含雙平行四邊形結構支鏈的SCARA并聯機構研究

梁 棟 張趙建 暢博彥 李 林 齊 楊

(1.天津工業大學機械工程學院， 天津 300387； 2.天津市現代機電裝備技術重點實驗室， 天津 300387；3.天津職業技術師范大學機械工程學院， 天津 300222)

0 引言

作為一類重要的工業機器人，并聯機器人具有空間多閉環結構，可通過多條支鏈的協同作用實現動平臺(末端執行器)的運動輸出，其中可實現SCARA運動(三平一轉，3T1R)的并聯機器人快速崛起，因其具有速度快、精度高以及動態響應快等優點，在實現抓取、移動、放置等高速操作且運動靈活的工作中有獨特優勢，廣泛應用在電子制造、食品生產、醫療衛生以及農業等領域[1-2]。

SCARA并聯機構的研究一直是國內外關注的焦點。CLAVEL[3]發明了具有空間三維移動能力的Delta機構，之后以其為基礎，通過在末端執行器上添加一個獨立的轉動輸出，進而實現了SCARA運動。隨著機構綜合理論的不斷發展，H4、I4[4-5]等具有多個動平臺的并聯機構相繼被發明出來。黃田等[6]在H4、I4的基礎上提出了具有SCARA 運動的Cross-Ⅳ型高速搬運機器人。文獻[7-10]提出了X4型并聯機構，其為一種單動平臺的全對稱SCARA運動并聯機構，為后來單動平臺SCARA并聯機構的設計和發展奠定了基礎。沈惠平等[11-13]基于機構結構降耦原理與方位特征(POC)集理論，設計了低耦合度、零耦合度且部分解耦的能實現SCARA運動的并聯機構。這些機構的運動學、動力學分析相對簡單，運動控制與軌跡規劃較容易，所以在某些應用中有較大優勢。楊廷力等[14]提出了基于單開鏈的構型綜合方法及方位特征輸出矩陣，據此綜合出了一系列SCARA并聯機構。

傳統SCARA并聯機構由于支鏈不含或含有較少的閉環子結構，且采用輕量化設計，其剛度、承載力等較低，故在高速/高加速度及重載運動場合下，彈性變形較大，會進一步影響末端執行器的跟蹤/定位精度。針對現有機構在高速拾取、搬運、放置等作業場合下的不足，本文提出一種含雙平行四邊形結構支鏈的新型SCARA并聯機構(具有工作空間大、剛度和承載力高等特點)，并對此機構的拓撲結構、運動學以及運動性能進行系統性分析。

1 拓撲結構分析

1.1 機構描述

機構的三維虛擬樣機模型如圖1所示。

圖1 機構虛擬樣機模型Fig.1 Virtual proptotype model of mechanism1.靜平臺 2.驅動裝置固定架 3.驅動裝置 4.從動臂 5.主動臂 6.連接架 7.上短桿 8.桿端連接頭 9.細桿 10.下短桿 11.動平臺 12.末端執行器

該機構包括靜、動平臺以及4條相同的支鏈(PaRPaR)，每條支鏈均含有2個平行四邊形結構，剛度較高，可有效抵抗彈性變形。4條支鏈彼此相隔90°均勻地連接在靜平臺上，動平臺采用單動平臺的結構，且設計為矩形。驅動裝置固定在靜平臺上。上下兩個平行四桿機構由連接架連接，連接架與下平行四桿機構通過一軸線豎直布置的轉動副連接。連接架的底面與地面始終保持水平。下平行四桿機構的末端通過轉動副連接于動平臺。

1.2 自由度分析

1.2.1李群理論

剛體在空間的六維運動{D}稱為一個李群，即位移群。剛體在空間中的各種運動都是位移群{D}的子集。表1為利用典型位移子群表示剛體在空間內的運動[15-18]。

表1 典型位移子群Tab.1 Several displacement subgroups

1.2.2自由度

圖2為該機構的機構簡圖。圖中Ai表示第i條支鏈與靜平臺的鉸鏈中心 (i=1, 2, 3, 4)，Bi表示上平行四桿機構的主動臂與連接架的鉸鏈中心，Ci表示下平行四桿機構的短桿中心，Di表示下平行四桿機構的短桿中心。αi表示4個主動臂轉角，即主動臂與水平方向的夾角。ξ表示上四桿機構的末端和下四桿機構的上端的連線與水平方向的夾角。

