基于改進低秩稀疏正則化的CFRP電阻抗層析成像算法研究

馬 敏， 于 潔， 范文茹

(中國民航大學 電子信息與自動化學院, 天津 300300)

碳纖維復合材料作為一種新型復合材料，具有高比強度、高比模量及穩定性好等優點，已被廣泛應用于航空航天領域[1-2]。碳纖維復合材料結構復雜，由于其導電性存在各向異性的特點[3]，常用的鋪設方式有[0°/90°]和[0°/45°/90°]。碳纖維復合材料在生產制造和使用過程中可能造成結構損傷，損傷可能出現在材料的表面或者內部，一旦出現損傷對于工業應用來講可能是致命的[4]。因此，對碳纖維復合材料進行有效的損傷檢測十分必要。隨著碳纖維復合材料的廣泛使用已經出現了很多檢測方法。其中，電阻抗層析成像技術以其無創性、可視化、無輻射、操作簡單、成本低等優點已被廣泛研究應用[5]。電阻抗層析成像(electrical impedance tomography，EIT)檢測通過在被測區域周圍施加電流激勵獲取測量電壓信號，計算電導率分布情況，進而反演出被測區域圖像[6]。但是，EIT逆問題求解具有病態性和不適定性，重建算法的好壞一定程度上決定了圖像重建質量。常用的逆問題的求解算法包括線性投影法[7]、Tikhonov正則化算法[8]和Landweber算法[9]等。它們適用于簡單損傷的檢測，但在復雜損傷檢測中會出現嚴重的電極偽影且其重建時間一般較長。

為了有效提高重建質量，改進重建算法是相當重要的。基于L2范數作為凸優化的算法因其計算簡單、求解穩定被廣泛采用，但其過于平滑沒有產生更多稀疏的解，使圖像分辨能力較差[10]。而L0范數可以克服L2范數正則化的缺點，增強成像目標的稀疏性，但L0范數的求解屬于NP-hard問題[11]。在求解EIT逆問題時，采用L0范數的替代模型近似求解稀疏重建算法受到廣泛應用[12-13]。Lp偽范數模型[14]通過增加一個自由度可以更好地逼近真實解L0，增強解的稀疏性的同時，也可以更好地呈現圖像的局部信息，提高算法地抗噪聲能力。此外，近年來，低秩矩陣約束在圖像重建領域也受到了廣泛關注與應用。核范數[15]一直被用于解決低秩問題。由于EIT重建圖像呈現出低秩特征，若有效利用先驗信息用于圖像重建過程將有益于提高重建精度[16]。

目標函數一旦構建，選擇合適的求解器進行求解也格外重要。分裂布雷格曼方法[17-18]已被廣泛應用于求解L1范數的凸優化問題，它將目標函數分裂成幾個子問題進行求解，在取得良好的重建效果的同時，進而縮短重建時間。

綜上，本文提出的改進低秩稀疏正則化算法主要進行了三點優化：

(1)引入Lp偽范數模型，獲得更逼近L0范數模型稀疏解，有效提高圖像重建質量同時增強算法的魯棒性；

(2)引入核范數作為低秩約束項，有效利用圖像重建過程中的先驗信息以提高圖像重建的分辨率；

(3)利用分裂布雷格曼方法對泛函進行求解，增強算法的實時性。

1 CFRP損傷基于EIT重建原理及傳統算法

1.1 CFRP層壓板電學性質

CFRP復合材料是由導電碳纖維和絕緣樹脂聚合物復合而成。由于碳纖維是導電材料，并且碳纖維的纖維方向的電導率較高，纖維方向的垂直方向和層壓板的厚度方向的電導率較低，以致CFRP的導電性具有各向異性的特點。因此，CFRP層壓板通常被簡化為多層疊加的均質連續各向異性材料[19]，電導率張量Σ為

(1)

式中：σ11為纖維方向電導率；σ22為纖維方向的垂直方向電導率；σ33為材料板厚度方向的電導率。

圖1 CFRP 層壓板模型Fig.1 The model of CFRP

1.2 EIT圖像重建原理

EIT圖像重建是通過激勵電流I和邊界測量電壓V反演場域內部電導率σ的分布情況[20]。 EIT圖像重建過程如圖2所示。

圖2 EIT圖像重建過程Fig.2 EIT image reconstruction process

電導率分布通過建模和有限元離散化對應的動態EIT測量值可表示為

V=U(σ;I)=R(σ)I

(2)

