基于數(shù)學(xué)建模思想的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)探索

張紅梅，王文婷，史詩(shī)潔

（深圳技術(shù)大學(xué) 大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，廣東 深圳 518118）

引言

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論是現(xiàn)代科技發(fā)展的基石，在高等教育中占有非常重要的地位。在應(yīng)用型大學(xué)中，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門(mén)重要的數(shù)學(xué)應(yīng)用類(lèi)課程。應(yīng)用型大學(xué)的辦學(xué)宗旨是培養(yǎng)應(yīng)用型和創(chuàng)新型人才，在應(yīng)用型大學(xué)中開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)類(lèi)課程，可以使學(xué)生將課堂學(xué)習(xí)的理論知識(shí)用于實(shí)際應(yīng)用，即對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而解決問(wèn)題。這正是數(shù)學(xué)建模的研究?jī)?nèi)容。在高等數(shù)學(xué)中，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是應(yīng)用型極強(qiáng)的一門(mén)數(shù)學(xué)課程。但由于課程中涉及大量的“微積分”和“線性代數(shù)”等課程基礎(chǔ)知識(shí)，理論性較強(qiáng)，對(duì)于工科生來(lái)說(shuō)難度較大，一直以來(lái)被認(rèn)為是工科高等數(shù)學(xué)中最難的一門(mén)課程。因此，如何將課程內(nèi)容使學(xué)生容易接受并應(yīng)用于實(shí)際，是一個(gè)重要的問(wèn)題。筆者在從事“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)課程的教學(xué)方法進(jìn)行了長(zhǎng)期探索，取得了一定的效果。本文以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的部分理論知識(shí)為例，總結(jié)在課堂教學(xué)時(shí)，如何利用基礎(chǔ)理論知識(shí)表示和解釋身邊的實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)建模的思想融入課程。本文將從以下兩個(gè)方面展開(kāi)：教學(xué)內(nèi)容的趣味性和教學(xué)內(nèi)容的實(shí)用性。

一、教學(xué)內(nèi)容的趣味性

興趣是最好的老師。對(duì)于數(shù)學(xué)類(lèi)枯燥的課程，更需要激發(fā)學(xué)生的興趣，以提升教學(xué)效果。在高等教育中，相對(duì)于其他數(shù)學(xué)類(lèi)課程，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”應(yīng)用范圍更廣泛，因此，有更多與我們生活息息相關(guān)的例子可供課堂教學(xué)使用。

（一）舉例知識(shí)點(diǎn)：等可能概型

在學(xué)習(xí)等可能概型這部分內(nèi)容時(shí)，首先提出兩個(gè)學(xué)生感興趣的問(wèn)題：在茫茫人海中，想遇到與自己同月同日生的人，概率有多大？

趁學(xué)生對(duì)這兩個(gè)話題產(chǎn)生感興趣時(shí)，引入概率理論：等可能概型。給出等可能概型的計(jì)算公式：

為解決提出的問(wèn)題，需要首先引入下面這個(gè)簡(jiǎn)單的摸球例子。

例1 將n只球隨機(jī)地放入（≥）個(gè)盒子中，試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率。

解：記A為每個(gè)盒子至多有一只球的事件，則

對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行引申：個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率。可視為將個(gè)人（球）隨機(jī)放入365個(gè)日期（盒子）中。為了計(jì)算兩人生日相同的概率，可以通過(guò)計(jì)算其逆事件的概率簡(jiǎn)化問(wèn)題。首先計(jì)算n個(gè)人的生日各不相同的概率為

則個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為

通過(guò)計(jì)算可知，取=23時(shí)，概率為0.5；取=100，可求得概率約為1。這也說(shuō)明，“百里挑一”這句成語(yǔ)原來(lái)是有理論依據(jù)的呀！

（二）舉例知識(shí)點(diǎn)：條件概率

在條件概率部分，除了條件概率這個(gè)知識(shí)點(diǎn)本身，還涉及與條件概率導(dǎo)出的幾個(gè)相關(guān)公式：乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。這幾個(gè)公式雖然均可由條件概率公式經(jīng)相應(yīng)的變形導(dǎo)出，但其在外形上相差很大，且都比較復(fù)雜。所以這幾個(gè)公式如果直接向?qū)W生灌輸，很難被理解和接受。興趣是最好的老師，如果能通過(guò)學(xué)生感興趣的事物引入這部分的理論和應(yīng)用，定會(huì)使相應(yīng)的理論容易被接受，并加深印象。所以在學(xué)習(xí)這部分理論時(shí)，首先通過(guò)一個(gè)熟悉的綜藝節(jié)目引出問(wèn)題。

