主被動(dòng)閉環(huán)融合調(diào)姿隔振平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模與模態(tài)分析

耿明超 趙鐵石 李二偉 陳宇航 馬 宏 王占英

(1.河北建筑工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院， 張家口 075000；2.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004；3.北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院， 廊坊 065000)

0 引言

載體的擾動(dòng)頻率跨越了高、中、低多個(gè)頻段，而單一類型作動(dòng)器只能解決特定頻段和幅值范圍內(nèi)的問題，即現(xiàn)有的機(jī)構(gòu)一般只能實(shí)現(xiàn)單一的調(diào)姿或者隔振功能。大幅度位姿補(bǔ)償一般是通過穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。KOLECKI等[1]基于Stewart機(jī)構(gòu)研制了一種輕型穩(wěn)定平臺(tái)用于穩(wěn)定激光掃描儀，電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)。劉曉等[2]研制了6-PUS的艦載穩(wěn)定平臺(tái)，通過伺服電機(jī)和絲杠驅(qū)動(dòng)滑塊運(yùn)動(dòng)。ZHANG等[3]研制了具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的穩(wěn)定平臺(tái)。于榮榮等[4]基于3-RPS機(jī)構(gòu)，通過電機(jī)驅(qū)動(dòng)液壓缸伸縮實(shí)現(xiàn)目標(biāo)調(diào)姿。穩(wěn)定平臺(tái)的作動(dòng)器多為行程大但頻率響應(yīng)較低的電動(dòng)缸、液壓缸等。

隔振技術(shù)根據(jù)對(duì)振動(dòng)的補(bǔ)償原理可分為被動(dòng)式、主動(dòng)式和主被動(dòng)混合式[5]。于大國等[6]將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)替換為彈性阻尼裝置，實(shí)現(xiàn)了多維減振。牛軍川等[7]在選定的主動(dòng)副處安裝相應(yīng)的彈簧阻尼裝置建立了多維隔振平臺(tái)。對(duì)于中高頻振動(dòng)而言，被動(dòng)性隔振方式具有良好的隔振效果，但對(duì)于低頻振動(dòng)往往難以有效地控制，負(fù)剛度的引入雖然能夠降低系統(tǒng)的固有頻率，但高效緊湊的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)難度較大，制約了其應(yīng)用[8-10]。LIU等[11]以音圈電機(jī)為作動(dòng)器，構(gòu)建了八分支的并聯(lián)機(jī)構(gòu)來隔離空間站的振動(dòng)。王兵[12]通過控制音圈電機(jī)實(shí)現(xiàn)并聯(lián)平臺(tái)的調(diào)姿與隔振。李耀等[13]搭建了基于壓電陶瓷的主動(dòng)隔振系統(tǒng)。由于作動(dòng)器帶寬限制，主動(dòng)隔振的性能主要集中在低頻，主被動(dòng)隔振技術(shù)則能夠充分利用兩者的優(yōu)點(diǎn)，提供較寬頻帶的隔振[14-16]。LIN等[17]研制的隔振平臺(tái)通過音圈電機(jī)來隔離低頻振動(dòng)，通過分支中的彈簧對(duì)中高頻振動(dòng)進(jìn)行被動(dòng)隔離。JANG等[18]研制了基于空氣彈簧和壓電堆作動(dòng)器的主被動(dòng)隔振平臺(tái)。張洋[19]研制了基于壓電陶瓷和粘彈性材料的六自由度主被動(dòng)隔振平臺(tái)。LI等[20]構(gòu)建了五自由度混聯(lián)式主被動(dòng)隔振平臺(tái)。主動(dòng)、主被動(dòng)隔振平臺(tái)中，其作動(dòng)器響應(yīng)快，但行程小，如音圈電機(jī)為毫米級(jí)輸出，而壓電作動(dòng)器、超磁致伸縮作動(dòng)器僅為微米級(jí)輸出，難以對(duì)大幅度位姿擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。

