平面欠驅動柔性機械臂的PSO軌跡優化與自抗擾振動抑制

潘昌忠， 羅 晶， 李智靖， 熊培銀， 陳 君

(湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭 411201)

傳統工業機器人一般采用剛性結構，存在基座笨重、功耗高、 操作空間有限、負重比低、靈活性差等問題，已經難以滿足高精密產品生產和現代化企業的自動化需求[1]。相比而言，柔性臂機器人采用柔性材料制作的柔性連桿結構，具有質量輕、功耗低、工作空間大、負載自重比高、靈活性好等特點[2]，在航空航天、工業制造等領域具有廣泛的應用前景，受到了人們的廣泛關注[3]。然而，柔性機械臂是一類高度非線性、強耦合以及時變的分布參數系統，它具有無限個自由度和有限個控制輸入，屬于一類欠驅動機械系統[4-6]。有限的控制輸入不僅要實現驅動關節的控制目標，而且還要抑制柔性連桿由于運動而引起的彈性振動，否則將嚴重影響機械臂的定位精度和操作效率[7]，而且在外太空等空氣阻尼微弱的環境中，這種彈性振動很難自行消失[8]。因此對柔性機械臂進行振動抑制與穩定控制是機器人研究領域的熱點難題。

關于柔性機械臂的振動抑制問題，Zhang 等[9]提出了一種基于觀測器的邊界控制方法，實現了柔性機械臂的軌跡跟蹤控制。吳忻生等[10]使用偏微分方程表示的分布參數模型描述柔性機械臂的動態特性，在末端邊界基于李雅普諾夫直接法進行控制，降低了機械臂的彈性振動。Liu 等[11]針對具有輸入擾動和輸出約束的柔性機械臂，利用李雅普諾夫直接法，設計了帶有干擾觀測器的邊界控制器，在調節角度位置的同時抑制彈性振動。然而，這些控制方法除在關節處需要控制輸入外，在末端負載處也需要額外的控制輸入。

為了實現柔性機械臂僅在關節驅動器作用下的穩定和振動抑制控制目標，楊春雨等[12]根據奇異攝動理論將模型分解為描述剛體運動的慢時間尺度模型和描述柔性變形的快時間尺度模型，通過測量機械臂彈性振動，提出了一種雙時間尺度組合控制器。張曉宇等[13]在柔性機械臂兩側粘貼壓電傳感器和壓電致動器，提出一種基于H∞優化的抗擾控制算法。王海等[14]構建了基于壓電陶瓷材料的柔性機械臂的主動抑振理論模型，設計了一個可變控制方案的抑振器。婁軍強等針對伺服電動機、諧波齒輪減速器、柔性臂及壓電致動器組成的智能柔性機械臂系統，提出了一種基于PD控制與模糊控制的復合控制策略。這些控制方法雖然獲得了良好的振動抑制效果，但是需要傳感器測量柔性臂的角位移，而且需要附加壓電傳感器檢測柔性振動，不僅增加了系統的設計成本，而且使系統的結構更加復雜。Meng 等[15]等利用模糊遺傳算法的在線優化能力，提出了一種基于系統能量的智能優化穩定控制策略，實現了柔性機械臂的快速穩定控制。Schnelle 等[16]通過反饋線性化將非線性系統簡化為線性系統，提出了一種自適應模型預測軌跡跟蹤控制方法。但是，這些控制方法依賴于系統精確的數學模型。當柔性機械臂存在參數攝動、未建模動態及外部干擾等不確定性因素時，控制系統的魯棒性將難以保證。

