邏輯演算方法在點集問題中的應用

徐斌

（普洱學院 數學與統計學院，云南 普洱 665099）

1 引言及預備知識

度量空間中關于點集的問題[1-2]（導集、邊界、內部等）是比較精細及抽象的，其在實變函數課程中具有重要的地位.傳統的定義及處理方式往往是用漢字語言加數學符號來描述及推理[3-8]，由于漢字語言不能直接參與“演算”，使得這些關于點集的問題（運算、關系等）處理起來非常困難，初學者普遍感到晦澀難懂.經過多年的教學研究與實踐，發現如果采用一階量詞邏輯[9-10]語言來等價地描述相關概念，再借助量詞邏輯的推理演算方法，就可以清晰而簡便地處理此類問題，使得學習難度大為降低.因此，本文將論述及演示用一階量詞邏輯演算處理度量空間中點集問題的方法.

設p是一個確定的條件，所謂條件是指對于任意的個體x，“x滿足條件p”與“x不滿足條件p”兩者必定有且只有一條成立.個體變元用x表示，取定的個體常元用x0表示，稱p（x0），?x（p（x）），?x（p（x））為原子命題，其定義分別是：（1）p（x0），記作A=p（x0），若個體x0滿足條件p，則稱A為真命題；若個體x0不滿足條件p，則稱A為假命題.（2）?x（p（x）），記作A=?x（p（x）），若存在個體x0滿足條件p，則稱A為真命題；若對于任意一個個體x，x都不能滿足條件p，則稱A為假命題.（3）?x（p（x）），記作A=?x（p（x）），若對于任意一個個體x，x都可以滿足條件p，則稱A為真命題，若存在個體x0不滿足條件p，則稱A為假命題.

設A,B是原子命題，則稱A?B，AˇB，A→B，┑A，A?B為命題，其定義分別是：（1）A?B，稱為A,B的合取命題，記作C=A?B，當且僅當A,B都為真命題時C為真命題，其余情況C為假命題.（2）AˇB，稱為A,B的析取命題，記作C=AˇB，當且僅當A,B都為假命題時C為假命題，其余情況C為真命題.（3）A→B，稱為A,B的蘊含式命題，記作C=A→B，當且僅當A為真命題且B為假命題時C為假命題，其余情況C為真命題.（4）┑A，稱為A的否命題，記作C=┑A，若A為真命題，則C為假命題；若A為假命題，則C為真命題.（5）A?B，稱為A,B的等價式命題，記作C=A?B，則C=（A→B）?（B→A）.

本文所說的一階量詞邏輯公式是指由A?B，AˇB，A→B，┑A，A?B5 種命題運算經過有限次復合代入所生成的式子.設A,B都是命題，若A?B是真命題，則稱A,B等價，記作A?B，在一階量詞邏輯公式中等價的命題可以相互替換，即若A?B，則φ（A）?φ（B）；若A→B是真命題，則稱命題A可以推出命題B，記作A?B，平時所用的許多不同的推理模式都是從這種恒真蘊含式獲得的.

給出一些常用的運算及等價代換與推理的公式：

（1）關于一般命題的公式，設A,B,C都是命題，則有（A?B）?C?A?（B?C），（AˇB）ˇC?Aˇ（BˇC），A?B?B?A，AˇB?BˇA，A?（BˇC）? （A?B）ˇ（A?C），Aˇ（B?C）? （AˇB）?（AˇC），┑（A?B）? （┑A）ˇ（┑B），┑（AˇB）? （┑A）?（┑B），A→B? （┑A）ˇB，┑（┑A）?A.

（2）關于量詞的公式，主要有：?x?Ω（p（x））??x（x?Ω →p（x））；?x?Ω（p（x））??x（x?Ω ?p（x））；┑（?x（p（x）））??x（┑（p（x）））；┑（?x（p（x）））??x（┑（p（x）））；?x?y（p（x,y））??y?x（p（x,y））；?x?y（p（x,y））??y?x（p（x,y））；?x（p（x）?q（x））??x（p（x））??x（q（x））；?x（p（x）ˇq（x））??x（p（x））ˇ?x（q（x））；?x（p（x）?q（x））??x（p（x））??x（q（x））；?x（p（x））ˇ?x（q（x））??x（p（x）ˇq（x））；?x?y（p（x,y））??y?x（p（x,y））.

2 方法及路徑

用一階量詞邏輯演算方法處理度量空間中的點集問題，首先要將這些點集的傳統定義等價地翻譯成一階量詞邏輯公式，然后借助一階量詞邏輯演算及一些等價轉化的方法來實現演算推理.

2.1 相關概念的邏輯描述

度量空間（R,d）的度量為d，集合稱為以x0為心δ為半徑的鄰域，記作U δ（x0）；集合稱為以x0為心δ為半徑的去心鄰域，記作設E為實數集R中的一個給定點集，x0是R中的一個點，則

（1）x0是點集E的聚點，E的所有聚點組成的集合稱為E的導集，記作E′.

（2）x0是點集E的內點??δ＞0（Uδ（x0）?E），E的所有內點組成的集合稱為E的內部，記作.

（3）x0是點集E的外點??δ＞0（Uδ（x0）∩E=?），E的所有外點組成的集合稱為E的外部，記作Ee.

（4）x0是點集E的界點，E的所有界點組成的集合稱為E的邊界，記作?E.

（5）x0是點集E的觸點??δ＞0（Uδ（x0）∩E≠?），E的所有觸點組成的集合稱為E的閉包，記作.

（6）x0是點集E的孤立點?x0?E-E′.

2.2 等價轉化的方法與路徑

等價轉化主要包括集合與條件的轉化、集合運算式與集合關系式的轉化、集合關系式與邏輯公式之間的轉化.集合與條件的轉化遵循基本原理1.

基本原理1.

設A是集合，且，則x?A?p（x）.

設A,B是集合，利用A=B?A?B?B?A，A∩B=A?A?B，A∪B=A?B?A，A∩B=? ?A?Bc，A∪B=? ?A=B=?等可以實現集合運算式與集合關系式之間的轉化.

集合關系式與邏輯公式之間的轉化主要遵循2個基本原理：

基本原理2A?B??x（x?A→x?B）.

基本原理3A=? ??x（x?A）.

設A,B是集合，且.由基本原理2可知，要證明A?B等價于要證明?x（q1（x）→q2（x））；進一步，若要證明A=B，等價于要證明?x（q1（x）?q2（x））.這樣的過程實現了集合關系式與邏輯公式之間的相互轉化.

3 幾個常用重要公式的邏輯演算證明

命題1對于度量空間中的點集E，有

命題2對于度量空間中的點集E，有E′?E′.

證明顯然E′?E′??x（x?E′→x?E′）.由于

命題3對于度量空間中的點集A,B，有（A∪B）′=A′∪B′.

命題4對于度量空間中的點集A,B，有（A∩B）′?A′∩B′.

證明顯然（A∩B）′?A′∩B′??x（x?A′∩B′→x?（A∩B）′）.由于

命題5A×B為度量空間中點集A,B的笛卡爾積，則有

證明由閉包的定義可知，原命題等價于（A×B）′=（A′×B）∪（A×B′）∪（A′×B′）.

4 結語

研究發現，導集運算是最為基本的集合運算，其他運算都可以借助求導及交、并、差等初等運算得以定義.故而，只要掌握了關于導集運算的基本性質就可以推導出其余4個運算所具有的性質與規律.

實踐表明，利用一階量詞邏輯演算的方法來證明這些抽象精細的命題是清晰而簡便的.進一步地，還可以仿照以上方法簡便地證明常用公式：