一種PFA工程化快速成像處理算法研究

洪惠宇

（中國電子科技集團公司第十四研究所，江蘇南京 210039）

極坐標格式算法（polar format algorithm，PFA）是一種典型的聚束模式成像方法［1］。該算法通過二維插值將極坐標格式數(shù)據(jù)投影至直角坐標系，通過二維傅里葉變換，即可實現(xiàn)對大斜視數(shù)據(jù)的良好聚焦。然而在利用PFA 算法實現(xiàn)遠距離高分辨成像過程中，由于所需二維矩陣規(guī)模龐大，需要進行大量的距離/方位向插值處理，占用大量的硬件運算資源，限制了PFA 算法的工程應用［2］。因此，現(xiàn)有的PFA 工程化應用主要從二維插值的高效實現(xiàn)著手。

美國Sandia 實驗室提出Chirp-Z 變換應用于PFA 的可行性，孫進平等［3］則對該可行性進行了具體研究，并給出了詳細的實現(xiàn)過程；文獻［2，4］提出通過尺度變換替代二維插值以提升處理效率，并給出尺度變換因子的具體確定方式；聶鑫［5］從數(shù)據(jù)錄取源頭出發(fā)，提出變波門大斜視滑動聚束成像技術，降低了距離向采樣點數(shù)的需求；吳玉峰等［6］則對PFA 成像算法進行改進，提出了一種先線性距離走動校正，后PFA 插值的方法。本文著眼于降低數(shù)據(jù)矩陣規(guī)模，通過改進的運動補償及方位處理算法，使得原本需要在全距離頻域段進行的插值處理只需要在有效距離幅寬內進行插值，原本需要在全孔徑時間內進行的方位插值處理只需要在有效方位幅寬內進行方位頻域插值，極大地降低了插值運算資源的開銷，提升了PFA算法的實時處理性能。

1 PFA成像模型

雷達發(fā)射的線性調頻（LFM）信號表達如下：

其中，矩形窗函數(shù)rect（x）為

式中：τ為雷達快時間維變量，s；Tp為脈沖寬度，s；f0為載波起始頻率，Hz；k為調頻斜率，Hz/s。

極坐標格式下，PFA 成像場景幾何示意圖如圖1所示。

合成孔徑雷達（synthetic aperture radar，SAR）利用機載雷達平臺的運動實現(xiàn)方位向的高分辨率成像，其在孔徑時間t的二維基帶回波信號s（τ，t）可表示為：

式中：Ta為合成孔徑積累時間，s；RT為場景中目標點p（xt，yt）相對于雷達平臺的距離，m；c為光速，取c=3×108m/s。

根據(jù)駐項原理及傅里葉變換的位移/調制性質，得到距離頻域S0（fτ，t）：

式中：fτ為雷達快時間τ的頻域表示，Hz。

頻域脈壓參考函數(shù)H（fτ）為：

現(xiàn)有PFA 算法直接乘以運動補償函數(shù)ψ（fτ），使場景中心回波相位為零。

式中：R0表征孔徑時刻t雷達相對場景中心的距離，m。

經(jīng)過匹配濾波與運動補償后的信號用S（fτ，t）表示，如式（6）所示。

在近場平面波假設下，有：

式中：r表示圖1 中從坐標原點O指向場景中目標點p（xt，yt）的矢量；θ、φ分別為孔徑時間t下的方位角、俯仰角，rad。

得到極坐標格式下距離頻域S（fτ，t）的表達：

式中：Ky、Kx為波數(shù)域，1/m。

在式（8）全距離頻域段進行距離向插值，在全孔徑時間內進行方位向插值，并將極坐標格式排列的數(shù)據(jù)通過插值變成矩形坐標，再通過距離方位向的二維快速傅里葉變換（fast fourier transform，F(xiàn)FT），實現(xiàn)對場景的二維成像。

2 PFA快速處理算法

現(xiàn)有PFA 算法在運動補償后，在全距離頻域段進行距離向插值，而后在全孔徑時間內進行方位向插值，占用大量運算資源。為了降低插值的運算開銷，提升處理效率，本文提出改進的PFA處理流程，如圖2 所示。圖2 中，通過二次運動補償算法，PFA 算法只需在有效成像幅寬內進行距離向插值處理；再通過改進的方位向處理方法，在有效方位幅寬內進行方位頻域插值處理。

2.1 二次運動補償

圖2 中，針對運動補償函數(shù)ψ（fτ），提出“粗補償+精補償”策略。在粗補償校正線性距離走動后，再經(jīng)過逆快速傅里葉變換（inverse fast fourier transform，IFFT），在距離向保留成像距離幅寬所需點數(shù)，以降低后續(xù)距離向插值的點數(shù)。

雷達相對于場景中心的距離隨孔徑時間t的變化R（t）表達如下：

式中：RB為航線相對于場景中心的垂直距離，m；v為雷達平臺速度，m/s。

為簡化分析，這里的雷達與場景位于同一平面，即俯仰角φ為0。將式（9）在孔徑中心時刻t0（此時斜視角為θ0）處進行泰勒級數(shù)展開，得到合成孔徑時間t內的距離徙動表達，如式（10）所示。

