具有Hammerstein結構的非對稱PI模型的超磁致作動器數學建模

李銳泓， 謝 飛,2， 吳明忠， 楊 帆， 陳鴻威， 林德昭， 李承洪

(1.華僑大學 機電及自動化學院，福建 廈門 361021； 2.杭州海康威視數字技術股份有限公司，杭州 310000)

隨著技術的發展，機械產品在加工時的精度要求越來越高，很多場合都希望機械零件能達到更高的精度等級。而精密加工一般采用傳統的驅動器，比如機械式和液壓式等，這類驅動器往往由于具有機械結構而存在精度低、可靠性差以及工作頻率較低等問題[1]。而智能材料驅動器由于其頻率響應高、響應速度快等一系列優良的性能可以應用在精密加工上，超磁致伸縮驅動器就是一種典型的應用型產品。超磁致作動器相比于壓電陶瓷類致動器，其性能更加優良，主要表現在其產生的位移行程更大、機械響應速度更快、驅動電壓更低以及響應頻率更高等[2]。由于超磁致作動器的優良性能，使得其應用在精密加工上成為了可能，但是超磁致作動器作為智能材料領域的一種應用型產品，也會存在著回滯非線性特性。這使得系統的速度、精度以及效率很難進一步提高，回滯非線性產生的原因是由于材料本身固有的物理特性，其微觀解釋不完全明確，所以很難在產品的設計上通過結構優化來消除或者減弱回滯非線性對系統的影響。為了實現對超磁致作動器的精確控制，就需要準確的數學模型來描述超磁致作動器的動態特性。因此本文重點進行超磁致作動器的數學建模研究。

目前基于超磁致作動器的數學建模中用到的數學模型主要有兩類：一類是基于材料本身物理機制的物理回滯模型，主要是通過分析實際物理回滯系統的產生機理，將一系列應變應力等物理量的關系放入回滯模型中去模擬回滯過程，比如Jiles-Atherton(JA)模型等；另一類是根據回滯系統的輸入輸出數據建模的唯象回滯模型，直接利用純數學的表達式來描述回滯曲線，比如Preisach模型、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型等。但是這幾種模型中，JA模型比較難在數學上實現，而且參數往往相互耦合，在求解計算時誤差比較大[3-4]。而Preisach模型的表達式比較復雜，運算量大，而且其在描述非對稱的回滯現象時會產生高階參數，無法靈活地運用[4-5]。PI模型的運算量比較小，結構簡單也容易在控制器上實現。所以本文擬采用PI模型進行超磁致作動器的數學建模[6]。

針對PI模型應用在超磁致伸縮致動器上，國內外專家學者也進行了大量的研究。唐宏波[7]基于PI模型對超磁致伸縮作動器的回滯非線性特性進行建模，基于遺傳退火算法對模型的參數進行識別，結果表明該模型能在80 Hz范圍內較好地預測磁致伸縮致動器的位移輸出曲線。趙寅將[8]PI模型運用到磁致伸縮驅動器的建模中，利用LMS算法辨識得到PI模型的最優權重系數向量，結果顯示，所建立的PI模型可以精確的描述磁致伸縮驅動器的回滯特性，后續基于逆模型實時補償進行控制試驗，結果表明，回滯對磁致伸縮驅動器的驅動控制的影響被大幅減小了。楊斌堂等[9]基于PI模型對超磁致伸縮驅動器進行建模，用最小均方法進行模型的參數辨識，模型的預測誤差為0.037 9 μm。翟鵬等[10]考慮到超磁致伸縮致動器的回滯非線性，分析了準靜態改進型PI模型的數學機理，為了拓寬其動態條件下的頻率適用范圍，提出了一種改進型PI模型，并獲得了滿意的控制效果。Li等[11]在用修飾的PI模型針對超磁致伸縮致動器進行建模，并且建立了基于PI模型的逆模型，試驗表明，修飾的PI模型在一定的輸入信號頻率范圍內能較好地描述超磁致伸縮致動器的非對稱回滯行為，所提出的逆模型能有效地改善超磁致伸縮的滯后行為。Xiao等[12]在經典PI模型的基礎上進行修正，利用最小二乘法對修正的PI模型進行參數識別，結果顯示，修正的PI模型能減小建模的誤差，但是在高頻率下模型精度依然不能保證。Aljanaideh等[13-14]將PI模型運用到超磁致伸縮致動器的回滯非線性建模上，并且提出了基于率相關的PI模型的新方法用于補償壓電定位致動器中率相關的滯后非線性效應。隨后，所提出的的補償新方法也被證明在超磁致伸縮致動器上有效，結果證明，所提出的補償方法可以在不計算逆模型的前提下有效的補償頻率相關回滯非線性。Peng等[15]將PI模型運用到超磁致伸縮致動器的回滯非線性建模上，提出了率相關的修飾PI模型，然后利用約束最小二乘的方法辨識出了模型的參數，結果顯示，在一定的頻率范圍內，率相關修飾PI模型可以有效地描述超磁致伸縮致動器的率相關回滯特性。郭詠新等[16]以Hammerstein模型對超磁致伸縮作動器的率相關回滯非線性進行建模，其中改進的PI模型和外因輸入自回歸模型分別表示模型的靜態非線性部分和線性動態部分。在所建模型的基礎上，提出了一種H∞魯棒振動控制方法。孫洪鑫等[17]建立了磁致伸縮作動器動力學模型和拉索-磁致伸縮作動器面內控制系統方程，提出了基于移相法的拉索控制時滯補償理論和拉索非線性控制系統的線性化方法，通過仿真分析得到了拉索振動控制時滯補償效果。張偉等[18]基于模糊樹提出一種帶有動態非線性環節的Hammerstein-like建模方法以描述超磁致伸縮作動器的率相關回滯非線性特性，所提方法能在一定頻率范圍內建立一個統一模型，使之不僅能較好地描述單一頻率輸入信號下的遲滯環，也能較好地描述復合頻率輸入信號下的遲滯。

