偏壓隧道洞口段襯砌多裂縫擴展有限元分析

胡 濤，楊 洪

(1.貴州高速公路集團有限公司，貴州 貴陽 550004；2.貴州省交通規劃勘察設計研究院股份有限公司，貴州 貴陽 550081)

近年來，我國公路交通網絡建設得到了快速發展，年新增里程超過1 100 km，而且我國已建及規劃的10 km以上超長公路隧道有約34座，處于國際領先水平[1-2]。然而，隨著公路隧道運營時間的增加，一些隧道病害也逐漸顯現出來，如裂縫、滲漏水、襯砌腐蝕等，嚴重時將危及隧道運營安全，同時由此引起的隧道維修整治費用也非常巨大。

裂縫作為隧道襯砌結構的主要病害之一[3]，國內外學者對其開展了較多的研究工作。如：Amorim等[4]提出了一種描述隧道襯砌混凝土開裂的數學模型，該模型可以表征隧道襯砌結構的損傷狀態，量化裂縫的張開位移；Fu等[5]采用擴展有限元方法研究了局部空洞缺陷對隧道襯砌裂縫開裂方向和裂縫分布規律的影響；董飛等[6]對7條北京地鐵線的襯砌裂縫開裂情況進行了統計分析，結果發現襯砌開裂是地鐵隧道中常見的病害，且礦山法隧道的襯砌開裂比盾構隧道的襯砌開裂總量大；黃宏偉等[7]采用擴展有限元方法分析了不同影響因素下公路隧道襯砌的裂縫分布規律、裂縫擴展過程、裂縫外觀表現形式及發生機制，有限元模擬中假定了一條單裂縫；周資湘等[8]對某高速公路洞口段的偏壓連拱隧道襯砌裂損原因進行了分析，發現在地形偏壓的作用下，左、右進洞口段拱頂處出現較多貫通的縱向張拉裂縫；張芳等[9]通過有限元-離散元法，建立了荷載結構模型，分析了洞口偏壓、背后空洞和拱頂松弛等對隧道襯砌裂縫分布和擴展的影響，得到的結果與日本等比例尺淺埋隧道襯砌試驗結果基本一致；黃欣[10]以黃毛嶺隧道工程為依托，通過對隧道洞口段地表及襯砌開裂的原因進行綜合分析，提出了一系列有針對性的淺埋偏壓小凈距隧道洞口段施工異常處治對策。

較多土木工程工作者對隧道襯砌裂縫病害進行了理論和試驗研究，對工程建設起到了極大的促進作用。然而，目前這些研究成果一般都基于某具體工程對隧道襯砌裂縫的分布、深度和形狀等進行統計分析，且部分學者在模擬隧道襯砌裂縫的擴展過程時多人為假定裂縫起裂位置為最大應力集中處，且僅假設有一條主裂縫。而根據王飛陽等[11]在多尺度模型下管片破壞模擬中發現的多條Ⅰ型裂縫同時擴展、劉德軍等[12]在隧道襯砌破壞試驗中發現的6條裂縫同時擴展和劉庭金等[13]在現場調查中發現的拱頂多裂縫擴展且大面積開裂的現象可知，隧道襯砌的裂縫擴展并不是單純僅一條主裂縫擴展，而是存在多裂縫擴展的可能。

在實際隧道工程中，受溫度、施工工藝的影響，隧道襯砌結構極有可能出現多條初始裂縫，這些裂縫受到偏壓及其他不利條件的影響，使得對于多大范圍內的裂縫會發展、哪些裂縫又是穩定的，均難以判斷。而對于現場施工人員來說，能夠快速地判斷出隧道襯砌結構內危險裂縫分布在哪些位置，裂縫是否會繼續擴展以及裂縫最終的擴展深度是多少，是非常有意義的。另外，對偏壓隧道襯砌的多裂縫擴展規律進行分析，可有效指導施工，然而目前較少有學者針對洞口偏壓條件下隧道襯砌的多裂縫擴展規律進行分析。基于此，本文依托巴蕉箐公路隧道工程，對洞口偏壓隧道襯砌不同位置處裂縫擴展狀態進行分析，提出偏壓隧道多裂縫擴展的可能，再基于擴展有限元方法進一步對不同偏壓條件下隧道洞口段襯砌多裂縫的裂縫擴展形態及裂縫擴展速度等規律進行分析，以為相關工程提供指導。