圖2 機構簡圖Fig.2 Schematic of mechanism

在計算含閉環子鏈的機構自由度時，首先把閉環子鏈視為一個多自由度的廣義運動副，然后通過約束分析，把閉環子鏈等效轉換為幾個單自由度運動副組合成的串聯鏈，可將原來的復雜機構變成等自由度的不再含有閉環子鏈的并聯機構，即可按照一般的自由度分析求解[16]。該機構兩個復雜鉸鏈均為4R平行四邊形機構，通過上述提到的約束分析方法，可以得到這2個平行四桿機構分別等效為一個移動副。令u、v、w(分別平行于x、y、z軸)表示轉動副的軸線矢量，將每條支鏈從上往下分為上平行四桿、連接架、下平行四桿以及動平臺4部分。{Li,j}表示各支鏈中各部分的運動集合，i=1, 2, 3, 4，表示4條支鏈；j=1, 2, 3, 4，表示從上到下的4部分。

支鏈的上部分平行四桿機構的運動集合{Li,1}可表示為

{Li,1}={Ta(ni,1)}

(1)

式中 {Ta(ni,1)}——方向為ni,1的移動副，ni,1的方向為AiBi與Ai處轉動副軸線矢量叉乘之后的方向，為一維圓弧運動

連接架與下平行四邊形機構之間的轉動副{Li,2}可表示為

{Li,2}={R(Ci,w)}

(2)

式中 {R(Ci,w)}——轉動軸線矢量為w且過點Ci的轉動副

下部平行四邊形的運動集合{Li,3}可表示為

{Li,3}={Tb(ni,2)}

(3)

式中 {Tb(ni,2)}——方向為ni,2的移動副，ni,2的方向為下平行四桿的長桿所在的方向矢量與轉動軸線矢量叉乘之后的方向，為一維圓弧運動

動平臺與下平行四邊形連接關節處的轉動副{Li,4}可表示為

{Li,4}={R(Di,w)}

(4)

式中 {R(Di,w)}——轉動軸線矢量為w且過點Di的轉動副

則整條支鏈的運動集合可表達為

{Li}={Li,1}{Li,2}{Li,3}{Li,4}=
{Ta(ni,1)}{R(Ci,w)}{Tb(ni,2)}{R(Di,w)}=

{Ta(ni,1)}{Tb(ni,2)}{G2(w)}={X(w)}

(5)

式中 {G2(w)}——二維平面運動，為{G(w)}的二維子流形

{G(w)}表示法線為w的平面運動，包括平面二維移動和繞法線w的一維轉動。?s使得{T(s)}·{G2(w)}={G(w)}。

機器人動平臺的自由度是4條支鏈末端所允許的剛體運動集合的交集，所以動平臺運動集合{M}為

{M}={L1}∩{L2}∩{L3}∩{L4}={X(w)}

(6)

綜上所述，該機構動平臺具有4個自由度，即在空間中的三維移動和繞z軸的轉動。

2 位置分析

2.1 位置正解

位置正解是已知主動臂的轉角求解末端動平臺位姿[19-20]。建立如圖2所示的固定參考坐標系Oxyz，坐標原點O與圖中靜平臺中心重合，靜平臺中心到A1的方向為x軸方向，靜平臺中心到點A2的方向為y軸方向，z軸方向滿足右手螺旋定則。構建動坐標系O′x′y′z′，以D1D3與D2D4的交點為動系坐標原點O′，x′軸方向為原點O′到點D1的方向，y′軸過原點且垂直于x′軸,z′軸方向滿足右手螺旋定則。采用閉環矢量法分析該機構的位置，用向量r表示末端執行器參考點O′相對于靜坐標系原點O的位矢。閉環矢量示意圖如圖3所示。

結合圖2、3，動平臺參考點O′在固定坐標系中的位置矢量可表示為

r=lOAi+lAiBi+lBiCi+lCiDi+lDiO′

(7)

進一步改寫為

lCiDi=r-(lOAi+lAiBi+lBiCi)+lO′D

(8)

用ai、bi、ci分別表示lOAi、lAiBi、lBiCi的單位方向矢量，βi表示Ai處的方位角，則

(9)