式中：U(·)為σ和I～V映射的正演模型；R(σ)為σ到電阻的映射模型。

在電導率σ變化很小的情況下，通過線性化方程組的方法可以來精確地求解EIT逆問題。

δU=U′(σ0)=Jδσ

(3)

式中： δU∈Rm×1(m為獨立電壓測量值個數)為材料損傷前后電壓測量差值；δσ∈Rn×1(n為重建圖像中的像素數)為電導率張量模值變化量的分布矩陣；J∈Rm×n為Jacobian矩陣。

1.3 EIT傳統算法

1.3.1 Tikhonov正則化算法

Tikhonov正則化算法根據最小二乘法和平滑準則將EIT的不適定逆問題轉化為一個優化問題。

(4)

式中：L為正則化算子，通常選為單位矩陣I；λ為正則化系數。

由此，可獲得Tikhonov正則化算法的解為

x=(JδTJδ+λI)-1JδTδU

(5)

1.3.2 稀疏正則化算法

為了增強解的稀疏性，L1范數作為解的懲罰項被廣泛應用于EIT圖像重建。

(6)

傳統L1算法是應用稀疏正則化(SpaRSA)方法[21]求解式(6)得出如下解估計值序列

(7)

(8)

式中，α為迭代步長，采用自適應譜分析法[22]更新。

根據split Bregman方法求解式(6)，可得如下迭代方案

(9)

2 改進低秩稀疏正則化算法

受電極數量、位置和“軟場”效應的影響，EIT逆問題求解是一個欠定、病態問題。正則化方法是處理不適定問題的一個常用方法，它通常由兩個部分組成，即解的精確測度和穩定泛函，即懲罰項。目前，L1范數作為懲罰項來刻畫解的稀疏性被廣泛應用，但L1正則化與真實的稀疏解仍有很大差距，在復雜損傷模型中，難以取得令人滿意的成像結果。

近年來，低秩正則化在圖像重建領域受到了廣泛關注，通過利用成像目標數據結構中的低秩特性以提高重建質量。但是，當僅考慮低秩特征時，重建結果仍欠佳。因此，本文采用低秩正則化和稀疏正則化的有效結合方式，以提高重建質量。首先引入Lp偽范數，通過增加一個自由度來增強重構目標解的稀疏性，更好的刻畫圖像的局部信息，其次，引入核范數作為低秩正則化項，通過描述重建對象的多個特征的先驗信息來提高重建精度，最后，引入分裂布雷格曼方法對新的目標泛函進行求解，通過將目標泛函分裂成多個子問題來提高成像質量和縮短成像時間。

利用分裂布雷格曼方法求解稀疏正則化問題的EIT重建過程可被描述為

s.t.d1=δσ,d2=X

(10)

式(4)可依據分裂布雷格曼方法分裂成如下幾個簡單問題

(11)

(12)

(13)

分裂布雷格曼算法的好壞主要取決于分裂出來的幾個子問題的求解算法的優劣。對于以上三個子問題，采用簡單的梯度下降法求解式(11)，式(12)是標準核范數最小化問題，應用奇異值閾值迭代方法進行求解，根據Lp偽范數收縮算子來更新式(13)。

(14)

(15)

(16)

表1 改進低秩稀疏正則化算法

3 試驗驗證

仿真使用COMSOL5.4軟件建立八層各向異性 CFRP 層壓板模型，根據CFRP材料的常見損傷，構建三類損傷類型模型：沖擊損傷模型、分層損傷模型、裂紋損傷模型。所構建的損傷模型如圖3所示。模型a是一個單沖擊損傷，損傷為一個半徑為5 mm、高度為3.2 mm的圓柱體，位于層壓板中心；模型b是一個三沖擊損傷，三個損傷均為半徑為5 mm、高度為3.2 mm的圓柱體；模型c是一個單分層損傷，損傷為一個半徑為5 mm，高度為0.8 mm的圓柱體，位于層壓板中心；模型d是一個雙分層損傷，左側損傷為一個半徑為8 mm，高1.2 mm的圓柱體，右側損傷為一個半徑為6 mm，高1.2 mm的圓柱體；模型e為一個裂紋損傷，損傷是一個長35 mm，寬1 mm，高3.3 mm的長方體，位于板材中心斜左45°的位置。

圖3 層壓板損傷模型(mm)Fig.3 The models of CFRP laminates(mm)

