基于OBE理念的“數學分析”課程項目制教學模式研究

閆志忠

（北京理工大學 數學與統計學院，北京 100081）

一、“數學分析”課程教學現狀

成果導向教育理念（Outcomes-Based Education,OBE），簡稱OBE理念，強調以學生為中心，以學生發展為目的，重視學生的學習成果。基于OBE理念，不少學者和教師進行了OBE理念下“高等數學”的教學研究。例如，黃永輝等介紹了“數學分析”課程中的教學案例，挖掘了“數學分析”課程中蘊含的思政元素，探討了基于OBE理念下“數學分析”課程思政的教學研究。張愛清等深刻分析了“高等數學”的教學現狀，將OBE理念融入“高等數學”教學，從教師教學理念的更新、教學目標的制訂、教學方法的改革、考核方式的完善等方面探討了“高等數學”教學模式的改革。張杰等總結了“數學分析”課程的特點及在教學過程中存在的問題，然后將OBE教學理念應用于這門課程教學中，從課程大綱制定、啟發式教學模式、基于MATLAB科學計算軟件的數學實驗和課程評價標準與方式等四個方面，闡述了OBE理念在“數學分析”課程教學中的應用。駱樺等探討了“數學分析”教學與信科專業結合的教學模式。大類“數學分析”課程是理工科非數學本科專業學生學習的一門重要的必修基礎課。如果把數學比喻成一個王國的話，那么數學分析就是這個王國的基礎語言。隨著人工智能、信息科技、科學計算及金融數學的飛速發展，“數學分析”的思想和方法幾乎滲入現代科技的所有領域，越來越多的行業迫切需要高深的現代數學知識，而要運用數學創造高技術，就必須掌握好“數學分析”這一重要的數學王國語言。現代科學技術正由工程層面的創新轉化為基礎理論層面的研究，而基礎理論層面的研究需要抽象思維、邏輯推理、科學計算和空間想象等能力。與其他學科相比，“數學分析”集中體現了對這些能力的培養。當今誰能占領數學最高地，誰就能占領技術的最高地。數學在現代技術進步中，扮演著越來越重要的角色。“數學分析”課程所講授的數學基本概念、理論和方法不僅為學生進一步學習打下堅實基礎，而且有利于提升學生的科學素養，在培養學生樹立科學的世界觀、增強學生分析問題和解決問題的能力、培養學生的探索精神和創新意識等方面，具有不可替代的作用。

目前，在“數學分析”教學中，教學方面存在的問題是講解太細、太煩瑣、過于注重講授；學生方面的問題是被動接受知識、不愿意思考與交流，僅把“數學分析”課程學習當作一項任務來完成，缺少學習的主動性。由于“數學分析”課程主要講授傳統的經典數學理論，學生和教師已經習慣了傳統的教學模式，因此，其課程本身的重要性和特點決定了教學改革難度比較大。而且，傳統的“數學分析”教學比較注重培養和提高學生數學科學思維和科學素養，重點講解數學概念、數學模型和科學思路，很少將數學理論知識與專業知識相結合，導致學生在大一學習“數學分析”時，由于缺少對自己專業課程的足夠認識，并未理解該課程的應用價值，造成一些學生對“數學分析”課程重視程度不夠，學習積極性不高，學習動力不足，學習效果不理想。因此，改革傳統的“數學分析”教學內容和教學模式勢在必行。針對目前國內大類書院制培養下的“數學分析”教學面臨的突出問題，基于OBE理念，本文提出了以項目為載體、以數學為工具的“數學分析”項目制課程教學模式，將“數學分析”教學與專業課程進行有機結合，根據學生的專業要求更新教學內容，堅持分層次教學，通過制訂不同的教學大綱，開展專題研究，合理決定教學側重點等措施，使“數學分析”教學與專業培養目標緊密結合，為學生專業學習奠定堅實數學基礎，符合OBE教育理念和人才成長規律。

二、與專業結合的“數學分析”教學實踐

以數學知識教育為重點，以素質教育為核心，以能力培養為手段，充分發揮數學學科優勢，將“數學分析”基礎知識融入學生的專業知識中，建立適合專業特點的“數學分析”教學課程內容體系和案例，努力實現學生基礎知識、科學素養和創新能力的全面提升。

