FAST 主動反射面形狀調節的數值模擬

徐文彬，王天嬌

（1.信陽學院 數學與統計學院，河南 信陽 464000；2.信陽航空職業學院 航空管理學院，河南 信陽 464000）

中國天眼——500 m 口徑球面射電望遠鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，簡稱FAST），是我國具有自主知識產權的目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡.它的落成啟用對我國在科學前沿實現重大原創突破，加快創新驅動發展具有重要意義[1].

FAST 由主動反射面、信號接收系統（饋源艙）以及相關的控制、測量和支承系統組成.其中主動反射面系統是由主索網、反射面板、下拉索、促動器及支承結構等主要部件構成的一個可調節球面[2].主索網由柔性主索按照三角網格方式構成，用于支承反射面板（含背架結構），每個三角網格上安裝一塊反射面板，整個索網固定在周邊支承結構上.主動反射面共有主索節點2 226 個，每個主索節點連接一根下拉索，下拉索下端與固定在地表的促動器連接，實現對主索網的形態控制[3].索網整體結構、反射面板、主索網結構及其連接見圖1.

圖1 索網整體結構、反射面板、主索網結構及其連接

主動反射面可分為基準態和工作態2 個狀態.當處于基準態時，反射面是半徑約300 m，口徑為500 m的球面（基準球面）；當處于工作態時，反射面的形狀被調節為一個300 m 口徑的近似旋轉拋物面（工作拋物面）[4].FAST 在觀測時的剖面見圖2，C點是基準球面的球心，饋源艙接收平面的中心只能在與基準球面同心的一個球面（焦面）上移動，兩同心球面的半徑差為F=0.466R（其中：R為基準球面半徑，稱為焦徑比）.饋源艙接收信號的有效區域為直徑1 m 的中心圓盤[5].當 FAST 觀測某個方向的天體目標S時，饋源艙接收平面的中心被移動到直線SC與焦面的交點P處，調節基準球面上的部分反射面板，形成以直線SC為對稱軸、以P為焦點的近似旋轉拋物面，從而將來自目標天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區域內[6].

圖2 FAST 剖面

1 反射面形狀調節模型

模型的建立思路是根據FAST 的主動反射面在基準狀態下是球面，建立球面方程，在工作狀態下，依據觀測天體的位置在FAST 的正上方及饋源艙的焦徑比等條件，建立理想拋物面；隨著觀測天體的位置發生變化，理想拋物面也會隨著發生位置的改變[7]，通過極坐標變換求得新的理想拋物面頂點坐標，根據理想拋物面的形狀、大小、焦徑比不發生變化，以及球面、拋物面具有對稱性等條件，將新理想拋物面投影區域內各主索節點的位置平移至以原點為圓心的區域內，通過球面方程確定各主索節點的空間坐標，以促動器伸縮沿基準球面徑向趨向球心方向為正向，該徑向就是通過原點和主索節點的直線方程，將直線方程與理想拋物面方程聯立，即可求得拋物面上的交點，交點與主索節點的距離就是要求的各主索節點的伸縮量[8].

1.1 理想拋物面的建立

在基準狀態下，反射面是半徑為300 m，口徑為500 m 的球面，在工作狀態下，反射面的形狀是一個拋物面，從遠處發射出的沿直線傳播的信號經過反射面反射匯聚到饋源艙中，也就是說饋源艙正好在拋物面的焦點處[9].假定待觀測天體位于基準球面的正上方（見圖3），由拋物面的焦點位置P（0，-0.466R）可確定拋物面方程[10]，繞z軸旋轉可得到理想拋物面方程

圖3 拋物面的剖面

其中：p=2F=2×0.466×R；c=2pR；R=300.拋物面方程是由二維直角坐標系中的拋物線方程x2=2pz+c繞z軸旋轉后得到的三維空間的拋物面方程，c是指z軸方向上下平移的距離.

基準狀態下的球面方程為

在xoz平面內，拋物線與圓在點x=±150處有2個交點，也就是說，在x?[-150,150]內是所求的拋物線，這個區域以外，拋物線會在圓的下方，不是將要求的區域.繞z軸旋轉后形成的拋物面，在以（0，0）點為圓心，半徑為300 m 的圓內形成所要求的拋物面（見圖4）.