例2 三門(mén)問(wèn)題。在舞臺(tái)中間有三扇門(mén)，其中兩扇門(mén)后面寫(xiě)的是“羊”，一扇門(mén)后面寫(xiě)的是“車(chē)”。參與者有兩次選擇機(jī)會(huì)，最終選中的物品將歸其所有。當(dāng)參與者選中一扇門(mén)后，主持人打開(kāi)另外兩扇門(mén)中的一扇，結(jié)果是“羊”。問(wèn)：參與者是否會(huì)選擇換門(mén)？

解題思路 不妨設(shè)1 號(hào)門(mén)后面是“車(chē)”，2 號(hào)和3 號(hào)門(mén)后面是“羊”。那么只有以下三種情況：（1）參與者選擇了1號(hào)門(mén)，主持人打開(kāi)的是2號(hào)門(mén)；（2）參與者選擇了2號(hào)門(mén)，主持人打開(kāi)的是3號(hào)門(mén)；（3）參與者選擇了3號(hào)門(mén)，主持人打開(kāi)的是2號(hào)門(mén)。

可以發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)例子中，并未利用深?yuàn)W的概率知識(shí)，只需常識(shí)即可得出結(jié)論。但是接下來(lái)引入與此例原理類(lèi)似的問(wèn)題——三囚犯問(wèn)題，則需利用以上理論：條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。

憑直覺(jué)，大部分人會(huì)選擇答案a，但這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。為什么？等這部分理論學(xué)完，答案自然水落石出，這就吸引學(xué)生繼續(xù)聽(tīng)下去。這部分涉及以下知識(shí)點(diǎn)。

【定義1】設(shè)、是兩事件，若()＞0，則

稱(chēng)為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。

將以上公式變形，可得

()=()(|)

上述公式稱(chēng)為乘法公式。

【定義2】設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，為的事件，，，…，為的一個(gè)劃分，且(B)＞0(i=1，2，…，n)，則

稱(chēng)為全概率公式。

【定義3】設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，為的事件，，，...，為的一個(gè)劃分，且()＞0，(B)＞0，則

稱(chēng)為貝葉斯公式。

通過(guò)調(diào)用SQLite的C-API函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)與SQLite模型數(shù)據(jù)庫(kù)的連接，并且使用準(zhǔn)備查詢(xún)的方式，實(shí)現(xiàn)平臺(tái)對(duì)模型數(shù)據(jù)庫(kù)信息的讀取和調(diào)用，為實(shí)現(xiàn)虛擬環(huán)境下模型的自動(dòng)裝配和實(shí)時(shí)動(dòng)力學(xué)仿真奠定了基礎(chǔ)，為實(shí)時(shí)動(dòng)力學(xué)仿真提供了新思路。

依據(jù)以上理論，下面給出三囚犯問(wèn)題的分析。設(shè)、、分別代表三囚犯被赦免的事件，為看守對(duì)說(shuō)會(huì)被處死的事件。

已知()=()=()=1/3，求(|)：在看守說(shuō)會(huì)被處死的條件下，被赦免的概率。這是一個(gè)條件概率問(wèn)題，條件就是看守和說(shuō)了會(huì)被處死這件事。

首先，按條件概率公式，有

其次，按全概率公式，有

其中，(|)：在被赦免的條件下，看守說(shuō)被處死的概率。由于被赦免，看守可以說(shuō)，也可以說(shuō)被處死，因此概率為1/2；(|)：在被赦免的條件下，看守說(shuō)被處死的概率，這是矛盾事件，因此概率為0；(|)：在被赦免的條件下，看守說(shuō)B被處死的概率，由于被赦免，而且一定會(huì)處死，所以概率為1。

再代回條件概率公式（1），得

同理可得(|)=2/3。

也就是說(shuō)，在詢(xún)問(wèn)了看守后，被赦免的概率沒(méi)有提高，但是被赦免的概率卻提高了！為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？1/2為什么不對(duì)？吸引學(xué)生思考。然后再給出原因和推理。