（一）把“數學分析”教學內容與專業知識相結合

我們在設計“數學分析”教學內容體系時，有目的將某一數學知識點進行外延，選擇專業相關例題，通過舉例將數學科學思維素養與專業知識有機融合，使學生理解“數學分析”課程在其專業課程中的實用價值，提升學生對“數學分析”課程的重視，培養學生的學習興趣和積極性。如針對信控專業和機電專業的學生，結合電容式加速度傳感器進行授課，對傳感器件的數學模型進行分析。為培養學生的工程意識，近年來，在教學中嘗試引入工程實例，結合數學在工程技術中的應用進行教學實踐。例如：通過熱力學中的波動方程進行“數學分析”課堂例題的真實化、專業化授課。

（二）以專業課程中的數學問題作為案例開展專題研究

在講授“數學分析”課程基礎知識之后，針對不同專業的學生有所側重地講述與專業相關的數學知識模塊和專業實踐案例。通過數學概念引入、數學思想建立、數學方法的解決手段，以及數學與專業相對應的專業案例，強調數學概念和專業知識的相通性，達到提高學生興趣、樹立學習數學的信心、鞏固數學知識的目的。

（三）針對不同專業的學生制訂不同的授課計劃

根據各專業特點調整教學方法，擴充和刪減教學內容，精選補充最基本、最必要、最實用的內容，制訂不同的授課計劃。“數學分析”課程通常分為近代模塊、極限和函數連續模塊、微分學模塊、積分學模塊、級數和微分方程模塊、數學實驗模塊等。

1.力學、機械專業：在講述數學知識時，重視數學思想的滲透。例如，向工程力學和固體力學專業學生講授材料的強度、剛度和撓度等概念，以及風阻尼器原理時，滲透數學分析微元法的思想。結合前沿研究課題，提煉并講授力學、機械專業中的數學問題。例如，聲子晶體在波調控領域展現了超出常規材料的力學性能，其最重要的特性就是波帶隙特性，在聲學二極管、聲學斗篷、熱力學斗篷等方面具有潛在的重要應用，在求帶隙時，從數學方面提煉由偏微分方程控制的波動方程在聲子晶體中的傳播問題，探討偏微分方程的特征值的求解問題。此外，噪聲、振動與聲振粗糙度控制技術（NVH技術）在現今的汽車制造技術中日趨重要，汽車的減振降噪是國內各大汽車制造廠商面臨的巨大技術難題，因此，我們可以從減振降噪材料的應用方面探討如何更好地實現汽車的減振降噪。汽車的減振降噪材料是聲子晶體，其帶隙特性能夠在汽車減振降噪中發揮屏蔽特定頻率聲波的重要作用。聲波帶隙是指在一定頻率范圍內完全禁止聲波在材料中的傳播，這個頻率范圍就稱為帶隙。從數學中提煉的問題就是對聲波方程，也就是偏微分方程進行計算，從而得到特征方程，由此得到頻散圖，進而對聲波帶隙進行研究。

2.信息科學、計算機專業：結合計算機相關課程，使學生逐漸掌握一些常用的數學軟件，如Matlab和Mathematica，學會使用這些軟件求解函數表達式的極限、微分與積分、代數方程的根等，從而使學生在大學低年級就具有較熟練使用計算機的能力，增強學生對課堂所學知識的理解，提高學習數學的興趣，并為信息科學、計算機專業后續課程“科學計算與信息處理”兩大方向的學習奠定良好的基礎。針對計算機專業學生，可以向其介紹蒙特卡羅方法，該方法應用于求解微分方程，與電子計算機的發展有著很大的關系。在電子計算機出現以前，如果進行蒙特卡羅模擬需要重復進行很多次試驗，并記錄結果，十分浪費資源且效率低下，但是在計算機出現之后，這些試驗都可以通過生成隨機數在電子計算機上進行模擬，大大增加了蒙特卡羅方法的效率。