在真實(shí)工況下，位姿擾動(dòng)與中高頻振動(dòng)一般是同時(shí)存在的，將穩(wěn)定平臺(tái)與隔振平臺(tái)串聯(lián)構(gòu)成雙層結(jié)構(gòu)，能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)多維的調(diào)姿與隔振，但會(huì)引發(fā)體積龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、動(dòng)態(tài)特性差等問題。張英等[21]構(gòu)造了能夠補(bǔ)償大幅度位姿擾動(dòng)的隔振平臺(tái)，但電動(dòng)缸串聯(lián)彈性阻尼單元的形式增加了傳動(dòng)支鏈的長度。

針對(duì)補(bǔ)償大幅度位姿擾動(dòng)和隔離中高頻振動(dòng)一體化的需求，本文將驅(qū)動(dòng)分支中的電動(dòng)缸、液壓缸等大行程作動(dòng)器和彈性阻尼裝置組成閉環(huán)子鏈，構(gòu)成主被動(dòng)閉環(huán)融合的并聯(lián)調(diào)姿隔振平臺(tái)。基于旋量代數(shù)建立這類包含閉環(huán)子鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其模態(tài)進(jìn)行理論和實(shí)驗(yàn)研究。

1 調(diào)姿隔振平臺(tái)構(gòu)型描述

如圖1所示，調(diào)姿隔振平臺(tái)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和3個(gè)相同的(P1RRP2R)RS分支組成，3個(gè)分支對(duì)稱分布。R、Pi、S分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副和球副，下角標(biāo)i表示移動(dòng)副的順序。

圖1 調(diào)姿隔振平臺(tái)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic of orientation adjustment and vibration isolation platform

閉環(huán)子鏈(P1RRP2R)為平面五桿機(jī)構(gòu)。移動(dòng)副P1上設(shè)置有彈簧阻尼裝置，用以對(duì)外部的高頻振動(dòng)進(jìn)行被動(dòng)隔離。移動(dòng)副P2以電動(dòng)缸的形式實(shí)現(xiàn)，對(duì)外部的低頻位姿擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。主動(dòng)調(diào)姿、被動(dòng)隔振單元分別位于五桿機(jī)構(gòu)輸出桿件aiei的兩側(cè)，以閉環(huán)子鏈的形式融合，能夠有效減小傳動(dòng)支鏈的長度，降低機(jī)構(gòu)的整體高度，改善機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性。

在機(jī)構(gòu)的定、動(dòng)平臺(tái)上各建立一個(gè)坐標(biāo)系，定坐標(biāo)系Oxyz原點(diǎn)O位于定平臺(tái)的中心，x軸和Od1重合，y軸在定平臺(tái)平面內(nèi)與x軸垂直，z軸垂直定平臺(tái)向上。動(dòng)坐標(biāo)系pxyz固連于動(dòng)平臺(tái)，其原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)的中心，在初始位置時(shí)方位與定系重合。并聯(lián)調(diào)姿隔振平臺(tái)的分支是以RRS分支為基礎(chǔ)的，因此其自由度特性和3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)相同，具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)移動(dòng)，但在每個(gè)自由度上有兩個(gè)可動(dòng)度。

2 調(diào)姿隔振平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 分支描述

圖2 調(diào)姿隔振平臺(tái)分支機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic of limb of orientation adjustment and vibration isolation platform

開鏈分支的運(yùn)動(dòng)旋量在定系中表示為

其中e1=(1,0,0)e2=(0,1,0)e3=(0,0,1)

式中aix、aiy——鉸鏈點(diǎn)ai在定系x、y軸坐標(biāo)分量

2.2 閉環(huán)子鏈運(yùn)動(dòng)特性分析

(1)

(2)

其中

(3)

其中

式中I3×3——3×3的單位矩陣

O3×3——3×3的零矩陣

(4)

2.3 動(dòng)平臺(tái)一階影響系數(shù)

動(dòng)平臺(tái)旋量速度可以表示為

(5)

其中

(6)

其中

(7)

應(yīng)用虛設(shè)機(jī)構(gòu)法，得到機(jī)構(gòu)的廣義速度為

(8)

其中

根據(jù)式(8)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)旋量速度表示為

(9)

式(9)可以進(jìn)一步整理為

(10)

將式(3)代入式(10)中可得

(11)

其中

將式(10)代入式(7)可得到第i個(gè)開鏈分支的關(guān)節(jié)速度為

(12)

式(12)右邊第2項(xiàng)是6×1的列向量，可將其表示為6×9的矩陣形式。對(duì)第1開鏈分支而言，式(12)可以表示為

(13)