從前文看出，關于超磁致作動器的建模技術尚不成熟，主要是超磁致作動器本身存在著回滯非線性特性，而想要有效地對超磁致作動器的動態特性進行控制，就需要精確的數學模型來描述它，所以開展關于PI模型在超磁致伸縮致動器建模方面的研究很有必要，對超磁致作動器的進一步發展有較大的促進作用。

1 非對稱PI模型

1.1 Play算子的定義

若假設Cm[0，tN]是定義域為[0，tN]的分段單調的連續函數的集合，[ti，ti+1]為[0，tN]的一個子區間，滿足0=t0

Fr[v](0)=fr(v(0),0)

(1)

Fr[v](t)=fr(v(t),Fr[v](ti))

(2)

式中:Fr[v](0)為對應起始采樣時刻在輸入信號v(0)時Play算子的輸出；Fr[v](t)為對應t時刻在輸入信號v(t)時Play算子的輸出；Fr[v](ti)為對應t時刻的前一采樣時刻在輸入信號v(ti)時Play算子的輸出。

對于ti

fr(v,wr)=max[v-r,min(v+r,wr)]

(3)

式中:v為t時刻輸入信號的值；wr為t時刻的前一采樣時刻線性Play算子的輸出值；r表示此時的Play算子的閾值，為非負數；[0，tN]表示0=t0

圖1 線性Play算子Fig.1 Linear Play operator

關于經典的PI模型的研究最早開始于1928年[20]，是用多個具有不同閾值的Play算子進行加權疊加來表示回滯非線性的，其表達式為

(4)

式中:P[v](t)為經典PI模型的輸出，對于超磁致伸縮致動器來說對應的物理量是位移；v(t)為PI模型的輸入信號，對于超磁致伸縮致動器的物理量是電流；rj為第j個Play算子的閾值，為非負數，pj為第j個Play算子的權重系數，滿足

(5)

1.2 非對稱PI模型

在以往專家學者的研究中，發現經典的PI模型無法描述智能材料驅動器的非對稱回滯現象，因此在經典PI模型的基礎上修飾出了非對稱的PI模型，其表達式為

U(t)=P[v](t)+H[v](t)+G[v](t)

(6)

式中：v(t)為模型的輸入；U(t)為非對稱PI模型的時域輸出；P[v](t)為經典PI模型的時域輸出；H[v](t)為shift算子的時域輸出；G[v](t)為輔助函數的時域輸出。其中shift算子的定義如下：

若假設Cm[0，tN]是定義域為[0，tN]的分段單調的連續函數的集合，[ti，ti+1]為[0，tN]的一個子區間，滿足0=t0

Hc[v](0)=hc(v(0),0)

