親歷概念建構(gòu)過程 提升核心素養(yǎng)
——以“百分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)設(shè)計為例

何曉瑜

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不應(yīng)該是被動接受新知識的過程，而是基于學(xué)生的認(rèn)知能力來開展主動探究的過程，也就是說新知的學(xué)習(xí)，都是在已有知識基礎(chǔ)上獲取的，這種學(xué)習(xí)新知識的方式，可以讓學(xué)生在主動探究，親歷建構(gòu)完整知識體系的過程中，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。本文以劉賢虎老師“百分?jǐn)?shù)的意義”一課為例，以問題驅(qū)動，讓學(xué)生參與問題探究和問題解決的學(xué)習(xí)過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析意識，以“關(guān)注學(xué)生起點、自主建構(gòu)知識、深化概念理解”的思路，把握內(nèi)在關(guān)聯(lián)；聚焦本質(zhì)，逐層漸進(jìn)理解；兼顧內(nèi)外，完善意義建構(gòu)。

一、談話引入，感受概念作用

有問題的課堂才是有靈魂的課堂，讓學(xué)生自己對新課內(nèi)容提出問題，這對于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣尤為重要，通過提問和回答，讓學(xué)生初步感受概念的作用。

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的意義”，昨天老師讓大家收集一些生活中用到的百分?jǐn)?shù)，誰來給大家分享一下？

生1：一瓶啤酒的酒精含量是8%。

生2：我們班的男生人數(shù)占了全班人數(shù)的79%……

師：看來同學(xué)們課前是做足了功課，善于觀察，老師也收集了幾個百分?jǐn)?shù)，你們能看懂嗎？（出示主題圖1、圖2、圖3）

圖1

圖2

圖3

師：你們覺得百分?jǐn)?shù)在我們的生活中多不多？（多）

師：既然生活中有那么多的百分?jǐn)?shù)，說明它作用很大。來看看剛才我們找到的百分?jǐn)?shù)，你們會讀、會寫嗎？誰來試一試？

師：百分?jǐn)?shù)的讀法、寫法我們都會了，大家還想研究百分?jǐn)?shù)的什么知識？

生1：百分?jǐn)?shù)表示什么？

師：好問題，也就是說百分?jǐn)?shù)的意義是什么。

生2：如果有一組分?jǐn)?shù)，我們怎樣把它們化成百分?jǐn)?shù)？

師：你想把它們化成百分?jǐn)?shù)用來做什么？

生2：這樣就能讓別人看得更清楚。

師：你是想說百分?jǐn)?shù)是有特殊的作用的。

生3：我想研究百分?jǐn)?shù)和普通分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？

師：好問題，這位同學(xué)提出的問題，把今天要學(xué)習(xí)的知識和以前學(xué)習(xí)過的知識進(jìn)行一個對比和聯(lián)系，真是善于思考。

師：同學(xué)們在學(xué)習(xí)之前都思考了很多問題，那今天我們就一起來研究“百分?jǐn)?shù)的意義”（板書課題）

評析：提出一個問題比解決一個問題更為重要，通過收集生活中的百分?jǐn)?shù)，初步了解百分?jǐn)?shù)的作用，同時把關(guān)注的重點放在學(xué)生自主提出問題，進(jìn)而將學(xué)生的問題、教材的問題整合為本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要問題。這個環(huán)節(jié)讓學(xué)生明確這節(jié)課學(xué)習(xí)的目標(biāo)，同時發(fā)展學(xué)生的問題意識。

二、問題探究，理解概念內(nèi)涵

教師從學(xué)生生活中的例子出發(fā)，探究百分?jǐn)?shù)的意義，嘗試通過多種方式對百分?jǐn)?shù)進(jìn)行表征，找到溝通生活實例和概念建構(gòu)的橋梁，凸顯概念的現(xiàn)實意義。

師：按照大家剛才提出的問題，我們整合為以下的三個問題進(jìn)行研究。

1.百分?jǐn)?shù)表示什么意思？2.已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)，我們?yōu)槭裁催€要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)?3.百分?jǐn)?shù)帶單位名稱嗎？為什么？