其中

式中O——6×1的零向量

因此，第1開鏈分支關(guān)節(jié)速度可以表示為

(14)

將式(3)代入式(14)可得

(15)

2.4 動(dòng)平臺(tái)二階影響系數(shù)

對(duì)式(5)求導(dǎo)可以得到動(dòng)平臺(tái)旋量加速度與分支關(guān)節(jié)速度、加速度之間的關(guān)系

(16)

式(16)可進(jìn)一步表示為

(17)

(18)

根據(jù)式(18)，由虛設(shè)機(jī)構(gòu)法構(gòu)造廣義加速度

(19)

其中

“*”表示矩陣的廣義標(biāo)量積。式(19)可以進(jìn)一步整理為

(20)

動(dòng)平臺(tái)旋量加速度可表示為

(21)

其中

將式(3)、(4)代入式(21)可得

(22)

其中

2.5 開鏈分支P1RRRS的一、二階影響系數(shù)

將式(21)代入式(17)可得開鏈分支的關(guān)節(jié)加速度為

(23)

(24)

將式(3)、(4)代入式(24)可得

(25)

其中

則第i個(gè)開鏈分支第k個(gè)桿件的旋量速度、加速度可以表示為[23]

(26)

2.6 電動(dòng)缸分支的一、二階影響系數(shù)

(27)

(28)

式中f′1(i)、f′2(i)、f′11(i)、f′12(i)、f′21(i)、f′22(i)為函數(shù)f′(i)對(duì)兩個(gè)變量的一階、二階偏微分，和式(1)、(2)中的符號(hào)物理意義一致。

電動(dòng)缸分支關(guān)節(jié)速度與廣義速度的映射可以表示為

(29)

對(duì)式(29)求導(dǎo)可得

(30)

則電動(dòng)缸分支第k個(gè)桿件的旋量速度、加速度表示為[23]

(31)

3 調(diào)姿隔振平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模

3.1 慣性力映射

(32)

結(jié)合剛體旋量形式的牛頓-歐拉公式[23]，式(32)可表示為

(33)

其中

式中Np——?jiǎng)悠脚_(tái)的六維慣性矩陣

Io——?jiǎng)悠脚_(tái)3×3的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在定系O中的表示

Ip——?jiǎng)悠脚_(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在質(zhì)心坐標(biāo)系的表示

pop——?jiǎng)酉祊相對(duì)定系O的位置矢量

mp——?jiǎng)悠脚_(tái)質(zhì)量

由文獻(xiàn)[23]可知，式(33)可以表示為

(34)

其中

式中HRp——9×9×9的立方陣

立方陣HRp的第j層元素可以表示為

同理，機(jī)構(gòu)中第i個(gè)分支，第k個(gè)桿件的慣性力產(chǎn)生的主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為

(35)

因此，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)和所有分支桿件慣性力產(chǎn)生的主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為

(36)

3.2 動(dòng)力學(xué)模型

忽略摩擦，根據(jù)虛功原理，機(jī)構(gòu)所有的外力處于平衡狀態(tài)，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

τI+τG+τE+τF+τA=O

(37)

式中τG——機(jī)構(gòu)的重力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力

τE——作用在移動(dòng)副P1上的彈性力

τF——作用在動(dòng)平臺(tái)外力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力

τA——機(jī)構(gòu)的廣義驅(qū)動(dòng)力

并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)及所有桿件的重力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力為

(38)

作用在移動(dòng)副P1上的彈性力為

τE=(τe,O6×1)

(39)

其中

式中ki——第i個(gè)分支中彈簧剛度

Fi——第i個(gè)分支中彈簧預(yù)緊力

并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)所受外力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力可表示為

(40)

將式(36)、(38)～(40)代入式(37)可得機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)空間表示中的動(dòng)力學(xué)模型為

(41)

關(guān)節(jié)變量q前3個(gè)元素表示被動(dòng)隔振輸入副P1，中間3個(gè)元素表示虛設(shè)運(yùn)動(dòng)副，后3個(gè)元素表示主動(dòng)輸入副P2，式(41)按照主、被動(dòng)關(guān)節(jié)分解為

(42)

