement transmissibility curve when α=1

3.1 杠桿自由端配重mb

圖4為慣性耦合項和激勵耦合項隨mb變化的曲線圖。圖5為當α=1時mb對隔振器傳遞率的影響曲線圖。由式(8)～式(11)可知，mb影響系統的慣性耦合項，從而改變系統的傳遞率，隨著mb的增大，系統的峰值頻率和傳遞率減小。由圖4和圖5也可以看出，隨著mb的增大，慣性耦合項M緩慢增大，激勵耦合項m逐漸下降；而系統的峰值頻率前移，傳遞率減小。因此，在一定范圍內可通過適當增大mb來提高隔振性能與隔振帶寬。

圖4 質量隨mb變化的曲線圖Fig.4 Variation of mass with respect to mb

圖5 當α=1時不同mb下的傳遞率曲線Fig.5 Transmissibility under different mb when α=1

3.2 杠桿比α

圖6為慣性耦合項和激勵耦合項隨α變化的曲線圖。圖7為當mb=0.083 kg時mb對隔振器傳遞率的影響曲線圖。由式(8)～式(11)可知，改變α同樣可以改變系統的慣性耦合項與激勵耦合項，從而改變隔振器的傳遞率。由圖6和圖7可知，與改變mb相反，慣性耦合項M比激勵耦合項m變化更劇烈。杠桿子結構可以降低傳遞率，此外，隨著α的增大，固有頻率逐漸左移。傳統的線性隔振器要達到這樣的效果只能通過增大質量或降低剛度的方式來實現，準零剛度隔振器則需要引入非線性。然而，本文提出的杠桿式隔振器僅需通過調節杠桿比即可達到所需的隔振性能。

圖6 質量隨α變化的曲線圖Fig.6 Variationof mass with respect to α

圖7 當mb=0.083 kg時不同杠桿比α下的傳遞率Fig.7 Transmissibility with respect to the lever ratio α when mb=0.083 kg

3.3 非線性阻尼

圖8為隔振器傳遞率隨c0變化的曲線。由式(11)可知，改變c0可以影響阻尼系數。隨著c0增大，隔振系統的傳遞率不斷降低而峰值頻率和反共振頻率不變。相比于c0的變化，杠桿比與末端質量的變化會更有利于減振。

圖8 不同c0下的傳遞率Fig.8 Transmissibility under different c0

圖9為阻尼系數隨c1變化的曲線。圖10為隔振器傳遞率隨c1變化的曲線。由圖中可以看出，阻尼系數會隨著c1的變化發生巨大的變化。但是隨著c1不斷增大，系統的傳遞率會發生較小的降低，該變化與c0的變化相比可以忽略不計。

圖9 不同c1下的阻尼系數Fig.9 Damping coefficient under different c1

圖10 不同c1下的傳遞率Fig.10 Displacement under different c1

4 試驗設計與討論

4.1 試驗系統設計

圖11為杠桿式隔振器原理樣機。圖12為試驗裝置及隔振器的照片，其中，杠桿式隔振器的基板固定在激振器。試驗系統由控制器、功率放大器、激振器、計算機以及兩個加速度傳感器組成。信號發生器產生正弦激勵信號經控制器傳遞至功率放大器，驅動激振器。其中，使用兩個加速度傳感器測試隔振器和激勵響應，通過兩個加速度傳感器可得到隔振器的傳遞率。試驗掃頻速率為1 Hz/s，其他試驗參數見表1。

圖11 杠桿式隔振器原理樣機Fig.11 Prototype of the lever-type vibration isolator

圖12 試驗裝置照片Fig.12 Photograph of experiment setup

4.2 試驗結果

圖13為測試而來的傳遞率曲線，可知，未控制情況下，隔振器的最大位移傳遞率(T)和峰值頻率(fn)分別為15.81和7.87 Hz。加入杠桿子結構后，最大位移傳遞率降低到13.62，峰值頻率降低到7.60 Hz。在杠桿末端加上質量塊后，最大位移傳遞率降低到11.15，隔振效果提高29%，峰值頻率降低到6.98 Hz，峰值頻率降低11%。試驗結果驗證了杠桿結構可以提高隔振帶寬，并具有良好的隔振性能。

圖13 試驗傳遞率曲線Fig.13 Experimental transmissibility curve

4.2.1 不同mb下的隔振性能

圖14為當α=1.5時不同mb下的試驗傳遞率曲線，可知，mb=0.126 kg時隔振器的最大位移傳遞率和峰值頻率分別為5.98和6.03 Hz，相比于mb=0，共振峰值下降了44%，固有頻率降低20%。此外，試驗結果也證明了隨著mb的增大，固有頻率和最大傳遞率逐漸減小，即隔振帶寬和隔振效果均有所提高，但是，mb的增大也會使隔振器變得笨重，所以應合理選擇mb。

圖14 當α=1.5時不同mb下的試驗傳遞率曲線Fig.14 Experimental transmissibility under different mbwhen α=1.5

4.2.2 不同α下的隔振性能

圖15為當mb=0.083 kg時不同α下的試驗傳遞率曲線，可知，隨著α的增大，隔振器的最大位移傳遞率和共振頻率分別從α=0.75時的11.76和7.24 Hz減小到α=1.50時7.97和6.21 Hz，共振峰值下降了32%，固有頻率降低14%。試驗結果也驗證了通過改變杠桿比α可以輕松地調節隔振器的隔振性能與隔振帶寬，本研究也提供了一種有異于傳統線性或非線性隔振器中提高隔振效果的方法。

圖15 當mb=0.083 kg時不同α下的試驗傳遞率曲線Fig.15 Experimental transmissibility under different α when mb=0.083 kg

5 結 論

(1)本文設計了一種新型杠桿式隔振器，由杠桿子結構和質量-彈簧-阻尼單元組成。建立了杠桿式隔振器的理論模型，基于拉格朗日方程得到了其運動微分方程，推導了位移傳遞率表達式。

(2)研究了杠桿自由端配重、杠桿比及非線性阻尼對隔振器隔振特性的影響規律，基于此，研制了一種杠桿式隔振器原理樣機，開展了數值分析及試驗研究。

(3)研究結果表明，增大杠桿自由端配重可有效的降低系統固有頻率和共振峰，隨著杠桿比的增大，系統隔振帶寬及隔振性能會進一步的提高。增大杠桿橫截面積對隔振器隔振性能影響較小。增大阻尼可有效地降低隔振器傳遞率。本研究對設計和使用杠桿式隔振器均具有極強的指導意義和參考價值。