師：我們看第一個問題，在學(xué)習(xí)單上用你喜歡的方式來表示出26%，可以用文字，也可以畫圖。（2020年東莞市衛(wèi)健局調(diào)查顯示，全市接近26%的小學(xué)生近視，見圖1。）

生1：26%是表示100 個小學(xué)生里面，就有26 個近視的，我還用了百格圖來表示。（見圖4）

圖4

師：100 個小學(xué)生里面，就有26 個小學(xué)生是近視的。那200 個人里面，1000 個人里面又有幾個人是近視的呢？

生2：200 個人里面有52 人近視、1000 人里面有260 人近視。

師：這26%是表示是具體的人數(shù)嗎？它表示什么？

生1：26%表示的是具體的分率。

生3：表示比例。

師：誰和誰的比例？

生3：近視人數(shù)和總?cè)藬?shù)的一個比例。

師：有道理，或者說表示近視人數(shù)和總?cè)藬?shù)這兩者之間的一種關(guān)系。我們再來看下一個同學(xué)的作品，這樣解釋可以嗎？（可以）

師：你們看，一個同學(xué)用畫圖、舉例的方法，另一個同學(xué)用文字描述的方式來說明，都是可以的。

師：那我們看后面兩個例子，這里的60%和80%又是誰和誰在比較？

生4：我覺得第二個圖（圖2）60%是指已經(jīng)充好的電是總共可以充的電的60%。

生5：第三幅圖是女生和男生比較，女生人數(shù)是男生的80%。

師：我們能不能用一句話說這些百分?jǐn)?shù)都表示什么呢？

生4：我認(rèn)為百分?jǐn)?shù)就是把一個物體平均分成一百份，取它這樣的幾份。

生：我認(rèn)為百分?jǐn)?shù)就是分母是100 的分?jǐn)?shù)。

師：在剛才的例子中，每個百分?jǐn)?shù)表示的是一個具體的數(shù)嗎？（不是）

師：那它表示的是什么？

生4：是一個數(shù)占另一個數(shù)的百分之幾。

師：大家同意嗎？（板書：百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)占另一個數(shù)的百分之幾）

師：我們收集的百分?jǐn)?shù)又表示什么意思呢？同桌互相說一說。

評析：百分?jǐn)?shù)表示什么？這是本課的核心問題之一，通過搭建學(xué)習(xí)支架——百格圖、文字表達(dá)等方式來表示出26%的意義，深入思考，深度對話，對百分?jǐn)?shù)的意義形成較為深刻的認(rèn)識，最終學(xué)生理解了原來百分?jǐn)?shù)并不是一個具體的數(shù)，而是一個數(shù)占另一個數(shù)的百分之幾的倍比關(guān)系。

三、問題解決，建構(gòu)概念意義

有了分?jǐn)?shù)，為什么還要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)？在課堂上，這個問題激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和欲望，通過對糖水的含糖程度的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找到百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計會比分?jǐn)?shù)統(tǒng)計更方便實用，也同樣凸顯了概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義。

師：我們來看第二個問題，我們已經(jīng)學(xué)了分?jǐn)?shù)，為什么還要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)？看表1，哪一杯糖水更甜一些？

表1

師：我們來看看這第一位同學(xué)的作品（圖5），誰看懂了？

圖5

生1：他是先把糖的質(zhì)量除以水的質(zhì)量，得到一個分?jǐn)?shù)。

師：也就是求什么？

生1：糖占水的質(zhì)量的幾分之幾。

師：為什么要化成分母是100 的分?jǐn)?shù)？

生1：我們要化成分母相同的分?jǐn)?shù)，然后才能進(jìn)行比較。

師：我們來再看第二位同學(xué)的作品（圖6）。說說你的想法？

圖6

生2：我用糖的質(zhì)量除以水的質(zhì)量，然后再化成一個分母是100 的分?jǐn)?shù)，再化成一個百分?jǐn)?shù)，這樣就可以進(jìn)行比較了。

