大氣科學中數學物理方法課程教學內容體系構建的思考與探索

胡淑娟，周 天，張飛民，陳 艷

(蘭州大學 大氣科學學院，甘肅 蘭州 730000)

數學物理方法課程是大氣科學專業本科二年級重要的專業基礎課程。通過對具體物理問題所滿足的普遍物理規律進行定量化的數學模型描述(偏微分方程(組))，再結合問題具體的邊界條件和初始條件，形成數學物理方程(組)定解問題，最后通過求解和分析定解問題，進一步深入理解具體物理問題的性質，具有很強的理論性和實用性。教學目的為培養學生應用所學的數學物理基礎知識定量化地分析解決大氣科學中相關數學物理問題的能力，為后續專業課程學習及科研和業務應用奠定堅實基礎。

以往數學物理方法教材內容主要分為復變函數論和數學物理方法兩部分內容。其中復變函數論以復變函數的微積分理論、級數理論及留數定理的介紹為主，而數學物理方法部分則在三類經典數學物理方程導出的基礎上，注重介紹不同研究區域形狀的數學物理定解問題的分離變數法與積分變換等常用的解析求解方法。另外，現有主流教材的內容和習題等均具有很濃厚的物理學科背景，專業針對性很強。在這樣的教學內容體系下，大氣科學專業的學生很難體會到數學物理方法課程的專業應用出口，同時更容易將該課程當作純粹的數學物理課程，從而產生類似于高等數學和普通物理等課程學習的畏難情緒，使得該課程的“教”和“學”都不能實現預期的目的。

為了解決以往數學物理方法教學內容與專業需求結合不緊密以及學生的學習興趣不夠、針對性不強的問題，我們教學團隊在多年教學實踐積累基礎上，充分融合團隊成員各自科研方向的專業結合點，提出了具有大氣科學專業應用特色的數學物理方法課程教學內容新體系，在確保教學內容的系統性基礎上，強調數學物理特殊函數在大氣科學中的應用，特別是球函數在大氣科學數值模式構建中的重要作用，使學生切身體會數學物理方法在大氣科學中的有趣、有學與有為。

一、教學內容的系統性

數學物理方法是一門廣泛應用的成熟課程，它不僅要培養學生的數學物理基礎知識應用的能力，還要培養學生的數學物理建模的邏輯思維。因此，在數學物理方法與大氣科學專業應用相結合的過程中，一定要保持課程教學內容的系統性和完整性(圖1)。

圖1 教學內容的系統性

(一)復變函數基礎知識

復變函數論是數學物理方程求解及解的性質研究的基礎。由于大氣科學專業本科生培養方案中沒有專門安排復變函數課程的學習，所以該部分教學內容的安排需要在引導學生復習回顧高等數學的一元與多元實變函數微積分理論基礎上，注重以解析函數為研究對象的復變函數微積分理論與實變函數微積分理論的對比講解，強化學生對復變函數微積分理論體系的理解。關于復變函數微積分理論的應用方面，首先介紹冪級數理論，特別是解析函數的泰勒級數與洛朗級數，其次介紹基于洛朗級數理論所建立的回路積分留數定理，使學生深刻體會復變函數微積分理論的應用之美。

(二)數學物理方程與分離變數法

數學物理方程的導出及其定解問題的分離變數法是本課程的核心內容之一。

首先，通過詳細介紹均勻的細弦(桿)和薄膜的微小橫(縱)振動現象、擴散現象與熱傳導現象所滿足的普遍物理規律的數學模型描述過程，得到三類經典數學物理方程，即波動方程、熱傳導方程與擴散方程以及恒定場問題的拉普拉斯方程與泊松方程。將定性的物理規律與定量的微分方程的各項相對應，在強調三類方程的物理意義基礎上，訓練學生利用數學物理基礎知識進行定量化數學建模的邏輯思維。

其次，對于實際的具體問題，除了要考慮問題的普遍物理規律之外，還要考慮問題的特殊性，即問題所滿足的邊界條件和初始條件。也就是說，滿足數學物理方程的解有無窮多個，而具體問題的解卻只有一個，這個唯一的解需要利用問題的特殊性所決定的邊界條件和初始條件，從方程的無窮多個解中去挑選出來。常把邊界條件和初始條件稱為定解條件，把數學物理方程加上定解條件所構成的整體稱為定解問題。通過這樣的系統化講解過程強化學生理解數學物理方程定解問題的意義。為了進一步強化學生對具體問題的定解條件的數學描述能力，需要通過舉例分析，將定解條件中的邊界條件劃分為第一類邊界條件、第二類邊界條件和第三類邊界條件，并著重強調三類邊界條件的意義。

