以轉化思想為核心 打開學生主動學習的一扇門
——以“平行四邊形的面積”教學為例

方 勇

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對義務教育階段數學課程標準進行了整體設計和系統完善，其中特別提到課程內容結構的調整，提出要圍繞發展學生核心素養，精選和設計課程內容。筆者試圖就小學數學“空間與圖形”領域中有代表性的“平行四邊形的面積”一課為例，逐步發展學生的數學核心素養。平行四邊形的面積計算方法是在學生掌握了長方形、正方形面積計算方法之后學習的，也為之后學習三角形、梯形、圓形等圖形面積計算公式奠定了基礎，在圖形面積公式教學中起著承上啟下的重要作用。在平行四邊形面積計算的學習探究過程中，學生第一次運用轉化的方法探索面積計算公式，學生獲得的數學思想、活動經驗對學生下一步探索其它圖形面積公式具有很高的引領價值，因此轉化方法的習得和轉化思想的滲透無疑成為本課教學的重要目標，筆者試圖以轉化思想為核心，培養積累學生在數學抽象、邏輯推理、運算能力和個人修養方面的數學素養，打開學生主動學習的一扇門。

一、“問題生成單”——導學激疑促主動思考，初步感受轉化

（一）回顧舊知

教師首先出示“問題生成單”，見圖1。“問題生成單”首先讓學生根據已經學習過的圖形面積計算方法——數方格的方法計算出平行四邊形和長方形的面積，以小組為單位進行測量計算，小組內可以互相交流，同時記錄在此過程中遇到的問題，最后，在全班同學前進行匯報。在數方格的過程中，教師可以提示學生將不足一格的按半格計算，兩個半格合成一個整格進行測量，并展示了最終的測量結果（見圖2）。學生通過數方格的方法計算圖形的面積，不僅復習了長方形面積的計算公式及計算過程，也為平行四邊形面積計算公式的推導過程做了一個參考和對比。

圖1

圖2

（二）引發思考

學生通過觀察、比較平行四邊形和長方形面積的結果發現，平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等，而且兩個圖形的面積也是相等的，這會引起學生的進一步思考和猜想：平行四邊形與長方形有著什么樣的密切聯系，平行四邊形的面積計算公式= 底× 高是否成立呢，是否可以把平行四邊形轉化成長方形，怎樣轉化呢等，引起了學生接下來驗證猜想的興趣。

通過問題生成單，教師讓學生主動去嘗試并尋找規律，激發學生的思考，同時學生也會在解決問題過程中，會產生一些疑問和問題，于是學生會帶著問題和思考走進新知，成為了學生主動思考的催化劑。我們都認同讓學生感受數學、經歷數學、體驗數學是學生學習數學的最佳方式，因此在教學之初把課堂還給學生，利用“問題生成單”貫穿全課，為學生提供自主學習的時間和空間。

教學反思：回顧、遷移、探尋。教師要充分利用學生已有的活動經驗，引導學生選擇合適的方法展開有效的探究。在課堂上，老師先讓學生“回顧”用數方格方法測量平行四邊形的面積，方格紙形象直觀地提示了剪拼的一般方法，也為絕大多數同學理解“等積變形”提供了可靠的基礎。在觀察、比較、填表的基礎上，很多學生驚奇發現，“長方形的面積= 長×寬，而平行四邊形的面積也正好等于底乘以高”，從而形成猜想“平行四邊形的面積是否等于底乘以高呢？”抓住這一猜想，激發了學生脫離方格紙的個例來操作驗證這一猜想是否成立就成為了當務之急。有了“數方格”的活動經驗，加之對剪拼整合的直觀感受，學生們潛意識地聯想到剪一剪、拼一拼，把一個平行四邊形轉化為一個與它面積相等的長方形，把新知向舊知進行“遷移”，使學生明確平行四邊形與長方形的內在聯系，這也便于從已有圖形面積計算公式“探尋”新的圖形面積計算公式，使學生明確面積計算公式的意義和來源。