1 工程概況

巴蕉箐隧道位于云南省中部，該隧道為分離式特長隧道，全長為3 697 m，設計時速為100 km/h，開挖斷面寬約13.3 m、高約10.6 m，開挖面積約為126 m2，為特大斷面隧道。隧道進口附近及出口有鄉村道路通過，交通條件一般。隧道橫穿山脊，坡體植被發育，場區海拔為1 728.3～2 252.7 m，相對高差為524.4 m，地勢起伏大。隧道玉溪段洞口處邊、仰坡由碎石土、強風化板巖夾炭質板巖、白云巖及砂巖組成，強風化巖體厚度大，節理裂隙發育，呈碎裂狀及散體狀結構，洞口處圍巖巖質軟，巖石單軸飽和抗壓強度Rc為8 MPa，邊、仰坡開挖臨空后易發生垮塌，巖體質量等級綜合評定為Ⅴ級，施工時應及時對坡體采取加固支擋措施，同時采取防排水措施。

巴蕉箐隧道玉溪段左、右幅隧道洞口橫斷面圖，見圖1。該段隧道左、右幅隧道洞口段均存在一定的偏壓，且右幅隧道洞口段偏壓程度較大，地面偏壓角度最大約為45°。根據黃宏偉等[7]對境內外109條隧道襯砌裂縫病害的現場統計分析，發現偏壓是引起隧道二襯開裂最主要的因素之一。對于本工程而言，如不采取針對性的措施，后期隧道運營過程中也將會面臨襯砌裂損問題。對于山嶺隧道而言，隧道洞口段基本是淺埋偏壓隧道受力較危險的地方，因此本文將主要針對偏壓隧道洞口段襯砌的裂損規律進行分析。

圖1 巴蕉箐隧道玉溪段左、右幅隧道洞口橫斷面圖 (單位：cm)Fig.1 Cross section of tunnel left and right entrance of Yuxi section of Bajiaoqing Tunnel(unit:cm)

2 擴展有限元法

2. 1 擴展有限元理論

擴展有限元方法(XFEM)是單位分解法的一個特例，其主要原理是利用有限元形函數作為單位分解函數，而單元的不連續性(斷裂)則通過與額外自由度相關聯的擴充函數來描述。在斷裂分析中，擴充形函數主要包括裂縫面間斷函數和裂縫尖端附近漸進函數，其中間斷函數用于模擬裂縫面處位移場跳躍，漸進函數用于描述裂縫尖端附近的應力奇異性[14]。

如圖2所示的二維平面模型為某一條裂縫在有限元網格中的擴展示意圖，其中S表示平面模型中所有節點的集合,Sh為裂縫貫穿單元節點的集合(方形節點),Sf為裂縫尖端附近單元節點的集合(圓形節點)，下面對Sh和Sf采用不同的擴充形函數進行描述[15]。

圖2 裂縫擴展描述示意圖Fig.2 Sketch map of fracture propagation description

裂縫貫穿單元的裂縫面位移產生跳躍，其節點集Sh的擴充形函數ψJ(x)可表示為

(1)

式中：J為裂縫貫穿單元節點；NJ(x)為裂縫貫穿節點位移形函數；aJ為裂縫貫穿節點擴展自由度；H(x)為沿裂縫面的間斷階躍函數。

裂縫尖端附近單元節點集合Sf的擴充形函數ψK(x)可表示為

(2)

