緊連通李群的閉測地線

張 乾

廣西師范大學數學與統計學院 廣西桂林 541000

1 概述

閉測地線是處處光滑且具有周期性的測地線，在常見的閉曲面中例如Sn上的閉測地線就是以它的球心為圓心的大圓即S2。在流形的測地線的研究中，Vakhrameev[1]證明了某一類流形的閉測地線一定存在，實際上如果對于基本群非平凡的黎曼流形能夠推廣成一定存在不可縮的閉測地線。文獻[3]中給出了單連通緊流形的閉測地線的性質的刻畫。Borisenko[2]研究了球面空間的一些閉測地線。段華貴[3]研究了一類Finsler流形的閉測地線。

另一方面，J.Cheeger和D.Ebin在文獻[4]中給出了黎曼流形里測地線與李群中的單參數子群之間的關系，證明了具有雙不變黎曼度量的李群即緊李群上的測地線一定是其單參數子群或單參數子群的合成。Hopf-Rinow定理[5]則說明了測地完備的黎曼流形中的任意元素必落在它的一個單位元素出發的測地線上。詹華稅[6]對李群的基本性質做了很好的總結。Lucas Seco[7]限制在緊李群上對緊李群的測地線做了一些計算，我們自然就想進一步研究緊李群上的閉測地線的結構。

Cartan定理[8]則告訴了我們對任意的緊李群G，它的Cartan子群不僅彼此共軛，并且這些Cartan子群的并就是G。而根據緊交換李群的分類，我們又知道了Cartan子群是一個環面，即G是一個極大環面，若它的極大環面是T1，我們知道它就是一條閉測地線。由于緊連通李群自然的具有雙不變度量，是完備的黎曼流形，那么在Hopf-Rinow定理[9]的基礎上，我們自然會猜測，如果是緊連通李群，其上的元素能否落在從單位元出發的閉測地線上。在《李群和李代數》[10]提到：設李群G的李代數為ɡ，則存在ɡ中包含原點的開集V，使得exp|v：V→exp(V)是解析同胚。綜合上面的猜測我們也會自然的思考李群上局部的解析同胚在緊李群中多大程度能擴大到整體。在本文我們根據以上的猜測對緊連通李群的閉測地線的拓撲做了一定的描述，計算了它的基本群以及各階同調群并給出了下面這一結論：

本文的結構如下，在第一節我們將回顧一下李群以及黎曼流形里的部分定義與結論，在第二節我們將完成所給出定理的證明。

2 基本概念和引理

2.1 幾何的相關定義與結論

我們設(M，g)是m維黎曼流形，為M上的黎曼聯絡，M上的一條參數化曲線是一個光滑映射γ：I=(a，b)→M，M上沿γ的向量場V是一個映射。如果沿γ的向量場V滿足：?γ′V=0，則稱V是沿γ平行的。

定義1 若γ的切向量γ′沿γ是平行的，即?γ′γ′=0，則稱曲線γ為M上的測地線。我們稱γ是閉測地線，指γ是度量下g的測地線，而且具有周期性。

注1 這里的周期性指γ是處處光滑的閉曲線。如果γ：[a，b]→M是測地線，它的長度L[γ]=ρ(γ(a)，γ(b))，我們稱γ是極小測地線。

定義2 expp：B(?Tp(M))→M稱為關于點p的指數映射，其中B是點p的一個鄰域。

指數映射的幾何意義是沿γ由p到γ(1)=expp(v)的弧長，若它有意義，則expp(v)總是唯一確定的。

定義3 如果對于所有的p∈M以及所有的V∈Tp(M)，expp(V)都是有意義的，則稱M是測地完備的。

對測地完備的黎曼流形，有以下結論，證明詳見《RiemannianGeometry》[5]：

引理1(Hopf-Rinow)下列敘述等價：

(1)M是測地完備的；(2)M是具有距離ρ(p，q)=inf{L[σ]|σ(a)=p，σ(b)=q}的完備度量空間；(3)對某個p∈M，expp是在整個Tp(M)上定義的。

由上述的任意一條可推出下列結論：(4)M的任意兩點都能由極小測地線相連。

2.2 李群的相關定義與結論

設X∈ɡ，由X可以構造G上的微分方程：

曲線σ(t)，t∈(a，b)是微分方程的解曲線。由微分方程的理論我們知道這個初值方程的解在局部上存在唯一并且解析。這個方程的解就是G的單參數子群[5]，其與G的李代數ɡ中的元素一一對應。關于單參數子群有一個重要的結論：

引理2 對于緊李群G，它的測地線是其單參數子群或單參數子群的合成[10]。

注2 實際上在緊李群G上存在雙不變黎曼度量，即在這種度量下左平移與右平移都是G的等距變換。

注3 由上述的Hopf-Rinow定理知緊李群G上的任意一點都能用測地線與原點相連，而這條測地線也必定是G的一個單參數子群，即G的每一個元素必落在G的一個單參數子群上。