針對以上問題，本文以平面單連桿柔性機械臂(planar single-link flexible manipulator，PSLFM)為研究對象，提出一種基于粒子群優化 (particle swarm optimization，PSO) 算法的軌跡優化與自抗擾振動抑制控制方法，實現機器人末端執行器在任意目標位置的穩定控制目標。首先，基于假設模態法和歐拉-拉格朗日公式建立系統的動力學模型，通過分析該模型的欠驅動特性獲得驅動變量與欠驅動變量之間的狀態約束方程。其次，考慮狀態約束關系的影響，利用雙向軌跡規劃方法，為驅動關節規劃一條從初始位置到中間位置的前向軌跡和一條從目標位置到中間位置的反向軌跡，并通過粒子群算法對軌跡參數進行優化，確保兩條軌跡平滑地拼合成一條軌跡，從而為系統規劃出一條從初始位置到目標位置的期望軌跡，將系統的位置控制與振動抑制問題就轉化為軌跡跟蹤控制問題。然后，引入線性自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)技術，把機械臂的模型參數攝動、未建模動態及外界干擾等不確定性因素看作一個新的擴張狀態變量，設計擴張狀態觀測器和基于狀態誤差的反饋控制器使系統沿期望軌跡到達目標狀態。最后，通過仿真與對比試驗，說明所提方法的有效性和優越性。

本文通過把基于PSO的抑振軌跡規劃技術與自抗擾控制技術相結合，提出一種基于軌跡規劃的前饋控制和自抗擾反饋控制的復合控制策略。與其他方法相比，該控制策略具有以下三個優點：

(1) 不需要額外控制輸入，僅使用關節驅動器，同時實現PSLFM的關節穩定控制與彈性振動抑制；

(2) 不使用速度傳感器，也不需要檢測振動的壓電傳感器，所設計的控制器僅需要測量角位移的傳感器；

(3) 不依賴精確的數學模型，所設計的自抗擾控制器能夠保證系統存在不確定性情況下的魯棒性。

1 PSLFM的建模和問題描述

假設模態法建立的方程計算效率高，便于數值仿真及實時控制，是柔性機械臂研究中的主流方法[17-18]。本章先采用假設模態法與歐拉-拉格朗日公式建立平面單連桿柔性機械臂的數學模型，然后對模型的欠驅動特性進行分析，進而提出本文的控制目標。

1.1 動力學建模

PSLFM的結構模型如圖1所示，其物理參數如表1所示。圖1中：XOY為慣性坐標；X′OY′為旋轉坐標；R為柔性臂上任意點相對于慣性坐標的位置。

圖1 PSLFM 的結構模型Fig.1 Structure model of PSLFM

表1 PSLFM 的物理參數

假設該柔性連桿為Euler-Bernoulli臂，并且由于它被限制在水平方向上移動平面上，重力的影響被忽略，那么連桿滿足梁的無阻尼彎曲自由振動微分方程

(1)

其中彈性撓度w(x,t)表達為

(2)

式中：pi(t)為第i個時間相關的廣義坐標，也稱為模態坐標；φi(x)為第i個與空間有關的模態函數

ai[sinh(λix)-sin(λix)]}

(3)

(4)

式中，λi為滿足如下特征方程的第i個正解

(5)

在實際中，忽略高階模態對系統的影響，取前n個模態，那么將式(2)重寫為

(6)

一般來說，n越大對系統的描述越精確。若模態p1,p2,…,pn都收斂到零，彈性撓度w(x,t)也收斂到零，此時系統將無殘余振動。

根據圖1的幾何關系，位置向量R可以表示為

(7)

系統的動能為

(8)

系統的彈性勢能為

(9)

式中，ki為系統的彈性系數，可以表示為

(10)

令p=[p1,p2,…,pn]T，θ=[q,pT]T，取歐拉-拉格朗日函數為L=T-D，根據歐拉-拉格朗日方程

(11)

可獲得系統的動力學方程

(12)

(13)

矩陣M(θ)可以表示為

(14)

式中，矩陣Mqp，Mpp的具體形式為

(15)

式中，σi,ηij,(i,j=1,2,…,n)的表達式分別為

(16)

矩陣Mqq可以表示為

(17)

