一類復積分錯誤計算的分析

張杰華，韓明華

（凱里學院 理學院，貴州 凱里 556000）

1 引言及預備知識

復積分的計算是復變函數與積分變換課程的一個重要內容，計算的方法多樣，其中利用留數定理可以方便地解決一類沿封閉曲線的積分.當被積函數是分式時，大量的文獻討論了這種情形下積分的計算方法和性質[1-3].留數定理能夠解決許多復雜的積分計算問題，文獻[4-6]討論了留數定理及其應用.本文以一道典型的習題為例討論復積分的計算問題.

部分學生判別奇點的時候出現了錯誤，看見分母是z6而誤認為z=0 是f(z) 的6 階極點，計算結果為

在判別極點階數時出現了錯誤，但是最后的計算結果竟然是正確的，而且計算過程相比較正確方法還要簡單，出現這種情況是否是一種巧合，本文對這個問題進行了探討.

定義[9]設z0為解析函數f(z) 的孤立奇點，f(z) 在z0處的洛朗展開式中負一次冪項的系數C-1被稱為f(z)在z0處的留數，記為Res [f(z),z0].

留數定理[10]216設函數f(z) 在區域D內除有限個孤立奇點1,2,,nz z…z外處處解析，C是D內包圍各奇點的一條正向簡單閉曲線，則有

引理[10]224如果z0為f(z) 的m階極點，則

2 主要結果及證明

定理若f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區域D內至多存在孤立奇點z0，而在上連續，則有

（1）若f(z) 在區域D內解析或者z0是f(z) 的可去奇點，則

（2）若z0是f(z) 的極點或本性奇點，則

證明（1）假設f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區域D內解析，在D=D∪C上連續.若z0是f(z)的k階零點，則有f(z0)=0，f′（z0）=0，…，f(k-1)（z0）=0且f(k)(z0) ≠ 0，f(z)也可表示為f(z)=（z-z0）kφ(z)，式中：φ（z0）≠ 0.

當z0是f(z) 的可去奇點時，證明方法類似.

分析所圍成的區域內存在一個可去奇點z=1，并且z=1 是f(z) 的二級零點，從而z=1 是的一級極點.如果利用引理來計算留數，求解導數及極限的過程會比較繁瑣.根據定理的第1種情形來計算積分，可以簡化計算過程.

解利用定理，有

例2計算

解csc（z）在所圍成的區域內存在孤立奇點z=0，并且該奇點是一級極點，從而z=0是的二級極點.

例3計算

解所圍成的區域內存在孤立奇點 i-，由于不存在，所以z=-i 是f(z) 的本性奇點.

將f(z)在內展開成洛朗級數，有