式中：K為裂隙尖端節點；NK(x)為裂縫尖端節點位移形函數；bK為裂縫尖端節點擴展自由度；Φ(x)為裂縫尖端應力漸進函數。

各向同性材料中，Φ(x)可表示為

(3)

式中：r和θ為裂縫尖端極坐標系位置參數；裂縫尖端切線方向對應θ=0。

圖2描述了沿裂縫面的間斷階躍函數H(x),表征裂縫導致的不連續位移場，描述裂縫兩邊非連續的變形模態，其表達式為

(4)

式中:x為所考察的點；x*為裂縫面上距x點最近的點；n為x*處裂縫面的單位外法向向量。

綜上可知，二維平面有限元模型位移場向量函數uh(x)可表示為有限元形函數、貫穿節點集擴充形函數與裂縫尖端集擴充形函數之和，即

(5)

式中:NI(x)為一般節點位移形函數；uI為有限元解法連續體的一般節點位移向量；aJ和bK為節點擴展自由度。

與連續性的有限元模擬相比，擴展有限元內部網格劃分與結構內部的幾何或物理界面無關，在模擬裂縫擴展的過程中無需對網格進行重新剖分，對于裂縫區域的描述通過在標準場近似的基礎上添加擴充形函數實現，可解決常規有限元模擬不能解決的裂縫發育問題。

2. 2 洞口偏壓隧道襯砌多裂縫擴展有限元分析思路

與非偏壓隧道相比，洞口偏壓段隧道襯砌裂縫的出現位置相對較難判斷，且受溫度、施工工藝和偏壓狀態等多種因素的影響，單純通過人為假定初始裂縫存在較大的主觀性，因此需先對偏壓隧道襯砌裂縫可能擴展的范圍進行分析，進而進一步開展裂縫擴展的有限元分析。

本文的基本思路和假設如下：

(1) 材料本構定義。模型中巖土體采用摩爾-庫倫本構模型，初支和二襯采用線彈性本構模型；考慮到應力強度因子基于線彈性理論推出，因此初支和二襯不考慮塑性是可行的。

(2) 定義初始裂縫。根據文獻[6]對馬蹄形隧道的統計結果，定義襯砌裂縫初始深度為2 cm，以三心圓隧道拱頂圓圓心為中心，以水平面為x軸，建立-10°～190°間襯砌內表面初始裂縫，裂縫間距為5°，共41個初始裂縫。

(3) 定義裂縫擴展判據。Ⅰ型裂縫(張開型)為工程中最常見的裂縫，也是最危險的裂縫，故本文僅對Ⅰ型裂縫進行分析。文獻[7]選取斷裂能GⅠ=80 N/m為Ⅰ型裂縫擴展判據，一般而言，斷裂能與Ⅰ型裂縫應力強度因子KⅠ的關系式如下:

(6)

(7)

optimalΩ～F

(8)

式中:Ω為設定的工況集；F為計算得到的各加固工況下裂縫擴展的安全系數。

(5) 基于裂縫應力強度因子分布規律，對可能存在多裂縫的擴展區域進行多裂縫擴展有限元分析。裂縫開裂準則為最大周向應力準則，最大周向應力σmax=2.01 MPa,斷裂能GⅠ=GⅡ=GⅢ=80 N/m。

3 偏壓隧道襯砌初始裂縫擴展狀態分析

3. 1 有限元分析模型的建立

基于某大型通用有限元分析軟件，建立了如圖所示的偏壓隧道襯砌初始裂縫擴展狀態有限元分析模型。模型中隧道開挖斷面高約為10.6 m，寬約為13 m，埋深約為32 m，其中隧道邊緣距兩側及下邊界的距離分別為53.5 m、40.0 m。模型中，巖體和襯砌均采用PLANE183單元模擬，各材料計算參數見表1。模擬過程在前面已說明，此處不再贅述。