圖3

二、“學路建議”——問題引領促主動猜想驗證，逐步引入轉化

平行四邊形是否可以轉化成長方形、平行四邊形的面積是不是等于底乘以高這還只是一個猜想，僅僅通過一個例子就下結論，顯然沒有說服力。教師需要鼓勵學生們進一步驗證。事實上，學生對于平行四邊形的操作經驗，是伴隨著對平行四邊形認識的過程逐步積累起來的，在探究平行四邊形面積時，實現兩種圖形的轉化就成為學生的自覺需要和自然發現，在學生自主探究的過程中，教師要幫助學生理清：一是為什么要這樣轉化，使學生清楚地意識到轉化的目的是什么，即探究驗證平行四邊形的面積等于底乘以高；二是轉化是否會引起測量結果的變化，即平行四邊形的面積與長方形的面試是否還相等。針對以上思考，教師要引導學生回答下面三個問題：拼出來的長方形與原來的平行四邊形相比，面積變了嗎；拼出長方形的長和寬與原來的平行四邊形的底和高有什么關系；能根據長方形的面積計算公式推導出平行四邊形的面積計算公式嗎。針對這些問題，老師提出了本節課的“學路建議”，即研究內容和方法（見圖4）。

圖4

接下來學生以小組為單位開展了五個步驟的學習活動：選擇問題——獨立思考——小組合作——記錄過程——組間互訪。小組合作學習讓學生經歷從未知向“已知”轉化的探索過程，但這一過程的有效性很大程度上取決于教學視角與學生的“已知”狀態是否匹配。因此，在小組合作學習探究的過程中，有三個問題是值得我們思考的：

其一，引發學生轉化意識的切入點在哪里?

其二，轉化后如何探求平行四邊形面積的計算方法?

其三，圖形轉化的探索過程留給學生什么樣的活動經驗?

學生的數學理解和抽象能力在對這些問題的思考中得以發展，面積公式的推導在豐富的體驗中逐漸明晰并自覺應用。可以說，著眼于實踐層面的意義解釋和反復體驗，雖然會拉長知識的抽象過程，但也會使這一過程更具自覺性和穩固性。學生共分4 組開始了驗證猜想的探究過程。

三、主動探究——小組合作學習促多元思維，正式經歷轉化

（一）問題選擇：研究平行四邊形面積大小與底和高的關系

探究方法：數方格的方法、制作可以拉伸的四邊形框架

探究過程：第1 組在釘子板上圍出了幾個底和高都不同的平行四邊形，用幾個不同大小的平行四邊形來說明面積與底和高的關系。這幾個底和高都不同的平行四邊形，通過數方格的方法，學生們發現它們的面積與底乘高計算的結果是一樣的。

結論：平行四邊形的面積與底和高有一定的聯系。

圖5

第2 小組制作一個可以拉伸活動的四邊形框架（圖6），它的4 條邊是不變的，但是把它拉扁一點，面積就變小了，再拉扁一點，面積就更小了，

圖6

結論：底邊不變，但是高變矮了，所以我們認為平行四邊形的面積與它的底和高有著密切的聯系。

（二）問題選擇：研究平行四邊形怎樣轉化成長方形

探究方法：割補法。

探究過程：第3 小組沿著頂點的高剪開，然后把它平移到另一邊，就割補成了長方形，原來平行四邊形的底變成了長方形的長，原來平行四邊形的高變成了長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形面積=底×高。

圖7

結論：平行四邊形面積=底×高。

第4 小組提出，不一定要沿著頂點的高剪開，沿著中間的任意一條高剪開，都可以把平行四邊形割補轉化成長方形。沿著任意一條高剪都能成功。但必須有直角，沒有直角是不能拼成長方形的。

圖8

圖9

師生共同總結：沿著頂點的高剪開，然后把它平移到另一邊，就割補成了長方形，形狀變了，面積不變。原來平行四邊形的底變成了長方形的長，原來平行四邊形的高變成了長方形的寬，因為長方形的面積= 長× 寬，所以平行四邊形面積=底×高。

教學反思：

1.研究“平行四邊形的面積與底和高有關嗎？”這個問題，第1 小組選擇了幾個不同大小的平行四邊形來說明這一點，而第2 個小組則選擇了一個“平行四邊形活動框架”，拉動后面積變小是因為高變矮了，由此說明面積與底和高有關。

2.研究“平行四邊形怎樣轉化成長方形”這個問題，第3 小組沿頂點的高剪開，第4 個小組沿中間的任意一條高剪開、沿斜邊中點剪開交叉平移等。學生通過各個小組的匯報演示，展示著自己不同的思維方式。

這一系列真實的探究活動，讓我們看到學生對轉化方法的理解從感性提升到理性，把概括公式過程的學習材料從個例推向一般?；趫D形特征運用“樸素證明”的過程，讓學生體會到知識的聯系與應用，而且在追根溯源的討論中培養了數學的理性精神。