由式(9)可得

(10)

式中R1——靜平臺外接圓半徑

L1——主動臂長度L2——連接架長度

d′i=(cosγi,sinγi,0)T

(11)

其中

ε1=ε3=0ε2=ε4=1

式中η——支鏈1、3末端的連線與支鏈2、4末端的連線的夾角，為鈍角

εi——符號參數

動平臺具有4個自由度，但只有一個旋轉自由度，即繞z軸的旋轉，故動坐標系相對于靜坐標系的姿態旋轉矩陣為

(12)

式中θ——動平臺轉角

(13)

其中

di=Rd′i

R2——動平臺外接圓半徑

根據桿長約束條件可得方程

‖lCiDi‖=L3(i=1, 2, 3, 4)

(14)

式中L3——從動臂長度

由式(8)～(14)得

(15)

式(15)即為該機構的位置正解模型，是以x、y、z以及θ為未知量的非線性方程組。該方程組無法求得其解析解，可借助牛頓-拉普森迭代法[21]求得其數值解(見下文數值算例)。

2.2 位置逆解

位置逆解是已知末端動平臺的位姿反求主動臂轉角[19-20]。將式(15)整理為

(16)

將式(16)簡記為

Mi1cosαi+Mi2sinαi+Mi3=0 (i=1,2,3,4)

(17)

其中

(18)

式(18)即為逆解模型，即給定末端動平臺的位姿，可得4條支鏈的主動臂轉角位移。由此可見，機構共有16組逆解，考慮到機構的實際裝配，式(18)中根號前取“-”號。

2.3 位置算例驗證

不失一般性，取表2中各桿件長度。借助Matlab軟件進行數值仿真，驗證位置正/逆解模型的正確性。

表2 機構尺寸參數Tab.2 Various dimensional parameters m

算例1：給定末端平臺參考點O′的位置為x=0.2 m、y=0.1 m、z=-0.6 m、θ=π/3。通過Matlab軟件編寫逆解程序，可以得出α1=-0.706 9 rad、α2=-0.616 9 rad、α3=0.323 0 rad、α4=0.426 3 rad。利用牛頓-拉普森迭代法對非線性方程組式(15)進行求解。將上述逆解過程中得到的4個主動臂轉角作為已知條件，用牛頓迭代法求得動平臺位姿：x=0.2 m、y=0.1 m、z=-0.6 m、θ=π/3，該算例正解與逆解所得結果相互對應。再給定算例2：x=-0.3 m、y=-0.1 m、z=-0.7 m、θ=-π/4，逆解程序運行之后得到：α1=0.723 5 rad、α2=0.103 2 rad、α3=-0.658 2 rad、α4=-0.041 1 rad。將上述結果作為已知條件，代入正解方程組，運用牛頓迭代法進行求解，計算得到：x=-0.3 m、y=-0.1 m、z=-0.7 m、θ=-π/4，與算例給定條件一致。對比兩個算例，正解與逆解所得結果均能夠相互對應，由此可知，位置正/逆解模型推導正確。

3 速度與加速度分析

3.1 雅可比矩陣構建與速度分析

由式(7)可知，機構動平臺參考點O′在固定坐標系中的位矢r=(x,y,z)T可改寫為

r=lOAi+lAiBi+lBiCi+lCiDi-lDiO′

(19)

對式(19)關于時間t求導，得

(20)

其中

(21)

式中ω1i——主動臂角速度

ω2i——連接架角速度

ω3i——從動臂角速度

wi——從動臂單位矢量

ω——動平臺角速度

vi——主動臂的轉動軸線，為與bi張成平面的單位法矢量

將式(21)代入式(20)，得

(22)

(23)

將式(23)整理成矩陣形式為

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

末端執行器速度與輸入速度之間的關系為

(29)

式中Jq——直接雅可比矩陣

Jx——間接雅可比矩陣

J——雅可比矩陣

由式(21)、(23)可得主動臂角速度為

(30)

由式(20)、(21)可得

(31)

對式(31)兩端叉乘wi，得從動臂角速度為

(32)

其中

式中wix、wiy、wiz——wi的3個分量

3.2 加速度分析

在速度分析基礎上進行加速度分析，對式(20)關于時間t再求導，得

(33)