1.2 問題描述

可以看到，PSLFM建模過程非常復雜，其彈性模態坐標具有無窮維空間，是一類強耦合非線性的分布參數系統，要獲得系統精確的數學描述非常困難。另外，從式(12)建立的動力學方程可知，系統有n+1個自由度，但只有一個控制輸入，是高度欠驅動的機械系統，其中：q為驅動變量；p為欠驅動變量，它們之間存在強耦合的非線性狀態約束關系

(18)

因此，要實現PSLFM的穩定控制與振動抑制，就應該考慮式(18)的非線性狀態約束關系的影響，通過控制驅動變量q來間接控制欠驅動變量p，實現q到達并穩定在期望角度qd的同時保證欠驅動變量p收斂到零。

本文的控制目標表述為：對于由式(12)描述的PSLFM，當系統模型不精確時，考慮式(18)的非線性狀態約束關系的影響，設計控制律τ使得機械臂驅動關節到達目標角度時，柔性連桿的彈性振動同時得到抑制，即：q→qd，p→0，實現末端執行器從任意初始位置到目標位置的精確穩定控制。

2 振動抑制軌跡規劃

為了實現系統的位置控制目標，本章首先為驅動變量q規劃規劃一條從初始位置到中間位置的前向軌跡和一條從目標位置到中間位置的反向軌跡；然后，采用粒子群算法對軌跡參數進行優化，確保兩條軌跡平滑地拼合成一條完整的期望軌跡。

2.1 雙向軌跡設計

由于欠驅動變量的存在，直接規劃系統從初始狀態q0到目標狀態qd的平滑軌跡是困難的。本文使用一種雙向軌跡規劃的方法，它是一種計算簡單、操作方便而且效果較好的振動抑制方法。通過選擇中間角度qm為驅動變量q規劃一條前向軌跡和一條反向軌跡。

根據系統的無殘余振動位置控制目標，待規劃的期望軌跡應該滿足兩個邊界條件，當系統處于初始狀態時，應該滿足

(19)

當系統到達目標狀態時，應該滿足

(20)

因此，給定前向軌跡參數ka，從初始角度q0到中間角度qm的前向軌跡Γ1設計為

(21)

式中：sf=qm-q0；0≤t<1/ka。

給定反向軌跡參數kb，從目標角度qd到中間角度qm的反向軌跡Γ2設計為

(22)

式中：sr=qm-qd；tr=1/kb-t，且0≤tr≤1/kb。

從式(21)與式(22)中還可以看到，qm，ka和kb是軌跡規劃中非常重要的一組參數，這三個參數的取值將影響機械臂的跟蹤效果，因此為獲得更好的跟蹤效果，還需要求解出一組最優的參數值。

2.2 基于PSO的軌跡優化

與遺傳算法等其他優化技術相比，PSO算法[19]的計算成本更低，需要調整的參數更少。因此，本文采用PSO算法對qm,ka和kb進行智能優化，以確保兩條軌跡平滑地拼合成一條完整的期望軌跡，從而將系統的位置控制與振動抑制問題就轉化為軌跡跟蹤控制問題。

(23)

當軌跡Γ2到達中間角度qm時，把式(22)代入式(18)中進行數值求解得到相應的中間位置，記作

(24)

(25)

式中：si=[qm,ka,kb]為第i個粒子的的位置；vi為粒子的速度；Pi為第i個粒子的個體歷史最優位置；Gt為群體歷史最優位置；N為粒子群的大小；Kmax為最大迭代次數；w為慣性因子；c1,c2為加速常數；vmax，vmin為速度的上下邊；smax，smin為位置的上下邊界；r1，r2為在[0,1]當中的隨機值。