圖3 偏壓隧道襯砌初始裂縫擴展狀態有限元分析模型Fig.3 Finite element analytical model of initial crack propogation state of tunnel portal lining

表1 材料計算參數

3. 2 計算工況的設置

本文分別建立了不同偏壓角度、初始裂縫深度以及襯砌厚度的計算工況，見表2。其中,隧道襯砌厚度隨襯砌支護型式發生變化，襯砌支護型式參考了巴蕉箐隧道設計圖中的實際設計方案。

結合《公安機關適用繼續盤問規定》第八條及《人民警察法》第九條可以看出，公安機關的人民警察對于繼續盤問制度的適用標準是相對人有違法犯罪嫌疑，且當場不能確定其身份或排除嫌疑的。這樣的標準究竟是主觀的還是客觀的，需要進一步進行探討。如果采用主觀標準，即存在賦予公安機關的人民警察自由裁量權過大，有可能侵犯相對人的合法權益，出現違反比例原則的情形；如果采用客觀標準，由于法律本身的局限性，不可能就所有的客觀情形作出周延全面的規定，有可能會導致執法的機械化以及放縱違法犯罪嫌疑人的后果。

表2 計算工況設置

3.3 偏壓隧道襯砌初始裂縫應力強度因子分布規律分析

標準工況(偏壓角度為30°，初始裂縫深度為2 cm，襯砌支護型式為c型)下隧道襯砌Ⅰ型裂縫應力強度因子分布圖，見圖4。圖中應力強度因子出現負值，表明此處襯砌主要承受壓力，裂縫閉合，由于該應力強度因子判據僅對張拉型裂縫有效，因此對于負值，僅對其受力狀態進行探討。

圖4 標準工況下隧道襯砌Ⅰ型裂縫應力強度因子 分布圖Fig.4 Stress intensity factor distribution of type Ⅰ crack of tunnel lining under standard working conditions

3. 4 不同工況下偏壓隧道襯砌裂縫擴展狀態分析

不同偏壓角度下隧道襯砌各初始裂縫應力強度因子的變化曲線，見圖5。

圖5 不同偏壓角度下隧道襯砌各初始裂縫應力強度 因子的變化曲線Fig.5 Stress intensity factor curves of each initial crack of tunnel lining under different bias angles

由圖5可知：隨著偏壓角度的增大，隧道襯砌各初始裂縫應力強度因子不斷增大，襯砌支護型式逐漸由扁平狀轉變為窄尖狀；扁平狀時襯砌應力分布較均勻，襯砌結構處于安全狀態，即使襯砌結構表面存在一些淺層裂縫，也不會發生擴展，而窄尖狀時，最不利位置處裂縫最大應力強度因子將會產生應力集中，從而產生裂縫擴展。由此可以看出，非偏壓狀態下整個隧道襯砌結構的受力型式較好，承載能力也更大；在埋深大一側隧道襯砌拱腳位置(B區)，隨著偏壓角度的增大，初始裂縫應力強度因子呈線性增加，極易發生壓潰；隨著偏壓角度增加，初始裂縫最大應力強度因子位置逐漸由隧道拱頂向拱肩一側轉移，襯砌內部發生了應力重分布，且在偏壓角度大于37.5°時，初始裂縫應力強度因子已經超過臨界值，襯砌將在隧道拱頂處發生裂縫擴展；在偏壓作用下，裂縫主要擴展區域在靠近埋深大一側隧道襯砌拱頂與拱肩之間，裂縫擴展范圍約在60°～90°之間，在該區域內多條裂縫的應力強度因子均大于臨界值，將出現多條裂縫同時擴展。

不同偏壓角度、初始裂縫深度和襯砌支護型式下隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數的變化曲線,見圖6、圖7和圖8。

圖6 隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數隨偏壓角度的 變化曲線Fig.6 Variation curve of safety factor of initial crack propagation of tunnel lining with bias angle