每個電極為一個半徑1.5 mm，高10 mm的銅質圓柱，嵌入在CFRP層壓板四周，電流激勵大小為4 500 A/m2。

選取Tikhonov正則化算法、L1正則化算法、分裂布雷格曼算法和改進低秩稀疏正則化算法分別對損傷圖像重建并進行對比分析。根據對不同算法的成像效果以及評價指標進行比較分析。評價指標為圖像的相關系數(correlation coefficient， CC)[23-24]和損傷面積誤差估計Serror[25]。CC值越接近于1，表示重建圖像與真實圖像的誤差越小，相關程度越大，重建質量越高。損傷面積誤差估計采用Canny算子和最小二乘橢圓擬合出重建圖像的損傷面積大小與真實模型損傷面積大小相比較得出，以更好比較說明重建損傷和真實損傷大小的相似程度。

(17)

(18)

式中：S′為圖像重建損傷面積大小；S為真實損傷面積大小。

3.1 無噪聲仿真試驗

對理想測量狀態進行仿真，可驗證算法在求解EIT逆問題中的有效性。此時，EIT系統所獲取的電壓測量值中不含噪聲。CFRP材料損傷重建效果對比如圖4所示， CFRP材料損傷重建相關系數對比如圖5所示。CFRP材料損傷面積誤差估計對比如表2所示。

圖4 無噪聲下不同算法CFRP材料損傷重建圖像對比Fig.4 Comparison of damage reconstruction images of CFRP with different algorithms without noise

表2 CFRP材料損傷面積誤差估計對比

由圖4可知，Tikhonov算法能基本確定并顯示出損傷的大體位置，但不能準確還原損傷的位置和大小，重建圖像邊緣受電極的影響嚴重，所成偽影發生嚴重粘連現象。L1正則化算法所成圖像能較清楚地顯示損傷的具體位置但不能準確反映其大小，偽影得到了明顯改善，但在三沖擊損傷、雙分層損傷中存在嚴重的電極偽影，分裂布雷格曼算法比Tikhonov算法、L1正則化算法更有效地減弱了電極的影響，而且能夠準確還原損傷的位置和大小，但仍存在所成損傷輪廓不清晰、圖像邊緣電極偽影嚴重的現象，而改進低秩稀疏正則化算法的重建圖像在形狀、大小及位置方面最接近真實損傷，所成損傷輪廓清晰，重建圖像邊緣電極偽影明顯減少，在雙分層損傷模型中，真實反映了不同大小的兩處損傷，優勢明顯。

由圖5可知，改進低秩稀疏正則化算法與Tikhonov正則化算法、L1正則化算法和分裂布雷格曼算法相比，圖像相關系數的顯著提高，所成圖像精度更高。在模型a中，改進算法相關系數達0.929 7，也進一步驗證了低秩稀疏正則化算法在CFRP復合材料檢測中具有良好的應用前景。

圖5 圖像相關系數對比Fig.5 Comparison of image correlation coefficient

從表2中可以看出，Tikhonov正則化算法損傷面積誤差估計最大，所成損傷面積均是大于真實損傷面積，在裂紋損傷中高達1 857.58%。而L1正則化算法最能在單沖擊模型中反映真實損傷面積大小；在單分層中，雖取得了較好的成像效果和較高的相關系數，但是由于電極偽影影響，它的面積誤差估計值達到91.28%。 分裂布雷格曼算法的損傷面積誤差估計值較Tikhonov正則化算法、L1正則化算法明顯減少，但在單分層損傷中也出現了較高的面積誤差。而改進低秩稀疏正則化算法所成損傷大小與真實損傷最為相近，均取得了較低的面積誤差估計值，特別地，在單沖擊損傷和單分層損傷中面積誤差可忽略不計。

通過以上比較分析可以得出，改進低秩稀疏EIT算法有效削弱了電極影響，更好反映圖像邊緣信息，提高了重建圖像質量，所成損傷更貼近真實分布情況，具備適用性和應用前景。

3.2 噪聲仿真試驗

在實際工業測量中，測量數據不可避免地存在隨機干擾，即測量噪聲。它會增加逆問題的不適定性，使成像結果受到影響。圖像重建算法是否具有良好的魯棒性來減弱噪聲的影響也是一項重要的評價指標。比較5%和10%噪聲對最終重建結果的影響，分析改進低秩稀疏正則化算法的魯棒性。5%和10%噪聲試驗圖像重建結果與相關系數對比分別如圖6和圖7所示。