(7)

Hc[v](t)=hc(v(t),Hc[v](ti))

(8)

式中:Hc[v](0)為對應起始采樣時刻在輸入信號v(0)時shift算子的輸出；Hc[v](t)為對應t時刻在輸入信號v(t)時shift算子的輸出；Hc[v](ti)為對應t時刻的前一采樣時刻在輸入信號v(ti)時shift算子的輸出。

對于ti

hc(v,wH)=max[cv,min(v,wH)]

(9)

式中：v為t時刻輸入信號的值；wH為t時刻的前一采樣時刻shift算子的輸出值；c為此時的shift算子的斜率，為不等于1的正數；[0，tN]為0=t0

加入shift算子到經典PI模型中，是為了讓加入shift算子的復合模型能夠表示超磁致作動器的非對稱回滯現象，另外為了精確地描述超磁致作動器的回滯環的導數不單調變化的情況，需要加入輔助函數來解決這個問題。

為了使得加入輔助函數后的非對稱PI模型，在描述超磁致作動器的非線性回滯現象時，不改變原來經典PI的特征，輔助函數需要滿足以下條件：

(1)為了保證加入輔助函數后，在輸入信號的單調區間內，模型的輸出也是單調的，輔助函數需滿足以下條件：

在輸入信號的單調區間內

U′(t)>0

(10)

即

P′[v](t)+H′[v](t)+G′[v](t)>0

(11)

(2)為了使得模型的導數不單調變化，輔助函數需要滿足以下條件：

在輸入信號單調的范圍內任意兩輸入v1，v2下

(12)

只有滿足了上述兩個條件，輔助函數才有可能在不改變模型原有性質的情況下，使得模型在描述超磁致作動器的非對稱回滯現象時，能夠比較準確的描述超磁致作動器非對稱回滯現象中導數不單調變化的現象。另外，輔助函數的確定是不唯一的，只要輔助函數在不改變模型原有性質的前提下，能夠滿足上述條件，都是可以被選擇的。

2 超磁致伸縮致動器試驗平臺搭建

本試驗平臺是基于dSPACE半實物仿真系統搭建，主要由dSPACE、功率放大器(AE7224，具體參數：1 kVA、帶寬為300 kHz)，位移傳感器(Lion Precision CPL190，具體參數：最大量程為125 μm，靈敏度為80 mV/μm，測量精度為0.1 μm，帶寬為15 kHz)、超磁致作動器(MFROTY77，具體參數：最大行程為±50 μm、最高激勵頻率為1 250 Hz)組成。試驗平臺如圖2所示。

圖2 超磁致伸縮致動器試驗平臺Fig.2 Experiment platform based on giant magnetostrictive actuator

3 單一非對稱PI模型的超磁致作動器數學建模

3.1 單一非對稱PI模型表達式確定

在前文對非對稱PI模型做了整體的介紹，本部分基于非對稱PI模型對超磁致作動器進行數學建模，本文中的試驗數據基于美國ETREMA公司的MFR OTY77型超磁致作動器。

首先由于非對稱PI模型的三個部分需要分別確定表達式，首先確定經典PI部分的表達式。對于經典PI模型部分的未知參數求解，涉及到的模型中的權重系數，權重系數和經典PI模型的初載曲線有關，經典PI模型的初載曲線指的是PI模型從零狀態起逐漸增加到回滯環的最大值時的一段曲線，對超磁致作動器來說，就是指的零值輸入電流到最大值輸入電流的一段輸出曲線，這段曲線的基本形狀如圖3所示，它是一個關于閾值rj的分段函數[22]。考慮到超磁致作動器的電流幅值相關性，考慮多個幅值，因此辨識信號采用衰減的正弦信號。

圖3 初載曲線Fig.3 Initial loading curve

由于在確定經典PI部分的算子個數時，也需要確定權重系數，因此考慮到模型的精度，僅僅用經典PI模型做參數辨識，分別采用不同個數的Play算子。由于后續模型參數辨識的需要，定義超磁致作動器建模時的誤差平方和為

(13)