最后，詳細介紹三類經典數學物理方程定解問題的分離變數法求解過程，并強調分離變數法的物理意義。為了方便學生的理解，我們重點介紹定義在一維區間和二維矩形區域上的定解問題的求解過程，并分為以下幾方面：(1)一維區間上的齊次方程、齊次邊界條件的分離變數法求解；(2)一維區間上的非齊次方程、齊次邊界條件的分離變數法與傅里葉級數法求解；(3)非齊次邊界條件的齊次化處理過程；(4)二維矩形區域上的泊松方程求解。該部分內容著重強調分離變數法所引出的本征值與本征函數的物理意義，強調分離變數法與傅里葉級數法的關系，為接下來重點介紹的球函數與球函數譜方法做好鋪墊。

(三)球函數譜方法

為了突出本課程的專業應用出口，關于大氣科學專業特別關注的三維球體形狀所對應的三類經典數學物理方程定解問題的分離變數法求解過程，需要單獨成為一章內容去詳細講解。在此基礎上，引出大氣科學數值模式構建所需要的球函數與球函數譜方法。球函數譜方法介紹是本課程的另一核心內容，主要包括以下三個方面。

第一，球函數方程及球函數本征值問題。我們在給出球形區域上三類經典數學物理方程定解問題的基礎上，通過將球面經緯度變量與時間變量及垂直高度變量相分離，給出球函數方程，再結合球面自然邊界條件，形成球函數本征值問題。通過與一維區間和二維矩形區域上的定解問題的分離變數法求解過程相類比，強化學生對于球函數本征值問題物理意義的理解。再簡單介紹物理學等其他學科常用的柱體區域上的三類經典數學物理方程定解問題及其分離變數法所引出的柱函數本征值問題，并對比分析柱函數本征值問題與球函數本征值問題及簡單一維區間和二維矩形區域上的本征值問題的區別與聯系。強化學生理解本征函數與具體問題的數學物理方程、研究區域形狀及邊界條件之間的關系，理解數學物理本征值問題的意義。

第二，球函數本征值問題的求解。通過分離變數法將球函數方程的經度變量與緯度變量分離，得到關于經度變量的二階常系數常微分方程及緯度變量的勒讓德方程和連帶勒讓德方程。再結合球函數本征值問題的邊界條件，形成關于經度變量的本征值問題，是常見的二階常系數常微分方程附加周期性邊界條件問題；關于緯度變量的本征值問題是勒讓德方程與連帶勒讓德方程分別附加球的南北極兩點有界的自然邊界條件。再利用無窮級數解法與變量代換法去求解這些本征值問題，依次得到本征值與勒讓德多項式、連帶勒讓德函數、球函數等本征函數系。

第三，球函數性質與球函數譜方法。為了方便學生整理思路并系統認識數學物理本征值問題的性質，我們先將前面介紹的三類經典數學物理方程在一維區間、二維矩形區域及三維球體上的全體本征值問題統一歸納到施圖姆-劉維爾本征值問題的框架下，再通過施圖姆-劉維爾本征值問題的性質介紹，加強學生理解球函數本征函數系的正交性與完備性，進而理解以本征函數系為基函數的廣義傅里葉級數的展開過程。最終引出球體區域上的球函數譜方法，給出球函數譜方法求解數學物理方程定解問題的具體步驟，并強調球函數譜方法在大氣科學數值模式構建中的重要作用。同時，將球函數譜方法拓展至物理學等其他學科常用的柱體區域問題，提出柱函數譜方法思想，加強學生對數學物理特殊函數意義的理解。

二、教學內容的專業應用

本課程教學的主要目的之一是為后續專業課程學習打下堅實的數學物理基礎，因此，在教學內容的系統性基礎上，要加強課程的專業應用介紹(圖2)。

圖2 教學內容的專業應用

(一)傅里葉級數與諧波分析

實際大氣具有顯著的波動性，大氣的波動性描述是大氣科學核心專業課程動力氣象學的重要內容，因此，為了和后續課程較好的銜接，我們重點突出傅里葉級數與諧波分析的物理意義介紹。

通過回顧彈簧振子的運動過程，給出簡諧振動的位移隨時間變化的表達式。再通過簡諧振動在空間的傳播過程描述，得出簡諧波的表達式。簡諧波是最簡單的波動，若干個簡諧波的疊加就能得到較復雜的波。把實際復雜的波表示成簡諧波疊加的過程稱為諧波分析，而諧波分析的數學表達式就是周期函數的傅里葉級數。通過強化傅里葉級數的物理意義介紹，使學生能有更好的興趣開展本課程的專業應用。

(二)譜方法在大氣科學中的應用

球函數譜方法是大氣科學核心專業課程數值天氣預報的重要理論基礎，也是本課程第三個核心內容。為了與后續課程較好地銜接，同時也為進一步強化學生理解譜方法在大氣科學數學物理方程求解及數值模式構建中的重要地位，我們在原有的課程內容基礎上，新增加了譜方法在大氣科學中的應用一章的內容。