定義4 設G是李群，它的李代數為ɡ，定義映射exp：ɡ→G，Xσ(1，X)稱為G的指數映射。

任意選取原點處的切向量X∈ɡ，則它是ɡ中曲線tX的切向量，而指數映射將tX映為單參數子群exp(tX)。指數映射與李群同態滿足以下交換圖表：

注4 上述圖表表明對李群G的李代數ɡ，則存在ɡ中包含原點的開集V，使得exp|v：V→exp(V)是解析同胚。

對緊李群我們有：

G中Cartan子群T是其極大連通交換李群。根據緊連通李群的分類[8]我們可以知道T是環面。Cartan定理的證明可以詳見《李群講義》[8]。根據Cartan定理我們知道緊連通李群G的Cartan子群彼此共軛，并且這些Cartan子群的并就是G。

3 主要結果

定理1 對于緊連通李群的Cartan子群Tn，若n=2，設在單位元e處的閉測地線與水平方向的夾角為θ，那么其上的所有經過e的閉測地線都滿足tanθ為有理數。

證明 考慮環面的商映射。

其中v1和v2是T2中的閉測地線從單位元e出發的兩個方向向量。在商映射下，閉測地線形如：

令vi與v2的夾角為θ，根據定義1，vi處處平行，則vi與v2的交點的個數等于vi繞著v1方向的閉測地線轉的圈數，又因為閉測地線具有周期性，從而這個圈數必為整數。那么，tanθ一定是有理數。

推論1 對于任意的正整數n，從單位元e出發的閉測地線的方向向量vi與vj的夾角為θ，vj是與環面上的任意大圓的方向向量，則tanθ為有理數。

定理2 任取Tn上點a，對任意ε>0，存在過單位元e的閉測地線構成的集合中的一點p，使得ρ(a，p)<ε。

證明 由引理1可知，存在極小測地線連接a，p兩點。那么我們先考慮n=2的情形。根據定理1，tanθ為有理數，考慮環面的商空間，則其上的有理格點集是其上通過單位元e的閉測地線集的子集。根據R2上的有理格點的稠密性即得。當n>2時同理。

推論2 緊連通李群G上過單位元e的閉測地線集是可數個閉測地線的并。

我們現在可以知道這些閉測地線構成的集合的拓撲，但在計算它的基本群之前我們仍需下面引理：

引理4 如果(Mn，g)是緊黎曼流形并且π1(Mn)≠0，則(Mn，g)有不可縮的閉測地線。

定理3 我們令緊連通李群G上過單位元e的閉測地線為S，這些可數個閉測地線記為σ1，σ2，σ3，…則S的基本群是σ1，σ2，σ3，…的自由積。

證明 由引理4知道S中存在不可縮的閉測地線，從而它的基本群非平凡。由引理3可知G是他的極大環面的共軛類的并。在定理1和定理2中我們可以知道Tn中的過單位元e的閉測地線集的拓撲結構，而G是有限個共軛于Tn的極大環面的并，故緊連通李群G上通過e的閉測地線集的拓撲與Tn相同，那么它的基本群即得。

定理4 設G上過e的閉測地線集為S，那么:

證明S上所有閉測地線至少交于單位元e，即S是連通集，則H0(S；Ζ)=Ζ。根據Van-Kampen定理，S的一維同調群就是它的基本群的交換化，那么H1(S；Ζ)=Ζ∞。S上并不存在二維及以上的閉鏈，故其他維數的同調不存在。

證明 我們先說明S中的閉測地線一定是G的單參數子群。由于環面是測地完備的，根據引理2.1可以知道環面上的任意點a與e之間有一條極小測地線相連。而若有S中的閉測地線S′經過a與e兩點，那么由定義可知其上的任意位置的切向量方向相同，故該條閉測地線不可能是單參數子群的合成，只可能是G中的一個單參數子群。

我們接下來僅需證明α∈S，存在g∈G使得α∈g-1S1g。對任意α∈S，不妨設α過e與p，其中p∈G且p≠e。由Cartan定理可知G上任一元素共軛于其Cartan子群中的某個元素。從而有存在t∈T使得p=g-1tg，其中g∈G。由引理1可知e與t之間存在極小測地線相連，由單參數子群的定義可知其在整個切空間均有定義，且沿原來方向不變，從而這樣的一條極小測地線所對應的單參數子群也是一個閉子群。不妨設β∈S1，其中β經過e和t。設α所對應的G的子代數是g1，β所對應的G的子代數是g2?？紤]如下的交換圖表：

由圖可知g-1βg是閉測地線。由測地線的唯一性可知α=g-1βg，即α∈g-1S1g。證畢。