四、“課末檢測單”——分層作業完善課堂評價，積淀學生核心素養

師：祝賀大家，終于推導出了平行四邊形的面積計算方法，我們可以下“結論”了。

生：平行四邊形的面積等于底乘高。

師：你們喜歡用字母來表示嗎？

生：。

師：相信大家已經迫不及待地想利用這一計算公式來解決實際問題了，那就拿出課末檢測單。出示A 類基標必做題。請看例1，獨立解決在檢測單上。

圖10

生：（板演例1）我們知道，然后用6×4=24（平方米）。

師：大家掌握得不錯，老師這里還有個問題。你能想辦法計算這個平行四邊形的面積嗎？上來演示一下。還有什么辦法？

生：這個平行四邊形的面積既可以用15×4 來計算，也可以用5×12 來計算，都等于60平方厘米。

師：能用15×12 來計算這個平行四邊形的面積嗎？在計算平行四邊形面積時需要注意什么？

生：找到對應的底和高才能相乘，15 和12 不是平行四邊形對應的底和高。

下面請同學們獨立解答A 類題練習1、2，教師巡視批改輔導。

出示B 類拓展選做題，由學生推薦或自薦來當小老師進行講解。

圖11

研究B 類第1 題。

生：這四個平行四邊形的面積相等，因為同底等高的平行四邊形面積相等。

師：那么不同底也不等高的平行四邊形面積有可能相等嗎？

生：當然有可能，只要它們的底與高相乘的積相等，面積就相等。

研究B 類第2 題。

生：面積為12 的平行四邊形它的底和高可能是1 和12,2 和6,3 和4，還可以把底和高反過來，所以我想到了6 種不同的平行四邊形。

師:大家要注意這只是在整數范圍來考慮，如果拓展到小數范圍，那就有無數種情況了。

師：這節課我們運用割補法，把未知的平行四邊形轉化為已知的長方形，從而推導出平行四邊形面積的計算公式，祝賀大家。在后面我們研究三角形和梯形的面積時，是否還會用到轉化的思想，又會產生哪些新的問題呢？讓我們拭目以待。（鏈接下節課的“問題生成單”）請同學們認真預習。

教學反思：練習環節，在“課末檢測單”中設計了彈性分層的作業，我們以A 類題和B 類題的形式呈現給學生。A 類和B 類分別對應課堂學習中的不同層次水平。

A 類基標必做題：

（1）運用計算公式直接計算面積旨在知識與技能的鞏固；

（2）選擇對應的底和高計算面積旨在解決問題能力的培養。這類題具有普遍檢測意義，是學生學習本節課后應達到的知識技能的底線標準，亦可作為教師檢測教學目標是否達成的重要依據。

B 類拓展選做題：

（1）“同底等高的平行四邊形面積是否相等？”是知識性的拓展；

（2）思維游戲：“面積為12 的平行四邊形，它的底和高可能是多少？”是思維性拓展。在整數范圍討論有如上六種情況（圖12），如果拓展到小數范圍，那就有以下無數種情況了（圖13），這樣的逆向思維游戲很大程度上提升了學生的邏輯推理能力，這也是培養數學核心素養的必備要素。

圖12

圖13

為了深度挖掘學生不同的思維層次資源，反復地將學生抽象出的“底乘高”算法引導到運用圖形進行形象化的推理上。在思維拓展練習中不僅再次讓學生經歷了圖形形象、表象模型與抽象公式的對照互動過程，更是讓其經歷了運用計算公式反向思維圖形變化情況的學習過程。可以說，學生正是在這種形象、表象和抽象的來回穿行與比照中，促進了對面積計算公式的理解，提高了運用幾何圖形解釋和思考問題的意識能力，這應該是眾多探究式學習所追求的價值取向。

綜上所述，筆者試圖以新發布數學課程標準的相關要求，在培育學科核心素養的數學抽象、邏輯推理、運算能力和個人修養等方面，努力創造并帶給學生一個主動求知、合作學習、釋放潛能、多元發展的有效課堂，問題質疑、問題探究、解疑分享、思維拓展、課末檢測，至始至終把課堂還給學生，給學生極大的自主學習時間和空間，讓學生動起來，課堂才能活起來，真正還學生以學習主人的地位，這樣的數學課堂才是靈動和學生喜聞樂見的。