式中：ue為超磁致作動器的試驗輸出；um為數學模型的輸出，試驗數據一共n組；ems為超磁致作動器數學模型的期望值與試驗值的誤差平方和。

辨識信號為正弦衰減信號，即采集到的超磁致作動器的輸入電流信號和輸出位移信號，為了兼顧多個幅值，最大電流為5 A，采集到的信號如圖4所示。

圖4 衰減激勵信號和響應信號Fig.4 Attenuate excitation signal and response signal

將數據處理好以后，使得式(13)所示的目標函數最小，此時的ue為超磁致作動器的輸出數據，um為經典PI模型的建模輸出，并返回誤差平方和。

在確定經典PI模型中Play算子的個數時，只需要用經典PI模型去做優化，返回誤差的平方和，并且觀察擬合的效果。在這個過程中，經典PI模型的閾值按照取平均值的方法，最大閾值為3，按照Play算子的個數進行等分間隔。按照不同的算子個數運用SQP算法進行參數辨識，SQP(sequential quadratic programming)算法，即序列二次規劃算法，其基本思想是在確定的初始值附近通過二次近似逐漸得到更好的迭代點，在不同的迭代點處，SQP算法不斷求解多個二次規劃子問題，使得迭代點逐步接近優化問題的最優點[23]。其誤差平方和與算子個數關系如圖5所示。

圖5 誤差平方和與Play算子個數關系Fig.5 The relationship between the error sum of squares and the number of Play operators

由于Play算子的個數太少時，模型的誤差比較大，然而算子太多會增加計算量，結合圖5的誤差平方和的變化結果，最終選定算子個數為11個Play算子進行后續建模。

在對shift算子的分析中，我們發現，c>1和01時的shift算子稱為左shift算子，用于表示回滯環左邊的非對稱情況，將0

Hcl(v)=-Hcr(-v)

(14)

即回滯環的右邊非對稱可以轉化為回滯環左邊的非對稱，所以，我們在模型中總是可以使用左shift算子來代替右shift算子，而不用總是在模型中使用兩種類型的shift算子進行參數辨識和建模，所以我們在建模中，選擇一種也就是左shift算子進行對超磁致作動器的非對稱回滯現象的建模。由于超磁致作動器數據中的位移量不是很大，最大行程為50 μm，在c值選擇1.1～1.8每隔0.1取值一次就可以描述超磁致作動器的回滯現象了。

在定好Play算子個數為11個的前提下，加上shift算子到模型中，選定不同的輔助函數，利用SQP算法進行參數的辨識，并返回誤差平方和，最后根據結果選定誤差平方和較小的輔助函數為建模的最終輔助函數選擇。誤差平方和與輔助函數選擇的關系，如表1所示。

表1 不同輔助函數時的誤差平方和Tab.1 Error sum of squares under different auxiliary functions

在選用輔助函數時：一方面希望誤差平方和盡量小；另一方面希望未知數的數量不能太多，根據表1的結果，最終輔助函數的確定決定采用三階的輔助函數，因為其誤差平方和在三階以后基本不變，而且未知數的個數也比較少。這樣，非對稱PI模型中的所有表達式全部確定。

3.2 單一非對稱PI模型參數優化

前文確定了超磁致作動器的非對稱PI模型的表達式，如式(15)所示的三個部分，分析發現，經典PI的P[v](t)部分和輔助函數部分的G[v](t)部分存在一個同類項是可以合并的，合并以后，未知參數減少了一個。

U(t)=P[v](t)+H[v](t)+G[v](t)

(15)

使得建模輸出和試驗數據的誤差平方和最小，此時建模時采用的非對稱PI模型，式(16)中，ue為超磁致作動器的試驗輸出數據，而um為加入了shift算子和輔助函數的非對稱PI模型的模型輸出。

(16)

由于在經典PI模型中，默認權重系數是非負的，但是在非對稱PI模型的參數識別中發現，權重系數中出現負數時，誤差平方和會更小，而且即使權重系數出現負數也不會影響后續模型的逆模型的求解。所以我們在參數識別時，默認權重系數是可以為負數的。再具體的優化過程中，對參數進行無量綱化處理，使其在[0,1]的區間內尋找未知參數的最優解，未知參數的初始值設置為1，全部未知參數的識別結果如表2所示。

表2 非對稱PI模型的參數辨識結果Tab.2 Parameter identification results of asymmetric PI model

為了驗證優化的結果是收斂的，在相同的邊界條件下，以不同的初始值開始優化，并且記錄目標函數的變化過程，并記錄優化的最終結果，不同初始值下的目標函數值變化情況，如圖6所示。