首先，介紹正壓渦度方程的低階譜方法。通過介紹大氣運動基本方程組的簡化模型，即正壓大氣運動方程組與正壓渦度方程，給出f 平面與β 平面正壓渦度方程的定解問題。再通過介紹著名氣象學家洛倫茲(1996年)關于f 平面正壓渦度方程的低階譜方法求解過程，以及低階譜方法能保持原系統的一些守恒性不變的重要性質，使學生深刻體會譜方法求解數學物理方程定解問題的優越性。

其次，介紹正壓渦度方程的球函數譜方法。當描述地球外的大氣運動時，選取球坐標系是最合適的。因此，在求解球坐標系正壓渦度方程定解問題時，選用球函數譜方法是最自然的。我們在講解球函數譜方法的求解步驟時，特別強調正壓渦度方程的非線性項的表示過程，使學生認真體會球函數譜方法在求解非線性方程時的技巧。

最后，介紹淺水方程組的球函數譜方法。由于淺水方程組是實際大氣運動的最簡化模型，所以，詳細介紹淺水方程組定解問題的球函數譜方法有助于學生理解實際天氣預報與氣候預測數值模式的構建過程，為學習數值天氣預報課程及未來從事科學研究和業務應用奠定基礎。

總之，通過譜方法在大氣科學中的應用章節的介紹，學生深刻體會數學物理方法課程在后續課程學習中的重要性，提升進一步學習的興趣。

三、教學實踐調研

基于上述，教學團隊于2021 年12 月在蘭州大學本科三年級和四年級學生中開展了圍繞教學內容體系改革和建設成效的調研。選擇以上兩個年級的學生主要有以下四點考慮：(1)目前本專業在校且已修完該課程的學生中，僅有這兩個年級；(2)本課程授課過程中，三年級學生采用新的教學內容體系，而四年級學生采用的是參考教材中的內容體系，正好形成對照；(3)參考本專業學生的培養方案，三年級學生在本調研實施期間已基本修完了部分重要的專業課程，四年級正是畢業論文設計階段，兩個年級學生對于數學物理方法在已修專業課程中的應用均已有所領悟。

本次參與調研的人數占所在年級總人數(均為145人)的比例分別為67%(三年級)和81%(四年級)。兩個年級均有三分之二的學生參與了調研，共收回調查問卷214 份，調研結果具有較高的可信度。如表1 所示數據表明：兩個年級中均有63%以上的學生希望數學物理方法課程的知識體系中能夠融合更多的大氣科學其他專業課程知識點內容。特別的，關于傅里葉級數與積分變換、二維流體運動的渦旋環流與輻散環流分解、正壓渦度方程的球函數譜方法及淺水方程組的球函數譜方法等涉及重要專業應用的知識模塊，學生對于它們的物理意義的理解和數學物理思想的掌握均很迫切。除了情景3，在其他三種情景中，四年級學生意識到更需要上述知識點強化詮釋的比例略高于三年級學生，這可能與四年級學生已經完全修完三年級階段的所有重要專業課程有一定關聯。

表1 兩個年級學生關于數學物理方法教學內容體系中關聯并強化相關專業知識點的需求/%

此外，教學團隊提出的教學內容體系改革以及配套教學方式的改革已初現建設成效。由于新的教學內容體系中融合了一定程度專業課程中的重要知識點，使得原有數學物理方法課程難度有所增加，這一點在“本課程的難易程度”問題反饋中也得到了驗證，三年級學生認為該課程“難”的比例(58%)較四年級學生持相同觀點的比例(45%)高出近14%。盡管如此，但學生對于這種新教學內容體系的認可仍然有較為顯著的提升，主要體現在：(1)在“該課程與大氣科學其他專業課程的聯系緊密程度”問題反饋中，三年級學生持“較緊密”及以上觀點的比例(71%)較四年級學生的比例(63%)上升了近8%；(2)在“球函數譜方法的掌握程度”方面，三年級學生掌握“較好”及以上水平的比例(44%)較四年級學生的比例(40%)上升了近4%。由此說明，新的教學內容體系及其配套的教學方式的改革能夠更直接有效地保障學生后續專業基礎課程的學習。

四、結束語

本文主要探討了大氣科學專業需求背景下數學物理方法課程教學內容體系構建的問題。指出數學物理方法課程教學既要保持教學內容的系統性與完整性，又要注重專業應用。在教學內容的系統性方面，主要包括復變函數基礎理論、三類經典數學物理方程的導出及其定解問題的分離變數法與球函數譜方法介紹；在教學內容的專業應用方面，主要表現在強化分離變數法所導出的數學物理特殊函數的意義、傅里葉級數與諧波分析的物理意義及譜方法在大氣科學中的應用。新的教學內容體系的實踐，使學生不僅具備嚴謹的數學物理建模的邏輯思維能力，還具備本課程核心內容的專業應用能力，為后續專業課程學習及科學研究和業務應用奠定堅實基礎。