由圖6、圖7可知，在5%噪聲、10%噪聲的干擾下，改進低秩稀疏正則化算法仍能準確反映損傷位置和大小，更好地呈現圖像邊緣信息，電極影響較小，與無噪聲情況下的損傷圖像相近。而L1算法、分裂布雷格曼算法在噪聲的干擾下所成損傷均發生了不同程度的畸變，所成損傷圖像模糊，電極偽影影響嚴重。此外，在噪聲干擾下，改進低秩稀疏正則化算法所成圖像仍能保持較高的相關系數。

圖6 5%噪聲試驗圖像重建結果與相關系數對比Fig.6 Comparison of image reconstruction results and correlation coefficient with 5% noise experimental

圖7 10%噪聲試驗圖像重建結果與相關系數對比Fig.7 Comparison of image reconstruction results and correlation coefficient with 10% noise experimental

由圖8可以看出，改進低秩稀疏正則化算法與無噪聲情況下的相關系數相近，進一步驗證了改進低秩稀疏正則化算法能夠有效弱化噪聲影響，具有良好的魯棒性。

圖8 不同噪聲下改進算法相關系數對比Fig.8 Comparison of correlation coefficients of the improved algorithm under different noises

由表3可知，在不同噪聲干擾下，改進低秩稀疏正則化算法重建損傷的面積誤差估計值均相近，對于單沖擊和單分層損傷模型，面積誤差估計值仍為0%，所成損傷大小與真實損傷大小十分相近，進一步驗證了該算法良好的魯棒性和適用性。

表3 不同噪聲下改進算法損傷面積誤差估計對比

3.3 系統試驗

CFRP復合材料EIT損傷檢測試驗平臺如圖9所示。CFRP板材長10 cm，寬 10 cm，高0.32 cm， 將16個電極均勻放置在板材四周，電極連接電流注入和電壓測量的多路復用器，以實現對電極的循環激勵和循環測量。電流激勵由精密電流源(KEITHLEY 6221)提供，給相鄰電極施加的激勵電流大小為100 mA，使用多功能開關測量單元( KEYSIGHT 34980A)和電樞矩陣開(KEYSIGHT 34932) 采集測量數據，由基于LabVIEW使用系統軟件進行開關量的切換。最后，通過接線端子模塊(KEYSIGHT 34932T) 將采集到的電位數據導入圖像處理程序以得到圖像重建結果。

試驗所用CFRP層壓板大小為100 mm×100 mm，四周鑲嵌16個銅質鉚釘，每一邊四個鉚釘，間距為20 mm，鉚釘中心到CFRP板材邊界距離為5 mm，成像區域為80 mm×80 mm。

試驗模擬了三種沖擊損傷和一種裂紋損傷。其中，單沖擊模型和上下雙沖擊模型損傷孔半徑均為3 mm，斜對角雙沖擊模型損傷孔半徑為5 mm，裂紋模型損傷大小為1 mm×40 mm×1 mm，成像效果如圖10所示。

圖10 CFRP復合材料檢測試驗成像效果對比Fig.10 Comparison of imaging results of CFRP composite material detection experiments

由圖10可知，L1正則化算法對于單沖擊損傷不能較好的反應損傷大小，對于雙沖擊損傷出現模糊不清現象，裂紋損傷的成像對比度較低，并且出現了電極偽影。分裂布雷格曼算法較L1正則化算法的成像質量有所提高，但損傷仍不夠清晰、邊緣電極偽影嚴重，且出現了損傷畸變現象。而改進低秩稀疏正則化算法重建圖像電極偽影得到了改善，損傷輪廓清晰明了，能夠更準確的反映損傷的大小和形狀，對于裂紋損傷也更加清晰明顯。試驗結果證明，改進低秩稀疏正則化算法具備實用性，為EIT系統應用于CFRP復合材料實際檢測提供依據。

4 結 論

本文通過仿真試驗反演出的圖像及評價指標驗證了改進低秩稀疏正則化算法對CFRP材料損傷檢測的有效性。

改進低秩稀疏正則化算法重建圖像質量能夠增強解的稀疏性，改善EIT逆問題的病態性，對于沖擊損傷、分層損傷和裂紋損傷均具有良好的反演能力，成像質量均優于傳統的Tikhonov算法、L1正則化算法和分裂布雷格曼算法，且成像效果穩定，具有良好抗干擾性，具備CFRP復合材料損傷檢測的良好應用前景。