PSO求解算法步驟如下：

算法1：期望軌跡的PSO求解算法

輸出：參數qm,ka,kb或最優解Gt

初始化：設置參數N,Kmax,hmin,w,c1,c2,vmax,vmin, 隨機初始化粒子群s(0)和初始速度v(0)，更新相應個體最佳位置Pt和群體最佳位置Gt。

whileKhmin

fori=1toN

forj=1to3

vi.j(K+1)=wvi,j(K)+c1r1[Pt-si,j(K)]+

c2r2[Gt-si,j(K)]

ifvi,j(K+1)≥vmaxthen

vi,j(K+1)=vmax;

ifvi,j(K+1)≤vminthen

vi,j(K+1)=vmin;

ifh(si)

Pt=si(K+1);

ifh(si)

Gt=si(K+1);

K=K+1。

3 自抗擾軌跡跟蹤控制器設計

自抗擾控制是在傳統PID和現代控制理論的基礎上提出的一種不依賴系統模型的控制方法[20]。這種方法在解決非線性和建模不精確的系統等控制問題方面具有廣闊的應用背景[21]。因此，本章設計自抗擾軌跡跟蹤控制器以實現PSLFM在模型精確時對規劃軌跡進行精確跟蹤。基于自抗擾控制技術的PSLFM軌跡跟蹤控制結構，如圖2所示。

3.1 狀態誤差反饋控制器

考慮式(18)中的非線性約束關系，可以通過控制驅動變量q來間接控制欠驅動變量p。由式(18)得

(26)

代入式(12)可以得到一個驅動變量子系統

(27)

圖2 基于PSO和ADRC的PSLFM軌跡規劃與跟蹤控制結構框圖Fig.2 Structure diagram of trajectory planning and tracking control of PSLFM based on PSO and ADRC

為了建立驅動變量子系統的狀態空間方程，把機器人的模型非線性項、耦合項歸結為系統的總擾動項f，其表達式為

(28)

(29)

當狀態變量x為已知信息時，為了使式(29)穩定并補償總擾動f的影響，SEF可以設計為

(30)

根據式(29)，驅動變量子系統的狀態空間方程為

(31)

其中，

(32)

由式(31)可知，把A-KcE的極點配置在左半平面即可保證閉環系統的穩定性。為了簡化參數調整過程，可以把極點配置在同一位置，例如

(33)

式中，ωc為控制器帶寬。

3.2 線性擴展狀態觀測器

控制律式(30)不僅需要系統的全狀態反饋信息，而且還依賴于非線性項f，當狀態反饋信息與非線性項的精確模型不完全可知時，式(30)設計的控制律便難以應用。為此，本節設計LESO用于對狀態x和非線性項f進行實時觀測，以獲得它們的準確估計值。

由式(28)可知，總擾動f中包含高度非線性項、強耦合項。把f看作新的狀態變量，并對它進行實時估計，取擴展后的狀態變量xe=[x,f]T，擴展后的系統可以寫作

(34)

式中：Cm=[1,0,0]；ym為可測量的輸出。

(35)

(36)

式中：I5為5×5的單位矩陣；Lo為觀測器增益矩陣。選取合適的Lo可以保證LESO能獲得準確的觀測值。

根據式(34)，把Ae-LoCe的極點配置在左半平面，即可保證LESO的觀測誤差趨近于零。為了簡化參數調整過程，可以把極點配置在同一位置，例如

(37)

式中，ωo為觀測器帶寬。

(38)

注1：式(33)和式(37)中的帶寬參數ωo與ωc的取值對系統的穩定性、魯棒性等具有重要的影響[22]。它們的優化思路為：調試出合適初值ωo，選擇ωc使ωo≈(3～5)ωc；緩慢增加ωo與ωc，直到出現噪聲或者震蕩；然后分別增加或者減小ωo與ωc，使其滿足系統指標要求。

注2：當PSLFM受到參數攝動以及輸入干擾d等不確定性因素的影響時，總擾動項f中將引入新的非線性項，使f的表達式更加復雜，即式(28)改寫為

(39)

3.3 閉環穩定性

(40)

式中，Ao=Ae-LoCe。

令控制器誤差ec=xd-x，則SEF中的誤差動態可以描述為

(41)