式中τu——被動(dòng)隔振輸入副P1的驅(qū)動(dòng)力

τv——虛設(shè)運(yùn)動(dòng)副受到的力矩

τa——輸入副P2的驅(qū)動(dòng)力

由于是被動(dòng)隔振，驅(qū)動(dòng)力τu始終為零。虛設(shè)運(yùn)動(dòng)副受到的力矩τv由結(jié)構(gòu)承擔(dān)。驅(qū)動(dòng)力τa為電動(dòng)缸的主動(dòng)輸入。

由于虛設(shè)運(yùn)動(dòng)副的位移、速度、加速度始終為零，式(42)的第1行可表示為

(43)

式(43)為機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)約束方程。當(dāng)給定主動(dòng)輸入副P2的運(yùn)動(dòng)后，可以通過動(dòng)力學(xué)約束方程求解得到被動(dòng)副P1的加速度，一次積分得到速度，再次積分得到其位移。

3.3 動(dòng)力學(xué)數(shù)值算例

為了驗(yàn)證上述運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模的正確性，對(duì)調(diào)姿隔振平臺(tái)進(jìn)行數(shù)值算例驗(yàn)證。調(diào)姿隔振平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1、2所示。

表1 運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters related to kinematics m

表2 動(dòng)力學(xué)相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters related to dynamics

圖3 動(dòng)力學(xué)求解的Simulink模型Fig.3 Simulink model for solving dynamics

通過Simulink模型求解得到的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力曲線如圖4所示。圖5為ADAMS軟件的仿真結(jié)果。圖6為理論計(jì)算值和軟件仿真值的偏差曲線，eτ表示關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力τa理論計(jì)算值和軟件仿真值的偏差。圖5中軟件仿真曲線在初始階段存在一個(gè)微小波動(dòng)，這是由于彈簧的預(yù)緊力不能和機(jī)構(gòu)重力完全抵消造成的，但曲線整體趨勢(shì)和圖4的理論計(jì)算曲線一致。從圖6可以看出，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，偏差范圍在10-2量級(jí)，說明了上述運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型的正確性，也為后續(xù)的模態(tài)分析提供了理論基礎(chǔ)。

圖4 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力理論計(jì)算值Fig.4 Theoretical calculation value of joint driving force

圖5 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力軟件仿真值Fig.5 Software simulation value of joint driving force

圖6 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力偏差曲線Fig.6 Deviation curves of joint driving force

4 調(diào)姿隔振平臺(tái)模態(tài)分析

4.1 固有頻率和振型

調(diào)姿隔振平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)強(qiáng)耦合的非線性微分方程，其求解十分困難，因此在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，通常需要對(duì)其進(jìn)行簡化處理。方程中的重力項(xiàng)及彈簧預(yù)緊力是常數(shù)項(xiàng)，對(duì)系統(tǒng)的固有頻率沒有影響，可以忽略。同時(shí)，動(dòng)力學(xué)模型中的科氏力項(xiàng)對(duì)固有頻率的影響較小，計(jì)算時(shí)同樣可以忽略[25]。上、下連桿的彈性剛度、電動(dòng)缸的伺服剛度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于彈簧剛度，可以視為無窮大。

(44)

其中

Ku=diag(k1,k2,k3)

式中Ku——?jiǎng)偠染仃?/p>

無阻尼系統(tǒng)振動(dòng)固有頻率與剛度矩陣和質(zhì)量矩陣存在關(guān)系[26]

|Ku-λMuu|=0

(45)

其中

式中λ——特征值

ωn——系統(tǒng)固有圓頻率

求解特征方程(45)可以得到系統(tǒng)的特征值λi和固有圓頻率ωni(i=1,2,3)，進(jìn)而可求得各特征值對(duì)應(yīng)的主振型u(i)。

(46)

根據(jù)式(46)，正則主振型可以表示為

進(jìn)一步，可得到正則振型矩陣為

(47)