師：很好，那你們現(xiàn)在對百分?jǐn)?shù)有什么想說的了？

生3：化成百分?jǐn)?shù)以后，我們更容易作對比，很快就能看出哪個多，哪個少。

師：百分?jǐn)?shù)到底還有什么特殊的作用呢？請同學(xué)們看下面這段文字，看完以后，我們對百分?jǐn)?shù)也許會有不一樣的看法。（出示課本“你知道嗎？”中關(guān)于恩格爾系數(shù)的敘述）

師：2010年我國城鎮(zhèn)家庭屬于哪個層次？是貧苦、富裕還是相對富裕？2019年全國居民家庭屬于哪個層次？你是怎么看出來的？

師：那看到這里，百分?jǐn)?shù)的特殊作用在哪里？

生4：可以做比較，也可以做數(shù)據(jù)的分析。

師：所以說百分?jǐn)?shù)在統(tǒng)計的時候，便于比較，生活中經(jīng)常用它來進(jìn)行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析。

評析：在現(xiàn)實生活中，標(biāo)準(zhǔn)不同的數(shù)據(jù)是不能直接進(jìn)行比較的，對于這樣的數(shù)據(jù)，要使比較有意義，就要將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，以此來突出統(tǒng)計價值。這一環(huán)節(jié)設(shè)計糖水甜度數(shù)據(jù)的比較，就是讓學(xué)生在解決問題的過程中，運(yùn)用統(tǒng)計的思維來進(jìn)行分析和表達(dá)生活問題，培養(yǎng)了學(xué)生的統(tǒng)計意識，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，以此來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識的養(yǎng)成。

四、對比提升，完善概念外延

用百分?jǐn)?shù)表示分率時分為兩種情況，即兩個量之間的關(guān)系以及部分與整體的關(guān)系。在這一環(huán)節(jié)教學(xué)中，通過課前主題圖上的3 個百分?jǐn)?shù)的變化來凸顯兩者的區(qū)別。

（出示主題圖2）

師：現(xiàn)在充電是百分之多少？再充多少就充滿？（40%）

師：再充1 個小時，能不能充到110%？

生1：不能，只能充到100%。

師：那我們再看26%（出示主題圖1），這個百分?jǐn)?shù)可不可以更大一點？（可以）

師：還可以是多少？50%有沒有可能，最多只能是多少？（100%）

師：當(dāng)然這種情況不是我們希望的，我們希望是多少？（0%）那怎樣才能做到0%呢？就是要好好愛護(hù)眼睛，預(yù)防近視。

師：這個80%是表示女生占男生的百分之幾（出示主題圖3），有沒有可能再多一點？

生2：可以是200%。

師：有可能嗎？（有）那女生多少人？（40 人）

師：150%、300%等都有可能嗎？（有）此時的你有疑問了嗎？

生3：我想知道哪些百分?jǐn)?shù)可以超過100%，哪些不可以？

師：這是個很棒的問題，為什么這兩個百分?jǐn)?shù)不能超過100%？而這個百分?jǐn)?shù)可以超過100%。

生4：因為前面兩個圖都是把一個數(shù)量看做一個整體，表示其中的一部分和這個整體的一種關(guān)系，所以最多只能是100%，而第三個圖是表示兩個不同的數(shù)量之間的關(guān)系，是可以超過100%的。

生5：我覺得第一和第二幅圖都是有上限的，也就是部分和整體的關(guān)系，所以不能超過100%。

師：所以說百分?jǐn)?shù)分為兩種情況，一種是表示部分與整體的關(guān)系，一種是表示兩個獨立的數(shù)量之間的關(guān)系。

師：我們來看一個微課視頻《兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系》，看看百分?jǐn)?shù)和我們原來學(xué)過的數(shù)之間有什么樣的聯(lián)系。（微課播放）

師：觀看微課我們知道了兩個量的倍比關(guān)系之前可以用整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)甚至比來表示，現(xiàn)在我們學(xué)的百分?jǐn)?shù)，也可以表示兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系，所以百分?jǐn)?shù)也叫百分比或者是百分率。