圖6 SQP優化時不同初始值下目標函數值與迭代次數的關系Fig.6 The relationship between the value of the objective function and the number of iterations under different initial values during SQP optimization

從圖6可以看出，不同初始值下，優化從不同的迭代點開始，但是隨著迭代次數的增加，最終目標函數都收斂于同一個值。比較不同初始值下，優化得到的22個參數的結果變化的比例，變化最大的在1%左右，變化的比例很小，可以得出優化的結果是收斂的。

3.3 單一非對稱PI模型模型驗證

在辨識出模型的參數之后，非對稱PI模型部分的所有未知數全部辨識得到，將辨識得到的模型仿真與之前試驗采集到的衰減信號進行對比結果如圖7所示。定義建模仿真與試驗數據的誤差Em如式(17)所示，um為建模仿真輸出位移，ue為超磁致作動器的試驗輸出位移。

(17)

分別用不同頻率下的不同電流幅值的激勵信號激勵超磁致作動器和非對稱PI模型，然后對比非對稱PI模型和超磁致作動器的試驗數據，結果如下：

圖7 超磁致作動器的衰減信號建模仿真與試驗數據對比Fig.7 Modeling simulation and experimental data comparison of attenuation signal of giant magnetic actuator

圖8 超磁致作動器的衰減信號建模仿真與試驗數據對比Fig.8 Comparison of modeling simulation and experimental data under 1 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

3.4 單一非對稱PI模型建模結果分析

從圖9可以看出，在單一非對稱PI模型的建模中由于合并同類項以后減少了一個參數，但是所建立的單一非對稱PI模型在1 Hz的激勵信號頻率不同激勵信號幅值下和超磁致作動器的試驗數據匹配度較高，能夠較好的描述超磁致作動器的1 Hz下的非對稱回滯現象。能夠取得和Li等研究中相同水平建模精度的建模效果。但是當激勵信號的頻率較大時，所建立的單一非對稱PI模型和試驗數據的誤差比較大，尤其是在頻率達到300 Hz以上時，誤差達到了20%，而這一點在大的激勵信號幅值下表現的更加明顯，比如電流幅值5 A頻率500 Hz時的建模誤差甚至達到了40%。

圖9 超磁致作動器的4 A正弦激勵信號下建模仿真與試驗數據對比Fig.9 Comparison of modeling simulation and experimental data under 4 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

4 加入Hammerstein結構的非對稱PI模型建模

經過前文基于單一非對稱PI模型對超磁致作動器的回滯非線性的數學建模的結果分析，可以發現，單一非對稱PI模型能夠較好地描述超磁致作動器的回滯非線性的電流幅值相關，但是無法準確的描述其電流頻率相關，本章主要針對超磁致作動器的回滯非線性的電流頻率相關性進行數學建模。

4.1 Hammerstein結構

Hammerstein結構最早由Nanda等[24-25]提出，它描述了一種模型結構，這種模型包含一個靜態非線性模塊和一個線性動態系統模塊，兩個模塊串聯而成一種模型，如圖10所示。

圖10 Hammerstein模型的結構Fig.10 The structure of the Hammerstein model

圖10中：v(t)為整個系統的輸入信號；u(t)為整個系統的輸入與輸出之間的不可測的中間變量；y(t)為整個系統的輸出信號，靜態非線性函數M(v)和線性動態模型G(z)一起構成了整個動態系統。

Hammerstein結構的作用是用于研究被控對象自身特性近似非線性，而執行單元所出現出的特性近似靜態非線性的情況，它是一種模塊化建模的思想[26]。其優點是將靜態非線性環節和線性動態環節兩個模塊進行串聯，能夠實現靜態和動態的級聯。Hammerstein結構最大的優點是能較好地反映過程的特征，這種性質若被用于超磁致作動器的頻率相關回滯建模上，可以一定程度上的反應超磁致作動器的動態特性。

4.2 具有Hammerstein結構的非對稱PI模型

前文分析出在1 Hz頻率的信號下，超磁致作動器的回滯非線性的頻率相關性很弱，此時可以用非對稱PI模型來表示超磁致作動器的非線性環節。基于此，超磁致作動器的Hammerstein結構的非線性環節直接采用3.2節單一非對稱PI模型中建模時采用衰減信號利用SQP算法辨識出來的數據建立。