給定彈簧剛度k1=k2=k3=14.00 N/mm，得到機(jī)構(gòu)在初始位姿下的固有頻率和正則振型如表3所示。操作空間的正則振型為6×1的列向量，前3個(gè)量表示轉(zhuǎn)動(dòng)，后3個(gè)量表示移動(dòng)。從表3可以看出，一階振型中前5個(gè)元素為零，表示機(jī)構(gòu)只有沿z軸移動(dòng)的自由度。從二階振型可以看出，機(jī)構(gòu)只具有繞水平面上某一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，其x、y軸的移動(dòng)分量是轉(zhuǎn)動(dòng)耦合產(chǎn)生的。機(jī)構(gòu)的二、三階固有頻率相同，但其對(duì)應(yīng)的正則振型并不相同。從表3中可以看出，二、三階振型是正交的，其轉(zhuǎn)動(dòng)軸線在水平面上相互垂直，軸線分布如圖7所示。

表3 機(jī)構(gòu)初始位姿固有頻率及正則振型Tab.3 Natural frequency and normal modes at initial pose of mechanism

圖7 二、三階振型軸線分布Fig.7 Distribution of axis of the second-order and third-order vibration modes

使用ADAMS Vibration的自由振動(dòng)分析計(jì)算系統(tǒng)固有頻率。模型中所有零部件均為剛體，振動(dòng)為無阻尼振動(dòng)。分析得到的各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的無阻尼固有頻率結(jié)果見表4。由表4可知，當(dāng)動(dòng)力學(xué)模型忽略滑塊質(zhì)量時(shí)，機(jī)構(gòu)固有頻率理論計(jì)算值與軟件仿真值的誤差超過30%。當(dāng)動(dòng)力學(xué)模型包含滑塊、上下連桿及電動(dòng)缸時(shí)，機(jī)構(gòu)固有頻率理論計(jì)算值和軟件仿真值的誤差在1%以內(nèi)，說明所建立的完整動(dòng)力學(xué)模型足夠精確，可以作為進(jìn)一步計(jì)算的理論依據(jù)。

表4 機(jī)構(gòu)固有頻率對(duì)比Tab.4 Comparison of natural frequency Hz

4.2 固有頻率影響因素分析

為了保證調(diào)姿隔振平臺(tái)的對(duì)稱性，3個(gè)彈簧剛度始終取相同的剛度。圖8為系統(tǒng)一階固有頻率與彈簧剛度、動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量的關(guān)系曲面。從圖中可以看出，隨著彈簧剛度變大，系統(tǒng)固有頻率相應(yīng)變大，且變化幅度較大，說明了彈簧剛度是系統(tǒng)固有頻率的關(guān)鍵影響因素。假定彈簧剛度不變，系統(tǒng)一階固有頻率隨著動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量的增加而逐漸減小，但變化的幅度較小。二、三階固有頻率的變化規(guī)律類似，只是轉(zhuǎn)動(dòng)振型主要受到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，而不是質(zhì)量。

圖8 一階固有頻率與彈簧剛度、動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量關(guān)系曲面Fig.8 Relationship among the first-order natural frequency, spring stiffness and mass of mobile platform

給定彈簧剛度k1=k2=k3=14.00 N/mm，機(jī)構(gòu)各階固有頻率與機(jī)構(gòu)位姿的關(guān)系如圖9所示，每個(gè)圖中3個(gè)曲面分別對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)工作高度為h0-0.08 m、h、h0+0.08 m。

從圖9可以看出，隨著機(jī)構(gòu)工作高度的增加，機(jī)構(gòu)各階固有頻率均相應(yīng)增加。以一階固有頻率為例，工作高度為h0-0.08 m、h、h0+0.08 m時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大固有頻率分別為6.19、6.48、6.85 Hz，變化幅度較小。結(jié)合轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，從圖9中可以看出，在機(jī)構(gòu)的各個(gè)極限位姿，固有頻率的變化最大不超過2 Hz，對(duì)被動(dòng)隔振的頻率范圍影響很小。

圖9 固有頻率與機(jī)構(gòu)位姿的關(guān)系曲面Fig.9 Relationship between natural frequency and pose of mechanism

5 實(shí)驗(yàn)

5.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

調(diào)姿隔振平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖10所示，主要包括計(jì)算機(jī)、控制柜、調(diào)姿隔振平臺(tái)原理樣機(jī)、航姿傳感器、振動(dòng)傳感器、振動(dòng)信號(hào)采集器等。原理樣機(jī)主要包括動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)、上連桿、下連桿、電動(dòng)缸、被動(dòng)隔振單元等。