評析：通過三個生活中的例子，讓學(xué)生深刻體會百分?jǐn)?shù)能否超過100%，其關(guān)鍵在于兩個量是否存在包含關(guān)系，從初步感知，到理解概念內(nèi)涵，再到拓展外延，層層深入，豐富學(xué)生對百分?jǐn)?shù)概念的理解。而微課的播放，又將小學(xué)階段的倍比關(guān)系進(jìn)行串聯(lián)，將百分?jǐn)?shù)納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，完善知識體系。

五、全課總結(jié)，鞏固概念理解

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？（學(xué)生自由分享）

師：同學(xué)們都是收獲滿滿。如果用百分?jǐn)?shù)來表示你這節(jié)課的表現(xiàn)？你想怎么來表示？

生1：90%滿意，10%不滿意，因為我認(rèn)為自己還可以表現(xiàn)得更好。

生2：這節(jié)課我認(rèn)真聽講，積極回答問題，對自己的表現(xiàn)滿意度為100%。

生3：我發(fā)言不夠積極，但我還是能做到積極思考，這一點很滿意，85%滿意。下一節(jié)課，爭取100%滿意。

評析：通過對本節(jié)課的總結(jié)，學(xué)生既回顧了已學(xué)的知識，同時結(jié)合新知又關(guān)注到學(xué)生的情感表現(xiàn)，鞏固概念。

六、教學(xué)反思

葉瀾教授曾經(jīng)說過：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程?！庇筛纳婆c學(xué)生的對話方式入手，牢牢建立在師生民主的、平等的情知互動的對話課堂，像“百分?jǐn)?shù)怎么來的”“表示什么”“有什么用”“與分?jǐn)?shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系”等等這些相關(guān)的知識，教師是設(shè)置自主提問的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生提出問題、歸納問題，把學(xué)生們在課堂“動態(tài)生成”的問題和素材，變?yōu)檎n堂教學(xué)的資源。同時，在這一課的學(xué)習(xí)目標(biāo)中，立足理解意義，親歷概念建構(gòu)過程，凸顯概念的現(xiàn)實意義，建構(gòu)知識體系，與前后知識聯(lián)系，豐盈學(xué)生的認(rèn)知。

（一）在數(shù)據(jù)的變與不變中理解百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵和外延

百分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵是表示兩個數(shù)量之間的比率關(guān)系，這種關(guān)系的外延表現(xiàn)為兩個方面，一是部分與整體之間的關(guān)系，二是兩個獨立的量之間的關(guān)系。學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵時，源于分?jǐn)?shù)的意義，如僅停留于此，會對概念的理解形成一定的干擾。教學(xué)26%時，引導(dǎo)學(xué)生感受到總數(shù)變化，近視的人數(shù)也隨著變化，而關(guān)系是不變的，體會百分?jǐn)?shù)不是具體的數(shù)量，而是兩個量的關(guān)系，進(jìn)而理解百分?jǐn)?shù)有別于分?jǐn)?shù)。理解外延時，通過具體情境下百分?jǐn)?shù)的變化，最大可能是多少，深刻體會百分?jǐn)?shù)能否超過100%，關(guān)鍵在于兩個量是否存在包含關(guān)系。素材三次呈現(xiàn)，從初步感知，到理解意義，再到拓展外延，層層深入，豐富學(xué)生對百分?jǐn)?shù)概念的深刻理解。

（二）在統(tǒng)計的融合與溝通中突顯概念的現(xiàn)實意義

（三）在知識的聯(lián)系與對比中建構(gòu)百分?jǐn)?shù)的“錨點”與體系

百分?jǐn)?shù)源于分?jǐn)?shù)，是分?jǐn)?shù)意義的延伸，但又有別于分?jǐn)?shù)，前后三次聯(lián)系、對比，逐步讓學(xué)生清晰百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，初步感受百分?jǐn)?shù)的獨特性，同時在課尾還通過微課進(jìn)行小學(xué)階段倍比關(guān)系的梳理，深入體會百分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、比的聯(lián)系和區(qū)別，同時，有助于學(xué)生更好地理解生活中利率、利潤、折扣等現(xiàn)實問題，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)感，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，確定數(shù)概念認(rèn)知新的“錨點”。