對式(21)求導，得

(34)

將式(34)代入式(33)，得

(35)

(36)

由式(32)進一步整理得到從動臂的角加速度為

(37)

3.3 角度、角速度、角加速度對比

給定仿真軌跡：規劃動平臺參考點O′在z=-0.8 m的平面上走一個半徑為0.3 m的圓軌跡，且給定動平臺轉角θ為0°。基于上述分析，求得主動臂角度、角速度及角加速度的變化曲線，如圖4所示。

由圖4可知，給定軌跡后，所得主動臂轉角、角速度以及角加速度的變化曲線平滑、連續且成導數關系，說明該機構的運動學分析準確。

4 工作空間與運動性能

4.1 工作空間

并聯機構的工作空間是指在考慮各種約束條件下(桿長約束、運動副轉角約束等)，末端執行器的工作區域[22-24]。利用上述位置分析中的逆解，采用極限邊界搜索法[23]求解工作空間。首先是一個平面上的搜索，極徑ρ從零開始增大到一定值結束，符合條件的點保存，否則舍棄；極徑ρ達到一定值后開始圓周搜索，搜索一周轉過的角度為2π，至此完成一個平面的搜索。然后開始在z軸搜索，將z軸的范圍等距離散，滿足條件的保存，反之不保存。至此，工作空間內的點搜索完畢，其包絡面即為工作空間。圖5為極限邊界搜索法流程圖。

圖5 極限邊界搜索法流程圖Fig.5 Flow chart of limit boundary search method

根據桿長及運動副轉角等約束，確定搜索范圍，取極徑搜索范圍為0≤ρ≤0.8 m，將其等距離散為150份，將圓周2π等距離散為150份，搜索動平臺轉角θ為0°時的定姿態工作空間，z軸循環從-1.5 m到0.5 m進行搜索，取定步長為0.01 m，為避免桿件干涉，設主動臂轉角為-π/6≤αi≤π/3。利用上述方法并借助Matlab軟件，工作空間求解結果如圖6所示。

由圖6可看出，機構在動平臺轉角為0°時的定姿態下，其工作空間關于中心對稱，工作空間外廓光滑，體積較大且內部無空洞，說明機構在0°定姿態下的工作區域較大，機構比較合理。

圖6 轉角為0°時工作空間各視圖Fig.6 Various views of workspace when angle was 0°

取動平臺轉角為-30°，其他搜索條件不變，所得工作空間如圖7所示。

由圖7可知，在轉角為-30°時的定姿態下，工作空間外廓依舊光滑連續，機構的工作區域較大，并關于中心對稱，且相對于0°姿態下的工作空間有一定減小。

圖7 轉角為-30°時工作空間各視圖Fig.7 Various views of workspace when angle was -30°

4.2 動平臺轉動能力

動平臺在工作區域內的轉角范圍是衡量并聯機構動平臺轉動能力的一個重要指標[24]。選擇不同高度的x-y截面來分析該機構動平臺的轉動能力。首先在初始位置處開始轉角循環，滿足約束條件的記錄下來，反之舍棄；然后開始下一位置處的角度循環，直到某一截面上的點(某一高度下可達工作空間內的所有點)均循環一遍之后，搜索結束。轉動角度分別取最大、最小值，由此得到此截面上的最大、最小轉動角度的分布情況。

取不同平面(z=-0.75 m、z=-0.9 m、z=-1.1 m)，設定極坐標半徑范圍0≤ρ≤1 m，極坐標搜索后得到的截面為可達工作空間，分別計算動平臺在此截面內的每個點的最大轉角γmax和最小轉角γmin，結果如圖8所示。

圖8 不同高度下的轉角γmax、γmin的分布情況Fig.8 Distribution of γmax and γmin at different heights

由圖8可知，以上3個平面上的轉角γmax與γmin的分布較均勻，等高線平滑，無突變。中間接近z軸處的最大轉角最大，在z=-0.75 m這一平面上可達到150°左右，隨著距離z軸越來越遠，γmax越來越小。最小轉角的分布與最大轉角類似，在z=-0.75 m時，z軸附近的最小轉角可達到-170°左右，向外逐漸變大。由此可知，動平臺在中間的轉動能力最大，隨著末端動平臺參考點O′距離z軸越來越遠，轉動能力減弱。通過以上幾個平面的分析可知，該機構的轉動能力較好，由內而外轉動能力依次降低，符合規律。