受控自回歸(auto-regressive with exogenous，ARX)模型是一種傳遞函數模型，具有計算量小、結構簡單等優點，其可以表示成線性回歸方程的形式，在工程中的應用比較廣[27-28]。

這種模型是一種類似“黑箱”的模型，它是利用過程的輸入信號和輸出信號信息來建立系統的數學模型，既用在線性系統中，也用在非線性系統的辨識中[29-31]。

單輸入單輸出下的ARX傳遞函數模型的Z域描述可以表示為

A(z-1)Y(k)=B(z-1)U(k)+σ(k)

(18)

式中:σ(k)為隨機噪聲;U(k)為系統k時刻的輸入；Y(k)為系統k時刻的輸出，系統的輸入和輸出都是可觀測的，而A(z-1)和B(z-1)為模型的估計參數，z-1為單位延遲算子[32-33]。

將式(18)表示成傳遞函數的形式，得到

式中:U(k)為系統的輸入;Y(k)為系統的輸出，系統的輸入和輸出都是可觀測的；G(z-1)用來描述系統的輸入輸出特性；σ(k)為隨機噪聲；z-1為單位延遲算子[34]。

4.3 Hammerstein結構線性動態環節辨識

ARX模型的階數采用基于赤池信息準則(Akaike information criterion，AIC)的過程來判定，通過尋找一個具有較小的AIC值的估計模型來決定模型的階次[35]。AIC準則建立在信息理論基礎上，用來表示給定模型丟失信息的相對數量，模型丟失的信息越少，該模型的質量就越高。AIC準則估計每個模型的質量，因此是一種確定模型的方法。而AIC值的定義一般為

(20)

式中:T為試驗數據數量；d為模型中未知參數的個數；SSSE為誤差的平方和，表達式為

(21)

首先給定ARX模型中傳遞函數G(z-1)的分子分母的階次的變化范圍，由于ARX模型的階次默認為整數，那么在給定階次變化范圍時，每次不同階次組合下進行計算時，式(20)中的d就為已知量。然后在計算AIC值進行判定時，需要計算SSE中對試驗數據的極大似然的估計值y′j[37]。

在這個過程中，采用極大似然法進行估計，在不同的階次組合下進行一一計算，每種階次組合下，未知數的個數一定，AIC準則假設模型的誤差服從獨立正態分布，在采用極大似然法求解未知參數過程中，主要分為四步：

步驟1構造似然函數L(θd)，(θ1，θ2，...,θd);

步驟2取對數ln(L(θd));

基于AIC準則的判定過程的原理是權衡模型的擬合優良性和模型復雜度。式(20)中，In(SSSE/T)表示尋找到的模型和試驗數據擬合的優良程度，因為在試驗數據量一定的前提下，模型與試驗數據的SSE值越小，表示模型和數據的擬合程度越高，模型的精度就越高。而2d/T表示對模型過度擬合的懲罰，由于試驗數據量一定的情況下，d值越大，就表示模型中的參數數量就會變多，表示模型越不簡潔。所以模型階次比較低時，d的值比較小，此時ln(SSSE/T)占主導地位，但是當階次慢慢變大，模型變得復雜時，ln(SSSE/T)的值將會變得較小，而且變化的越來越不明顯，但是2d/T的值由于模型參數的變多而變得很大，占據主導地位這就使得AIC值出現了在某處會有最小值的情況，所以AIC準則一方面使得數據擬合的優良程度更高，但是又避免參數過多出現過度擬合的情況，是對模型正確概率和模型復雜度的綜合評價[38]。

將采集到的掃頻輸入信號作為前文建立好的非對稱PI模型的輸入，然后計算出此時非對稱PI模型的輸出，將非對稱PI模型的輸出當做ARX模型的輸入，將之前采集到的掃頻信號下超磁致作動器動態系統的響應作為ARX模型的輸出，然后對數據基于AIC準則的判定過程判定系統傳遞函數的階次和形式，返回A(z-1)階數為0階，B(z-1)階數為3階時，AIC值最小。

此時傳遞函數的形式為

(22)

由于判定的過程中是基于似然函數進行參數估計，大樣本下服從獨立正態分布的似然函數取極值的情況就是誤差平方和最小的情況，故此時的參數估計值能夠保證模型的精度。

此時基于AIC準則的階次判定過程中的未知參數的極大似然估計值為

(23)