式中，Ac=A-EKc。

聯立兩式得

(42)

由式(42)可知，誤差動態系統的特征值是Ac和Ao的特征值，只要將控制器和觀測器的極點配置左半平面，就可以確保誤差動態的收斂性。假設總擾動f是有界的，存在線性擴張狀態觀測器以及合適的控制器參數使閉環系統是有界輸入輸出有界穩定的[24]。

4 仿真結果與分析

在本章中，使用MATLAB/Simulink工具搭建仿真平臺，通過對比仿真驗證所提方法的有效性與優越性。

PSLFM的模型參數選取為：m=0.2，ρA=1，l=1，EI=3，Ih=0.04。考慮到系統模型的準確性和計算的難度，系統的彈性模態數取n=2。PSLFM的初始位置為x=0,y=0和目標位置x=0.877 6,y=0.479 4，相對應的初始角度為q0=0，目標角度為qd=0.5。PSO優化算法中各參數值為N=100，hmin=0.01，w=0.6，c1=2，c2=2，vmax=2，vnin=-3；ADRC控制器的帶寬參數值為wc=150，wo=600。

圖3 對比的仿真結果Fig.3 Simulation results of comparison

從圖3(a)和圖3(b)可以看到，在軌跡規劃器和跟蹤控制器的作用下，本文所提方法的穩定時間約為1.5 s，超調量幾乎為零；而Meng等的FGAC方法超調量約為5%，穩定時間約在3.5 s。從圖3(c)還可以看到，兩種控制方法的彈性擾度都收斂到零的附近，都實現了振動抑制，但是本文方法更快速地實現了振動抑制。從圖3(d)可以看到，控制力矩都在±1.5 N·s之間。因此本文所提方法可以降低超調量，使系統具有更好的快速性。圖4(a)是f的觀測值與實際值的變化曲線，圖4(b)是觀測誤差ef的變化曲線。從圖4可以看到，本文所設計的LESO實現了對非線性不確定項f的快速準確的估計。

圖4 f的觀測值與實際值Fig.4 The observation and the actual values of f

從圖5(a)和圖5(b)可以看到，系統末端點從初始角度運動到并穩定在目標角度，穩態誤差與軌跡跟蹤誤差都很小。圖5(c)顯示連桿末端的殘余振動逐漸收斂到零。即使系統同時受到參數攝動與外部擾動的影響，控制器也能成功抑制住柔性連桿的殘余振動，實現了末端點的位置控制。圖5的仿真結果驗證了所提方法對輸入干擾與參數攝動具有較好的魯棒性。

圖5 受不確定性影響下的仿真結果Fig.5 Simulation results under the influences of uncertainties

5 結 論

本文提出了一種基于PSO軌跡優化與自抗擾控制的平面欠驅動柔性機械臂振動抑制位置控制方法。該方法通過模型的欠驅動特性分析，得到了驅動變量與欠驅動變量的約束關系，并基于該關系，通過雙向軌跡規劃及PSO智能優化算法獲得了驅動變量的最佳運動軌跡，使系統沿該軌跡到達目標位置的同時彈性振動得到抑制。基于自擾擾控制技術設計了擴展狀態觀測器與狀態誤差反饋控制律，實現了對最佳運動軌跡的精確跟蹤控制。仿真與對比結果表明，所提控制方法具有超調量小、響應速度快、參數整定方便等優點，并且對輸入干擾和參數攝動具有較好的魯棒性。

值得說明的是，本文的軌跡優化是在欠驅動變量標稱模型下開展的，即忽略了式(18)中的不確定性；而且ADRC控制器設計也僅考慮了驅動關節變量的不確定性因素。對于欠驅動變量模型存在不確性的情況，可以借鑒文獻[25]提出的在線迭代優化算法，以對參數攝動及擾動等造成的角度偏差進行在線修正。此外，搭建實物平臺以驗證方法的實用性，這些將是下一步要開展的重點研究工作。