圖10 調(diào)姿隔振平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.10 Experimental system of orientation adjustment and vibration isolation platform1.計(jì)算機(jī) 2.振動(dòng)信號(hào)采集器 3.控制柜 4.航姿傳感器 5.動(dòng)平臺(tái) 6.振動(dòng)傳感器 7.上連桿 8.下連桿 9.被動(dòng)隔振單元 10.電動(dòng)缸 11.定平臺(tái)

被動(dòng)隔振單元結(jié)構(gòu)如圖11所示。下連桿通過支座連接在直線導(dǎo)軌的滑塊上。直線導(dǎo)軌夾具通過螺栓固定在轉(zhuǎn)接板上，可以將直線導(dǎo)軌滑塊固定在任意位置，方便后續(xù)工作模式的切換。彈簧導(dǎo)向軸通過自潤滑軸承與支座連接，形成移動(dòng)副，增加直線軌道的抗傾覆約束力。立板上均布有3個(gè)螺紋孔，通過螺栓的松緊來調(diào)整墊片與立板之間的距離，進(jìn)而調(diào)整彈簧預(yù)緊力及滑塊初始位置。拉線編碼器實(shí)時(shí)測(cè)量滑塊位移。

圖11 被動(dòng)隔振單元結(jié)構(gòu)圖Fig.11 Structure diagram of passive vibration isolation unit1.彈簧 2.導(dǎo)向軸 3.下連桿 4.自潤滑軸承 5.拉線編碼器 6.導(dǎo)軌 7.滑塊 8.支座 9.轉(zhuǎn)接板 10.導(dǎo)軌夾具 11.墊片 12.立板 13.調(diào)整螺栓

從式(44)中可以看出，彈簧剛度是調(diào)姿隔振平臺(tái)振動(dòng)方程的重要參數(shù)。實(shí)驗(yàn)用彈簧為圓柱螺旋壓縮彈簧，端部線圈折彎靠緊，端面磨平。彈簧剛度理論計(jì)算公式為

(48)

式中G——剪切彈性模量

φ——彈簧鋼絲直徑

n——彈簧有效圈數(shù)

D——彈簧中徑

實(shí)驗(yàn)用彈簧參數(shù)為：線徑4 mm，中徑28 mm，總?cè)?shù)11圈，有效圈數(shù)9圈，材質(zhì)65Mn，采用式(48)計(jì)算得彈簧剛度為12.96 N/mm。式(48)是根據(jù)材料力學(xué)推導(dǎo)出來的，很難精確計(jì)算彈簧剛度，因此采用彈簧拉壓試驗(yàn)機(jī)對(duì)其進(jìn)行剛度測(cè)量，剛度實(shí)際測(cè)量值為14.00 N/mm。將虛擬樣機(jī)彈簧剛度設(shè)定為同等參數(shù)，使虛擬樣機(jī)與原理樣機(jī)的關(guān)鍵物理參數(shù)接近。

5.2 模態(tài)實(shí)驗(yàn)

如圖12所示，將3個(gè)滑塊預(yù)緊，并用自鎖式尼龍?jiān)鷰?個(gè)滑塊扎緊，采用突然剪斷扎帶的方法將脈沖信號(hào)施加給機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)的脈沖激勵(lì)，從而激發(fā)出機(jī)構(gòu)的各階模態(tài)。

圖12 原理樣機(jī)的脈沖激勵(lì)方式Fig.12 Pulse excitation of prototype

如圖10所示，在拾振點(diǎn)1、2處布置IEPE加速度傳感器、在拾振點(diǎn)3處布置IEPE速度傳感器。突然剪斷扎帶后，機(jī)構(gòu)受到脈沖激勵(lì)，動(dòng)平臺(tái)響應(yīng)的時(shí)域圖信號(hào)如圖13所示。對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換，得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的頻譜圖，如圖14所示。在圖13、14中，vpi、api分別表示第i個(gè)拾振點(diǎn)的線速度、線加速度。

圖13 動(dòng)平臺(tái)輸出響應(yīng)時(shí)域波形Fig.13 Time domain waveform of output response of mobile platform

圖14 動(dòng)平臺(tái)輸出響應(yīng)頻域波形Fig.14 Frequency domain waveform of output response of mobile platform