圖7 隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數隨初始裂縫 深度的變化曲線Fig.7 Variation curve of safety factor of initial crack propagation of tunnel lining with initial crack depth

圖8 隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數隨襯砌支護 型式的變化曲線Fig.8 Variation curve of safety factor of initial crack propagation of tunnel lining with lining type

由圖6至圖8可以看出：隨著偏壓角度的增加，隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數呈線性減小，說明偏壓作用對隧道襯砌初始裂縫擴展的影響是顯著的，故在隧道洞口淺偏壓段施工時應加強量測和輔助支護措施；在偏壓角度較小的情況下，隨著初始裂縫深度的增加，隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數少量增加，表明裂縫處于穩定狀態，不會繼續向內擴展，該結論主要基于初始裂縫深度較淺時得到，此時初始裂縫深度對襯砌結構剛度的影響非常小；襯砌支護型式由a型變化到f型，隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數少量減少，說明過度提高襯砌支護型式并不經濟，當襯砌支護型式由c型(初支25 cm，二襯50 cm)轉變為d型(初支22 cm，二襯45 cm)之后，隧道襯砌初始裂縫擴展安全系數開始呈線性減小，這主要是因為在淺埋偏壓的情況下，當隧道襯砌結構剛度過小時，襯砌結構的承載力不夠，裂縫易發生較大擴展。

4 偏壓隧道襯砌多裂縫擴展有限元分析

由前文可知，在不采取任何措施下，當偏壓角度為45°時，若隧道存在多條初始裂縫，極有可能在隧道拱頂60°～90°范圍內發生多裂縫擴展，本節將基于擴展有限元方法，對偏壓條件下隧道襯砌多裂縫擴展進行有限元分析。

圖9 擴展有限元模型中初始裂縫的位置Fig.9 Initial crack location of extended finite element model

圖10 不同子步下偏壓隧道襯砌多裂縫擴展趨勢及 沉降位移云圖Fig.10 Nephogram of crack propagation trend and settlement displacement of tunnel lining of unsymmetrical pressure lining under different substeps

圖11 不同子步下偏壓隧道襯砌裂縫擴展深度的 變化曲線Fig.11 Variation curves of crack propagation depth of tunnel lining of unsymmetrical pressure lining under different substeps

由圖10和圖11可知：隨著子步數的增加，在隧道襯砌內部75°位置處的初始裂縫最先開始單獨快速擴展，并形成一條較深的主裂縫，且在子步4時裂縫擴展到深度約為8.5 cm；當在子步6時，75°位置處的主裂縫在進一步的擴展過程中，兩側30°范圍(60°～90°)內的多條裂縫也開始快速擴展，這主要是由于隨著主裂縫的擴展，襯砌結構局部剛度減少，襯砌結構發生較大的變形，主裂縫周邊的裂縫在襯砌大變形的張拉作用下也會隨之快速擴展；在子步8、10時，裂縫將進一步快速擴展，并在75°位置處形成一條43.0 cm深的主裂縫，且周邊的裂縫也在快速擴展，裂縫最深可達37.5 cm；小于75°位置處的初始裂縫比大于75°位置處的初始裂縫的擴展深度更大，表明隧道埋深大一側的偏壓作用更明顯；從裂縫擴展的趨勢來看，75°主裂縫基本沿襯砌徑向擴展，但周邊裂縫在擴展的過程中存在部分角度偏轉，且隨著距離主裂縫越遠，偏轉角度越大。

隧道襯砌最大豎向沉降隨子步的變化曲線，見圖12。

圖12 隧道襯砌最大豎向沉降隨子步的變化曲線Fig.12 Variation curve of maximum vertical settlement of tunnel lining with substep