二、教學(xué)內(nèi)容的實(shí)用性

（一）舉例知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)事件

在講隨機(jī)事件知識(shí)點(diǎn)時(shí)，受新冠肺炎疫情影響，采用網(wǎng)絡(luò)方式授課，所以以當(dāng)時(shí)熟知的事件為例，學(xué)生很自然就接受了。

（二）舉例知識(shí)點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望

在學(xué)習(xí)數(shù)字特征的數(shù)學(xué)期望知識(shí)點(diǎn)時(shí)，恰逢所在市區(qū)組織全員核檢，工作量巨大。為了提高效率，不再采取一人一試劑盒的單檢方式，而是十人一試劑盒的混檢方式。向?qū)W生提出問(wèn)題：采用混檢的方式有什么理論依據(jù)？引出下面的例題。

例4 對(duì)某群體（個(gè)人，很大）做疾病普查，可用兩種方式：（1）將個(gè)人的血分別檢測(cè)；（2）每個(gè)人一組混檢，若混合血樣呈陰性，不做處理；若呈陽(yáng)性，再對(duì)k個(gè)人的血樣分別檢測(cè)。假設(shè)每人的樣本呈陽(yáng)性的概率為。試證明當(dāng)較小時(shí)，選取適當(dāng)?shù)模吹诙N方法可以大大提高檢測(cè)的效率。

解題思路 本題目考查該群體檢測(cè)次數(shù)的期望值，即每人平均檢測(cè)次數(shù)之和的期望。由已知，各人檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率為=1-，則個(gè)人混合結(jié)果呈陰性的概率為q，呈陽(yáng)性的概率為1-q（結(jié)合十人一組的核酸混檢方式，這幾個(gè)概率很容易理解）。設(shè)人一組時(shí)，組內(nèi)每人檢測(cè)的次數(shù)為隨機(jī)變量，顯然其分布律為

得的數(shù)學(xué)期望，即每個(gè)人需要檢測(cè)的平均次數(shù)為

則個(gè)人需化驗(yàn)的平均次數(shù)為

在這個(gè)例子中有大量的公式，如果不結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生會(huì)很排斥。當(dāng)結(jié)合身邊的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解釋時(shí)，學(xué)生就很自然地接受和理解了。

（三）舉例知識(shí)點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是依據(jù)某種準(zhǔn)則，利用樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的假設(shè)是否正確，然后作出決策：接受還是拒絕。在假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程中，容易犯兩類(lèi)錯(cuò)誤：（1）棄真錯(cuò)誤；（2）取偽錯(cuò)誤。顯著性假設(shè)檢驗(yàn)就是為了控制第1類(lèi)錯(cuò)誤而進(jìn)行的假設(shè)和檢驗(yàn)。只對(duì)犯第1類(lèi)錯(cuò)誤的概率加以控制而不考慮犯第2類(lèi)錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn)，稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn)。

在講授這部分內(nèi)容時(shí)，為了使學(xué)生理解兩類(lèi)錯(cuò)誤和顯著性檢驗(yàn)，以常見(jiàn)的醫(yī)學(xué)檢測(cè)為例進(jìn)行說(shuō)明。在常規(guī)的體檢或疾病篩查時(shí)，往往需要對(duì)患者的生物樣本進(jìn)行檢測(cè)，在檢測(cè)過(guò)程中可能會(huì)產(chǎn)生兩類(lèi)錯(cuò)誤：（1）假陰性；（2）假陽(yáng)性。對(duì)于這兩類(lèi)錯(cuò)誤，控制假陰率的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于控制假陽(yáng)率，所以我們將重點(diǎn)放在控制第1類(lèi)錯(cuò)誤上，做顯著性假設(shè)檢驗(yàn)。

三、結(jié)論

本文以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的部分知識(shí)點(diǎn)為例，闡述了從學(xué)生的興趣點(diǎn)和實(shí)際應(yīng)用兩個(gè)角度切入課堂教學(xué)的實(shí)施路徑，將數(shù)學(xué)建模的思想融入課堂教學(xué)中。經(jīng)過(guò)兩個(gè)學(xué)期的實(shí)際教學(xué)試驗(yàn)，結(jié)果證明文中方法的效果比較顯著。