但是傳遞函數的結果是由試驗數據的離散點辨識得到的，所以辨識出來的傳遞函數是離散傳遞函數，但是建立的數學模型需要是連續的數學模型，前文所建立的非對稱PI模型也是連續的模型，所以需要將離散形式的傳遞函數轉化成連續形式。

離散傳遞函數轉化為連續傳遞函數的方法比較多，本研究采用的是零階保持的方法，保持技術廣泛應用在動態系統的建模和控制中，因為它能夠建立起連續控制系統和離散控制系統之間的聯系[39]。零階保持是由傳統的數模轉換器來完成對實際信號的恢復和重建的，它的原理是將一個采樣信號保持一個采樣周期來將離散的時間信號轉換為連續的時間信號。試驗中的采樣間隔是0.000 02 s，可以用零階保持的方法將離散的傳遞函數轉化為連續的傳遞函數。轉化后的結果為

(24)

然后將所得到的傳遞函數和非對稱PI模型串聯得到超磁致作動器的具有Hammerstein結構的非對稱PI模型的完整數學模型。

5 具有Hammerstein結構的非對稱PI模型驗證

分別用不同幅值的正弦電流來驅動超磁致作動器，并計算該輸入幅值正弦電流下的超磁致作動器的具有Hammerstein結構的非對稱PI模型輸出，并將試驗數據和建模仿真數據進行比較。由于幅值水平較多，以幾組為例，建模結果如圖11和圖12所示。

圖11 超磁致作動器的1 A正弦激勵信號幅值下建模與試驗數據對比Fig.11 Comparison of modeling and experimental data under the amplitude of 1 A sinusoidal excitation signal of the giant magnetic actuator

圖12 超磁致作動器的2 A正弦激勵信號幅值下建模與試驗數據對比Fig.12 Comparison of modeling and experimental data under the amplitude of the 2 A sinusoidal excitation signal of the giant magnetic actuator

從正弦信號的建模仿真對比結果可以看出，正弦信號下，在50～400 Hz的頻率范圍內所建立的具有Hammerstein結構的非對稱PI模型能夠較好地匹配超磁致作動器的動態回滯特性曲線，誤差在5%～8%。

6 加入Hammerstein結構前后的非對稱PI模型建模效果對比

分別用不同幅值和不同頻率的正弦信號激勵單一非對稱PI模型和具有Hammerstein結構的非對稱PI模型，與超磁致作動器的試驗數據進行對比，試驗數據與建模仿真的誤差定義如式(25)所示

(25)

式中:um為建模仿真輸出位移;ue為超磁致作動器的試驗輸出位移，所示建模結果如圖13所示。

圖13 超磁致作動器的1 A激勵信號幅值下不同建模結果與試驗數據對比Fig.13 Comparison of different modeling results and experimental data under the amplitude of 1 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

從圖13中可以看出，加入了具有Hammerstein結構的非對稱PI模型在輸入電流信號頻率較低時和單一非對稱PI模型的建模效果差別不是很大，但是隨著電流頻率增大，加入了具有Hammerstein結構的非對稱PI模型能夠更好的匹配超磁致作動器的試驗數據，如在1 A電流賦值，頻率450 Hz時，加入Hammerstein結構以后建模誤差從20%下降到約5%，因此加入了Hammerstein結構的非對稱PI模型能夠比單一的非對稱PI模型更好的描述超磁致作動器回滯非線性的頻率相關性。

7 結 論

本文先基于單一非對稱PI模型對超磁致作動器進行數學建模，在合并同類項減少了一個參數的情況下，所建立的單一非對稱PI模型能夠較好的匹配電流信號的幅值相關，但是無法準確地描述電流信號的頻率相關。后續在單一非對稱PI模型的基礎上加入了ARX模型，建立了具有Hammerstein結構的非對稱PI模型，結果發現，所建立的具有Hammerstein結構的非對稱PI模型比單一的非對稱PI模型能更準確地描述超磁致作動器回滯非線性的頻率相關性，具體表現為當電流頻率增大時，具有Hammerstein結構的非對稱PI模型能更好的匹配試驗數據，比單一的非對稱PI模型具有更高的建模精度。最后，基于不同頻率的正弦信號驗證了所建立的具有Hammerstein結構的非對稱PI模型的有效性。