4.3 運動性能

靈巧度是衡量機器人運動性能的重要指標[25]，反映在某一位置時末端執行器獲得運動傳遞性能。

目前靈巧度性能指標主要由可操作度與條件數兩種方法來表示。條件數指標定義為[25-26]

cond(J)=‖J‖‖J-1‖

(38)

式中 ‖J‖——雅可比矩陣的Frobenius范數

根據上述所求雅可比矩陣，可知條件數與結構尺寸和位形有關系。當其趨于無窮大時，機構處于奇異位形，性能變差甚至失去運動能力。當其等于1時，機構運動傳遞性能最優。一般條件數在做純移動或純滾動的機構中應用較廣泛[25]。但在含有不同類型自由度的機構中(既含有轉動自由度也含有移動自由度)，由于雅可比矩陣內部元素量綱不統一，會對分析結果造成偏差，不能正確反映機構的運動傳遞性能[18]。因此，本文利用特征長度因子[27]對雅可比矩陣進行量綱齊次化處理，即

(39)

式中Jh——齊次雅可比矩陣

Jh1——原雅可比矩陣的前3列

Jh2——原雅可比矩陣的第4列

L——特征長度因子

各向同性條件可進一步表達為

(40)

式中λ——一個非零標量

O——零矩陣

I3——3×3單位矩陣

將Jh1、Jh2相關表達式代入式(40)求解，可得

(41)

機構條件數指標表達式為

(42)

為更好地觀察機構的運動傳遞性能，一般取條件數的倒數，即κ(Jh)=1/cond(Jh)。將工作空間中所有點的坐標值代入雅可比矩陣，結合式(42)，可得到其靈巧度的空間分布。

選取末端執行器位于θ=0°時的定姿態，借助Matlab軟件，得到機構的靈巧度分布如圖9所示。

圖9 靈巧度空間分布結果以及某位置下的構型圖Fig.9 Condition number distributions in whole workspace and configuration diagram of certain position

由圖9可知，κ(Jh)在0.02～0.16之間連續變化，無突變，表明該機構具有較好的運動傳遞性能。在圖9d～9g所示深藍色區域，κ(Jh)較小，運動性能略差，這是因為該機構采用矩形平臺，矩形較短的邊距離工作空間邊界位置相對較近，所以該處κ(Jh)較小，運動性能略差。中間處κ(Jh)最大，性能最好。兩個長邊距離工作空間邊界處相對于短邊較遠，所以κ(Jh)較大，在相應位置處有較好的運動傳遞性能。需指出，該機構在經優化設計后，運動性能可進一步提高。

基于求得的量綱齊次雅可比矩陣，定義可操作度指標為[24]

(43)

當σ=0時，末端執行器位于奇異位置，當σ≠0時，可操作度越大，機構運動性能越好。選擇不同平面來分析該機構的可操作度。

選擇z=-0.85 m的平面，結合式(43)，得到可操作度的空間分布結果如圖10所示。

圖10 θ=0°定姿態可操作度(z=-0.85 m)Fig.10 Fixed attitude maneuverability at θ=0° (z=-0.85 m)

選取z=-1 m的平面，得到可操作度的分布，結果如圖11所示。

圖11 θ=0°定姿態可操作度(z=-1 m)Fig.11 Fixed attitude maneuverability at θ=0° (z=-1 m)

由圖10可知，σ在50～400范圍內變化，其與動平臺的形狀、工作空間的邊界處均有關系。圖11中具有相似的分布情況，且σ在60～250范圍內變化。可操作度結果與條件數結果大致對應，表明該機構運動傳遞性能較好，靠近工作空間邊界處的區域，性能較低。

5 奇異性分析

當機構處于奇異位置時，運動性能大大降低，甚至失去運動能力，從而導致機構被損壞。串聯機器人與并聯機器人均具有奇異位置，并聯機器人由于有多條支鏈形成的多閉環結構相互制約的特點，奇異性相對比較復雜。本文采用雅可比矩陣來分析奇異位置[11-20]。