由圖12可知：在子步4之前，裂縫擴展較平穩、緩慢；而在子步4之后，裂縫擴展速度驟增，近似呈指數增長，對應前文分析可知，子步4之前為主裂縫快速擴展狀態，而在子步4之后，隧道襯砌裂縫擴展轉變為多裂縫擴展，襯砌結構剛度銳減，致使初砌結構發生快速沉降變形，直至最終破壞。

圖13 裂縫擴展偏轉率參數取值示意圖Fig.13 Parameter value diagram of crack propagation deflection rate

如圖13所示，建立了初始裂縫徑向擴展方向輔助線1，最終裂縫擴展點與初始裂縫擴展點互連的輔助線2，則可得到夾角β。假定裂縫最終的擴展深度為L，則裂縫擴展偏轉率P可根據P=β/L計算得到。不同偏壓角度下隧道襯砌初始裂縫擴展偏轉率的變化曲線，見圖14。

由圖14可知：在偏壓角度為45°時，周邊裂縫有向主裂縫靠攏的發展趨勢，且離主裂縫越遠，裂縫擴展偏轉率越大，背離初始裂縫徑向擴展的趨勢越大；裂縫擴展偏轉率在主裂縫兩側60°～90°范圍內近似呈線性發展，而在60°～90°這個范圍外，裂縫擴展偏轉率將急劇減少，這是由于超過這個范圍外的周邊裂縫并未發生擴展；在偏壓角度為37.5°時，裂縫擴展偏轉率的變化規律與偏壓角度為45°時近似，但整體裂縫擴展偏轉率均較低。

不同偏壓角度下隧道襯砌初始裂縫擴展深度的變化曲線，見圖15。

圖15 不同偏壓角度下隧道襯砌初始裂縫擴展深度的 變化曲線Fig.15 Variation curves of initial crack propagation depth of tunnel lining under different bias angles

由圖15可知：當偏壓角度較小時，裂縫基本保持穩定；當偏壓角度為37.5°時，裂縫會出現擴展，裂縫最大擴展深度約為20 cm；當偏壓角度為45°時，裂縫最大擴展深度約為43 cm，擴展深度增長約為115%；當偏壓角度為45°時，多裂縫呈“窄尖”式擴展，當偏壓角度為37.5°時，多裂縫呈“矮胖”式擴展，表明偏壓角度較大時，襯砌受力狀態更差；當偏壓角度小于或等于30°時，均未出現裂縫擴展，表明在偏壓角度較小時，即使襯砌結構表面存在初始裂縫也并不會發生裂縫擴展。可見，偏壓對隧道襯砌開裂的影響顯著，偏壓角度越大，越容易形成一條較深的主裂縫，從而造成襯砌結構破壞，因此當隧道處于較大的偏壓狀態時，應及時采取有效的加固措施。

5 結論與建議

(1) 隨著偏壓角度的增大，初始裂縫應力強度因子分布型式逐漸由扁平狀轉變為窄尖狀，隧道襯砌整體受力狀態變差，最終易在隧道拱頂60°～90°范圍內出現多個初始裂縫應力強度因子超限，極易產生多裂縫擴展。

(2) 偏壓隧道襯砌多裂縫擴展主要分為3個階段：應力最不利位置裂縫單獨快速擴展階段，形成一條較深的主裂縫；主裂縫帶動周邊初始裂縫形成多裂縫同時擴展階段；多裂縫同時快速擴展，直至主裂縫逼近貫通襯砌破壞階段。

(3) 在偏壓條件下，主裂縫兩側60°～90°范圍內裂縫擴展偏轉率呈線性發展，表明在該范圍內，離主裂縫越遠，周邊裂縫向主裂縫靠攏發展的趨勢越大。

(4) 偏壓對隧道襯砌裂縫擴展的影響顯著，偏壓角度越大，多裂縫呈“窄尖”式擴展，越容易形成一條較深的主裂縫，造成襯砌結構破壞，但當偏壓角度較小時，即使襯砌表面存在初始裂縫也并不會發生裂縫擴展。