關于矩陣多項式的交換性

雷震

（安徽師范大學 數學與統計學院，安徽 蕪湖 241000）

1 引言及預備知識

矩陣多項式的交換性是線性代數學科一個重要內容[1-3].設f(x)=a0+a1x+…+a mxm為x的m次多項式，A為n階矩陣，E為n階單位矩陣，記f(A)=a0E+a1A+…+amAm，f(A) 是一個n階矩陣，稱為矩陣A的一個m次多項式（參見文獻[3]定義2.3.2）.如果AB=BA，根據矩陣相關運算性質，對于矩陣A，B的任意多項式f(A)，g(B)，f(A)g(B)=g(B)f(A) 成立.本文中0 表示零向量或零矩陣.

一個有趣的實例是：如果矩陣A，B滿足AB+A+B=0，則AB=BA成立，即對于任意多項式f(A)及g(B)，有f(A)g(B)=g(B)f(A).這個實例的逆命題一般不成立，如，有AB=BA，但.實例的條件等價于(A+E)(B+E)=E.

注意到A+E是矩陣A的一次多項式（B+E是矩陣B的一次多項式），自然地，有如下問題：如果存在矩陣A的一個m（m>1）次多項式f(A)=a0E+a1A+…+amAm，滿足f(A)(B+E)=E，是否有AB=BA成立，即對于任意多項式h(A)及g(B)，是否有h(A)g(B)=g(B)h(A).

本文根據環論的相關性質給出上述問題的肯定答復.另外，也指出矩陣A的一個m次多項式如果是可逆的，則其逆矩陣可表示成A的多項式，矩陣A的伴隨矩陣A*的多項式及其逆矩陣都可以表示成A的多項式.本文所涉及的環是指有單位元的結合環.

2 主要結果及證明

定理1設R是一個有單位元的結合的交換環，A是R上的一個n階方陣，如果存在矩陣A的一個m（m>1）次多項式f(A)=a0E+a1A+…+amAm（ai?R，i=0,1,2,…,m)，滿足f(A)(B+bE)=E（b?R），則有AB=BA成立，即對于任意多項式h(A) 及g(B)，有h(A)g(B)=g(B)h(A) .

證明根據環的定義，容易驗證關于矩陣的加法及乘法構成一個環.由于R是一個交換環，所以R[x]是一個交換環，而對于任意非負整數k,l，有A k Al=Al Ak，因此R(A)也是一個交換環.

由于f(A)(B+bE)=E，所以f(A) 是R(A) 中的一個可逆元，且其逆元B+bE?R(A)，所以B可以表示成A的多項式，因此AB=BA，即對于任意多項式h(A) 及g(B)，有h(A)g(B)=g(B)h(A) . 證畢.

文獻[4-9]的研究表明，數域P上的n階方陣A的多項式f(A) 的逆矩陣（f(A)）-1可表示成矩陣A的多項式.顯然，這個結論是定理1 的自然推廣.

推論設R是一個有單位元的結合的交換環，A是R上的一個n階方陣，如果A的一個m（m>1)次多項式f(A)=a0E+a1A+…+amAm（ai?R，i=0,1,2,…,m)是可逆的，則f(A) 的逆矩陣（f(A)）-1可表示成矩陣A的多項式.

顯然，數域P是一個交換環，所以將定理1 中的交換環R換為數域P，結論也是成立的.對于這個結論，根據哈密爾頓-凱萊定理給出另外的證明，以方便只學習過線性代數理論，而沒有學習過環模理論的讀者也能理解.

定理2設P是一個數域，A是P上的一個n階方陣，如果存在矩陣A的一個m（m>1)次多項式f(A)=a0E+a1A+…+amAm（ai?P，i=0,1,2,…,m)，滿足f(A)(B+bE)=E（b?P)，則有AB=BA成立，即對于任意多項式h(A) 及g(B)，有h(A)g(B)=g(B)h(A) .

證明記是矩陣f(A) 的特征多項式，根據哈密爾頓-凱萊定理可知，φ（f(A)）=，這里c1,c2,…,cn-1為系數，由于f(A)是可逆矩陣，所以，f(A) 的逆矩陣即B+bE可以表示成f()A的多項式，因此B可以表示成A的多項式，進而有AB=BA成立，即對于任意多項式h(A) 及g(B)，有h(A)g(B)=g(B)h(A) . 證畢.

在定理1～2 中，B+b E只是矩陣B的一次多項式，當將B+b E改為二次及以上次的多項式時，定理結論未必成立.

例1表明，AB=BA只是矩陣A及B的某些多項式可換的充分條件.

文獻[10]根據線性空間理論證明了：設A是數域P上的n階方陣，則A的伴隨矩陣A*可表示成A的多項式.本文利用線性方程組解的理論給出這個結論的證明.

引理設A是數域P上的一個n階方陣，且A的秩為n-1，如果AB=BA=0，B≠ 0，則存在齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解解系α，及ATx=0的一個基礎解解系β，使得B=αβT.

證明由于rank(A)=n-1，而AB=0，所以rank(A) +rank(B)≤n，而B≠0，所以B的秩為1，因此，存在非零的n維列向量α,β，使得B=αβT，又由于0=AB=AαβT，所以Aα=0，即α是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解解系.同理，由于0=BA=αβTA，而α是非零的n維列向量，所以βTA=0，即有ATβ=0，所以，β是齊次線性方程組ATx=0的一個基礎解解系. 證畢.

定理3設P是一個數域，A是P上的一個n階方陣，A*是A的伴隨矩陣，則f（A＊）及 （f（A*））-1都可以表示成A的多項式.

證明記，根據定理1 的證明，只需要證明f（A*）?P(A)，即只需要證明A*?P(A).

假設rank(A)＜n-1，則A*=0?P(A).

假設rank(A)=n-1.由于，根據引理可知，A*=αβT，這里α,β是非零的n維列向量，且α是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解解系，β是齊次線性方程組ATx=0的一個基礎解解系.記A的特征多項式為f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+xn，根據哈密爾頓-凱萊定理可知，f(A)=a0E+a1A+…+an-1An-1+An=0，由于rank(A)=n-1，即A不可逆，所以a0=0，即有A（a1E+…+an-1An-2+An-1）=（a1E+…+an-1An-2+An-1）A=0.由引理可知，a1E+…+an-1An-2+An-1=ηγT，這里η,γ是非零的n維列向量，且η是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解解系，γ是齊次線性方程組ATx=0的一個基礎解解系.由于rank(A)=n-1=rank （AT），所以Ax=0的基礎解系與ATx=0的基礎解系都只含一個非零向量，因此存在非零數k1,k2，使得k1η=α，k2γ=β，即有k1k2（a1E+…+an-1An-2+An-1）=A*，所以A*?P(A) .

假設rank(A)=n.由于，因此A的逆矩陣是，根據推論可知，A*可以表示成A的多項式. 證畢.

3 結語

矩陣的交換性是矩陣理論重要的研究內容，本文給出的2 個矩陣多項式乘積可換的充分條件是2 個矩陣的乘積是可換.當2 個矩陣不可換時，其對應的矩陣多項式是否一定不可換，滿足什么條件的乘積不可換的2 個矩陣，其對應的矩陣多項式是可換的等問題有待于進一步的討論.