早在20世紀40年代，就有學者注意到了可以使用蒙特卡羅方法求解一些復雜的微分方程，尤其是求解關于描述核粒子在介質中傳輸的玻爾茲曼方程、Fokker-Planck方程及薛定諤方程，并且討論了蒙特卡羅方法求解這些問題的可行性。在20世紀50年代，有學者應用蒙特卡羅方法求解二維的位勢方程的初值問題，并與精確解做比較。隨著計算機科學的發展，使用電子計算機進行蒙特卡羅模擬越來越方便，運用蒙特卡羅方法求解問題不再像以前那樣缺乏效率，因此，運用蒙特卡羅方法求解微分方程越來越受到關注。在20世紀60年代，有學者使用蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法在計算機上實現了求解拋物型偏微分方程的應用，在一些文獻中，我們可以看到，在蒙特卡羅模擬的次數N=1000時，用蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法得到的擴散方程的數值解和精確解的誤差是很小的，而且文章中也說明了這種蒙特卡羅模擬在當時的簡單計算機上十分容易實現。隨著計算機科學的進一步發展，蒙特卡羅方法在求解微分方程方面得到了更加廣泛的應用，一些學者依靠蒙特卡羅方法求解決熱傳導問題，詳細地討論了在雙介質條件下的格林函數，并且討論了在正弦熱源、均勻熱源及給定表面溫度時的熱傳導方程的求解并推廣到了三介質情形，給出了相應情形下的算例，可以看到蒙特卡羅方法適用于各種情形，而且蒙特卡羅方法計算的結果誤差都是可接受的，文章詳細討論了誤差的原因，同時展示了在電子計算機上是如何實現用蒙特卡羅方法求解熱傳導方程的。一些學者利用專用數字計算機進行蒙特卡羅模擬求解Poisson方程，并且通過算例表明，在專用計算機上使用蒙特卡羅模擬求解Poisson方程時，得到的結果會比一般的電子計算機求解相同問題時速度更快，并且解的精度會比一般的電子計算機上的解精度提高兩個小數點。通過引入蒙特卡羅方法與計算機發展的密切關系，使計算機專業的學生體會到數學方法與計算機的依賴關系，從而對計算機硬件方面的專業學習更有針對性和興趣性。

（四）合理規劃教學側重點

以往“數學分析”課程教學由于兼顧各專業學習的局限性，就一些專業學生而言部分知識學非所用，并且存在理論脫離實際，重理論學習、輕能力培養等現象。這就需要在教學內容的改革中注重專業知識及教學內容的選擇，在保持“數學分析”課程內容體系基本完整的前提下，在充分了解課程內容與學生所學專業課程的聯系情況的基礎上，針對不同專業的理工科學生，有所側重地安排“數學分析”教學內容，構建合理科學的“數學分析”與專業課程相結合的特色知識模塊。

三、實踐效果

教師結合各專業特點給出一些有意義和有價值的論文題目，這些題目是從專業中提取出來的研究課題，學生通過圖書館查閱文獻資料，分析、歸納、總結后寫成論文作為平時成績依據。通過結合專業情況進行“數學分析”實踐教學，取得了一定效果：（1）通過修訂教學大綱、制訂不同專業教學計劃、改革教學內容和教學方法等措施，滿足了不同層次、不同專業學生的需要。（2）“數學分析”課程教師與專業學院教師合作優選出完整的專業實際問題，編制了包括數學問題提出、數學問題解決、對數學知識掌握和專業學習問題極大幫助的案例庫，對學生學好專業知識具有事半功倍的作用。（3）“數學分析”課程面向專業、突出應用的教學模式，為兄弟院校和物理等其他課程教學提供了借鑒。經過一年的教學實踐，筆者對結合專業知識的“數學分析”教學效果進行了調查分析，調查對象是北京理工大學數學與統計學院、徐特立學院和求是書院大約1000名學生。調查結果顯示，絕大部分學生認為在“數學分析”課程中有機融合專業知識和案例，能夠調動上課積極性，提高學習效率，具體分析結果如圖1所示。

圖1 結合專業知識的“數學分析”教學效果調查結果

通過與專業有機融合的“數學分析”教學實踐，面向專業，以專業為導向，突出應用，倡導“從專業中來，到專業中去”的教學理念，極大方便了后繼專業課程的教學，促進了學生綜合素質的提高。