5.1 第一類奇異

該類奇異又稱邊界奇異，當直接雅可比矩陣降秩時，即行列式的值為零，機構發生邊界奇異[18]。結合前述雅可比矩陣可得，當det(Jq)為零時，機構中一條或多條支鏈處于工作空間邊界位置，驅動副失去某個方向上的運動能力。記直接雅可比矩陣Jq對角元素為Jqi(i=1,2,3,4)，即Jq=diag(Jqi)，Jqi中一個或多個為零時，Jq發生降秩，Jqi為

(44)

式中wi——從動臂單位矢量

lAiBi——主動臂的方向矢量

由式(42)可知，當主動臂與從動臂平行時，Jqi=0，此時Jq降秩，為第一類奇異位置，也是該機構的工作空間邊界點。圖12給出了兩種奇異位形。

圖12 第一類奇異位形Fig.12 The first kind of singular configuration

結合圖12可知，當產生奇異時，主動臂轉角(主動臂與水平面夾角，向下為正)大于π/2，機構桿件之間易產生干涉，為防止機構桿件之間的干涉，取主動臂轉角為-π/6≤αi≤π/3，在此條件下可避免第一類奇異。

5.2 第二類奇異

該類奇異又稱正運動學奇異，當間接雅可比矩陣Jx降秩，即det(Jx)=0時，發生該類奇異。在第二類奇異位置處，鎖定機構的驅動關節，末端動平臺仍然可以產生一定的運動，即至少獲得一個自由度[11]。Jx為

(45)

圖13 第二類奇異位形Fig.13 The second kind of singular configuration

5.3 第三類奇異

該類奇異又稱混合奇異，當直接雅可比與間接雅可比均降秩[11-18]時，即det(Jq)=0且det(Jx)=0時，發生該類奇異。此時末端執行器位于工作空間的邊界點，驅動副失去某個方向的運動能力，而末端又仍然存在未被約束的自由度。因該機構通過設定主動臂轉角范圍，避免了第一類奇異，故不存在混合奇異。

6 仿真實驗

為驗證前述理論分析的正確性，借助ADAMS軟件對該機器人機構進行仿真實驗。將機器人的SolidWorks三維虛擬樣機模型導入ADAMS，導入之后，對約束進行定義，并添加電機驅動。依據前述運動分析，在Matlab中規劃好相應軌跡，即在1 s內走一個半徑為0.3 m的圓軌跡，利用位置逆解可求得4條支鏈的主動臂輸入轉角。然后，把主動臂轉角數據從Matlab導入到ADAMS中，作為驅動輸入進行仿真實驗。仿真過程中，機器人的運動情況如圖14所示。仿真實驗結果表明，機器人末端執行器能夠完全跟蹤期望軌跡，證明了該機構結構設計的合理性和運動分析的正確性。

圖14 ADAMS仿真實驗中一個周期內末端執行器各時刻所處的位置Fig.14 Position of end effector at each time in a cycle in ADAMS simulation experiment

7 結論

(1)提出了一種可實現SCARA運動的新型并聯機構，其4條支鏈相同，整體結構緊湊。由于支鏈含有雙平行四邊形結構，比不含閉環結構的支鏈具有更高的承載能力、剛度以及穩定性。

(2)基于李群理論證明了該機構有4個自由度，即3T1R。在拓撲分析基礎上，借助閉環矢量法求得了位置正/逆解、雅可比矩陣、速度及加速度等，數值仿真結果正確合理，彼此之間相互對應，機構運行平穩，為后續控制策略設計奠定了基礎。

(3)通過極限邊界搜索法得到的機構工作空間較大，中間無空洞，外廓曲面光滑。動平臺的最大、最小轉動角在工作空間的分布均勻，無突變，且轉動范圍較大，證明機構具有較好的轉動能力。利用量綱齊次雅可比矩陣分析了條件數和可操作度，兩種方法得到的結果表明該機構在工作空間內的運動傳遞性能優良。

(4)利用直接、間接雅可比矩陣分析了該機構的幾類奇異位形，可以發現，通過設置一些約束條件和動平臺采用矩形形狀可有效避免機構的奇異位形。在理論分析基礎上，借助ADAMS多體動力學軟件進行了軌跡跟蹤仿真實驗，進一步證實了該機構結構設計的合理性和理論分析的正確性。