由式（10）可知，孔徑時間內的線性距離走動可表示為：

式中：θt為每個錄取脈沖相對于場景的斜視角，rad。

從而得到距離粗補償相位分量：

結合式（3）、式（12），得到粗補償后的回波信號，如式（13）所示。

對式（13）進行逆傅里葉變換至距離時域，得：

其中，sinc(x)函數(shù)定義為

此時，已完成孔徑時間內線性距離走動校正。可在此基礎上進行距離向的截斷，只保留成像幅寬需要的距離向點數(shù)，從而降低了距離向插值點數(shù)的需求。

進一步，對截取后的距離時域信號進行傅里葉變換至距離頻域，表達式同式（13），但距離頻域點數(shù)已壓縮至距離幅寬所需的點數(shù)。

此時，通過精補償分量使式（13）場景中心回波相位為0。剩余距離分量表示為：

從而得到距離粗補償分量表達：

通過上述補償后，得到回波距離頻域信號：

同樣，此時回波距離頻域信號相對于場景中心的回波相位為0。后續(xù)只需在有效幅寬點數(shù)上進行距離插值處理，得到

式中：Ky′為距離插值后的波數(shù)域表達，1/m；φ0為孔徑中心時刻的俯仰角，rad。

由式（18）可知，相較于全距離頻域段的插值，二次運動補償后的運算量大幅降低，提升了處理的效率。

2.2 改進的方位向處理方法

距離向插值完成后，現(xiàn)有PFA 處理方法是在全孔徑積累脈沖內進行方位向插值，而后分別進行方位與距離維的FFT處理以實現(xiàn)二維成像。這種方法由于需要在時域全孔徑積累脈沖內進行插值，運算開銷大。為了減少運算開銷，本文將改進方位處理方法，利用傅里葉變換的尺度特性，首先進行方位FFT處理，從而可以在方位向只保留成像方位幅寬所需的點數(shù)，繼而進行方位頻域的插值處理，從而降低方位插值的運算點數(shù)，提升實時性能。

距離向插值完成后，式（8）中方位波數(shù)域可進一步表達為：

現(xiàn)有PFA 算法直接在全孔徑積累脈沖內進行方位向插值：

改進的方位處理方法如下：

距離頻域插值后的信號表示為：

對式（21）進行方位向傅里葉變換，得

在得到方位頻域的結果后，基于圖像方位向輸出像素點數(shù)遠小于原始方位積累脈沖數(shù)這一前提，保留方位向幅寬需要的點數(shù)，從而只需在方位幅寬內進行插值處理，就能極大地降低方位插值所需的運算量。

在方位頻域進行重采樣，其重采樣后的峰值頻率f′a為：

由式（24）可知，峰值頻率位置與距離向無關，從而完成方位向的去距離耦合。

農(nóng)場雖然耕地面積較大但大型谷物聯(lián)合收割機和配套農(nóng)具數(shù)量多遠多于地方，部分合作社和農(nóng)戶要等到農(nóng)場收獲完成后租賃農(nóng)場機械進行收獲作業(yè)，錯過了最佳收獲時期無法保證顆粒歸倉。

3 兩種算法的運算量對比及結果驗證

3.1 兩種算法的運算量對比

從距離維與方位維兩個角度，將現(xiàn)有PFA 成像處理算法與PFA 改進算法進行運算的對比分析。

3.1.1 現(xiàn)有PFA算法

距離維：傳統(tǒng)PFA 成像處理算法在運動補償后，需在全距離頻域段進行插值處理，所需的運算量（針對復數(shù)乘法器的開銷）為：

式中：γ為加權系數(shù)，R為插值濾波器長度，L為插值濾波器因子，Nr為距離向采樣點數(shù)。

方位維：傳統(tǒng)PFA 成像處理算法對全孔徑積累脈沖進行插值，結合后續(xù)FFT 處理，運算開銷為：

式中：Na為全孔徑的積累脈沖數(shù)。

3.1.2 PFA快速處理算法

采用本文二次運動補償處理后，距離維的運算開銷：

式中：Ir為圖像距離幅寬所對應的點數(shù)。

采用改進的方位處理算法，首先進行方位FFT 處理，繼而保留成像所需的方位幅寬點數(shù)Ia，在方位頻域進行插值處理，其運算開銷為：

為比較兩種算法的運算量，定義距離評估因子、方位評估因子和綜合評估因子如下：

顯然，評估因子越小，運算開銷就越小，運算方法越有優(yōu)勢。

3.2 兩種算法運算量對比的評估因子驗證

對于滿足一般要求的插值濾波器，取γ=1.2、R=5、L=5，則在典型矩陣規(guī)模下，兩種算法運算量評估因子的對比如表1所示。

由表1 可知，在大斜視遠距離高分辨成像需求的背景下，由于二維矩陣的規(guī)模較大，采用本文的PFA 改進算法，在不影響成像指標的前提下，比現(xiàn)有的PFA 算法可節(jié)約近一半的運算量，大大提升了處理的實時性能，便于實現(xiàn)其工程應用的推廣。

表1 兩種算法運算量的評估因子對比Table 1 Evaluation factors comparison of computation between two algorithms

4 結束語

本文從傳統(tǒng)PFA 算法的運算量著眼，從距離維與方位維兩個角度，著重于降低數(shù)據(jù)矩陣的規(guī)模，從而減少距離/方位向的插值點數(shù)，以達到節(jié)約運算量、提升實時處理效率的目的。具體地說，在距離維，通過“粗補償+精補償”的方式，即通過距離粗補償校正孔徑時間內的線性距離走動，繼而變換至距離時域，截取成像需要的距離幅寬點數(shù)，再變換回距離頻域，進行使場景中心回波相位為0的精補償處理；在方位維，利用傅里葉變換的尺度特性，在方位插值前進行方位FFT處理，繼而截取成像所需的方位向點數(shù)，再在方位頻域進行插值處理。最后通過兩種算法的對比，發(fā)現(xiàn)在大斜視遠距離高分辨成像需求的背景下，采用本文的PFA 改進算法，在不影響成像指標的前提下，可節(jié)約近一半的運算量，從而大大提升了處理的實時性能，有利于其工程應用的推廣。