圖4 各主索節點通過調節形成的理想拋物面

1.2 反射面板調節模型的建立

當待觀測天體S從正上方移動到其他位置時，具體方位用方位角α和仰角β來表示，天體在正上方時確定的理想拋物面，稱為初始位置的理想拋物面.

確定新的理想拋物面頂點坐標，將主索節點坐標（0,0,-300.4）作為初始工作拋物面的頂點坐標，新的頂點坐標通過球面的參數方程得到，即

式中：α1，β1分別為拋物面頂點坐標的初始位置與x軸，z軸的夾角；r為頂點坐標到原點的距離.

通過計算，理想拋物面的頂點坐標為（-49.320 0,-36.889 4,-294.018 5），由于饋源艙接收平面的中心只能在基準球面同心的一個球面（焦面）上移動，兩同心球面的半徑差為F=0.466R（其中R為基準球面半徑，稱為焦徑比），拋物面的頂點位置發生變化，但拋物面的形狀、大小、焦距等不會發生變化，只是拋物面的對稱軸以原點為固定點，分別與x軸，z軸形成α,β夾角.紅色點為在基準球面上要調節為工作拋物面的主索節點（見圖5a）.所以，求新的工作拋物面各主索節點的伸縮量，可以通過將這些節點的x,y坐標值分別平移49.32，36.889 4 m，至以原點為圓心，口徑相同的一個圓內（見圖5b）.

圖5 基準球面上的主索節點形成工作拋物面的位置坐標

以紅色點中任一點K（x0,y0）為例，平移之后的新點坐標M（x1,y1）為

由式（2）求得M（x1,y1）在基準球面上對應的z1值，，以點M（x1,y1,z1）與原點（0,0,0）為徑向，可確定一條直線

該直線方程與拋物面方程（式（1））有2個交點，其中一個z值大于零，舍去，小于零的那個點為要求的z點，也就是主索節點的坐標N（x2,y2,z2），點M，N間的距離為，即為從基準球面調整為工作拋物面時該主索節點的伸縮量，同樣也是點K（x0,y0,z0）處主索節點的伸縮量（見圖6）.

圖6 新拋物面的剖面示意圖

2 數值結果

中國天眼的主動反射面共有主索節點 2 226 個，反射面板4 300 塊，所有主索節點的坐標和編號，促動器下端點（地錨點）坐標、基準態時上端點（頂端）的坐標，以及促動器對應的主索節點編號等數據，來源于2021 年高教社杯全國大學生數學建模競賽A 題的附件中.

工作態時，反射面的形狀被調節為一個 300 m 口徑的近似旋轉拋物面（工作拋物面），在這個區域內共有710 個主索節點，通過Matlab 程序計算，可求解出該區域內所有主索節點的伸縮量.由于數據較大，這里只顯示以新工作拋物面頂點坐標為圓心，口徑為300 m 的區域內一小部分主索節點的編號及伸縮量（見表1，已按從小到大排序）.

表1 口徑為50 m 的區域內主索節點的編號及伸縮量 m

最小伸縮量的節點編號為D27，最小伸縮量為0.001 073 785 m，是最接近新工作拋物面頂點坐標的主索節點，有約1 mm 的調整；最大伸縮量的節點編號為D186，伸縮量為0.694 403 584 m.中國天眼各主索節點下方促動器的徑向伸縮范圍為-0.6～+0.6 m，伸縮范圍為1.2 m.數據結果顯示，該區域內的主索節點伸縮量均在可伸縮范圍內.

新位置下的工作拋物面剖面圖見圖7（a 為整個區間的剖面圖，x?[-197.2831,97.812 9]，b～d 為小區間的放大圖）.

圖7 不同區間新拋物面的剖面示意圖

3 結語

將中國天眼主動反射面的形狀調節問題轉化成數學模型，就是球面上有一個拋物面，以球面的圓心為定點，拋物面的頂點在球面上運動，難點在于主動反射面是由小的反射面板組成，相當于球面上離散的點，反射面板在運動的過程中形狀、大小不發生變化，相當于離散的點之間的距離不會變.在這些條件的限制下，該模型借助Matlab 程序，能很好地計算出天體在任意方位下，理想拋物面的頂點坐標、反射面300 m口徑內的主索節點編號、各促動器的伸縮量等數值.