相比于電動(dòng)缸、動(dòng)平臺(tái)、上下連桿等零部件，彈簧的剛度要小很多，因此測(cè)試得到的低階固有頻率就是系統(tǒng)的剛體模態(tài)。由于3個(gè)滑塊是同步突然釋放，上述脈沖激勵(lì)起的模態(tài)以一階模態(tài)為主。從圖14可以看出，3個(gè)拾振點(diǎn)的頻域波形基本一致，原理樣機(jī)的一階振型固有頻率約為7.50 Hz。實(shí)驗(yàn)測(cè)定值7.50 Hz與理論計(jì)算值6.48 Hz接近，但仍存在一定偏差，主要是激勵(lì)過程中機(jī)構(gòu)的位姿變化、彈簧多次大行程壓縮后的剛度變化、3個(gè)滑塊釋放的不一致性、理論模型的偏差等因素造成的。

5.3 響應(yīng)特性實(shí)驗(yàn)

主動(dòng)調(diào)姿運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)特性直接決定了調(diào)姿隔振平臺(tái)低頻段位姿擾動(dòng)的補(bǔ)償能力。本實(shí)驗(yàn)主要驗(yàn)證原理樣機(jī)在7 Hz的響應(yīng)特性。分別給定原理樣機(jī)繞y軸運(yùn)動(dòng)的正弦信號(hào)為β=1.5°sin(2π×2t)、β=1.5°sin(2π×7t)，即正弦信號(hào)幅值為1.5°，頻率分別為2、7 Hz。Mti-300型航姿傳感器實(shí)際測(cè)量的y軸輸出曲線如圖15所示。

圖15 不同工作頻率下原理樣機(jī)的y軸輸出曲線Fig.15 The y-axis output of prototype at different operating frequencies

從圖15可看出，由于安裝偏差及零漂，傳感器的輸出零線存在偏差。原理樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)頻率為2 Hz時(shí)，頻率較低，y軸實(shí)測(cè)輸出幅值100%復(fù)現(xiàn)了命令振幅。原理樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)頻率為7 Hz時(shí)，y軸實(shí)測(cè)輸出幅值至少80%復(fù)現(xiàn)了命令振幅，超過了伺服系統(tǒng)頻率響應(yīng)帶寬定義中的70.7%。

給定樣機(jī)繞x軸相同的7 Hz正弦信號(hào)，圖16為Mti-300型航姿傳感器實(shí)際測(cè)量的樣機(jī)x軸輸出曲線。同樣，原理樣機(jī)頻率7 Hz的x軸輸出幅值至少相當(dāng)于命令振幅的80%，較好地復(fù)現(xiàn)了命令信號(hào)。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，對(duì)于7 Hz以下的輸入指令，原理樣機(jī)具有較強(qiáng)的跟隨能力，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)低頻位姿擾動(dòng)的補(bǔ)償。

圖16 頻率7 Hz下原理樣機(jī)的x軸輸出曲線Fig.16 The x-axis output of prototype at 7 Hz

6 結(jié)論

(1)針對(duì)大幅度位姿擾動(dòng)補(bǔ)償和中高頻振動(dòng)隔離的需求，提出了一種主被動(dòng)閉環(huán)融合的并聯(lián)調(diào)姿隔振平臺(tái)新構(gòu)型。

(2)借助于旋量代數(shù)及影響系數(shù)理論，建立了包含閉環(huán)子鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，得到了動(dòng)平臺(tái)、開鏈分支、電動(dòng)缸分支對(duì)廣義坐標(biāo)的一、二階影響系數(shù)。

(3)基于旋量形式牛頓-歐拉公式及虛功原理，建立了包含閉環(huán)子鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)主被動(dòng)分離形式的動(dòng)力學(xué)模型，并以此為基礎(chǔ)求解了調(diào)姿隔振平臺(tái)的固有頻率及振型，分析了彈簧剛度、平臺(tái)質(zhì)量、機(jī)構(gòu)位姿對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響。

(4)模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到的原理樣機(jī)固有頻率與理論計(jì)算值接近，驗(yàn)證了理論模型的正確性，響應(yīng)特性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了原理樣機(jī)大幅度位姿補(bǔ)償?shù)目尚行浴?/p>