高中圓錐曲線的概念教學(xué)重構(gòu)

王海青，曹廣福

高中圓錐曲線的概念教學(xué)重構(gòu)

王海青1，曹廣福2

（1．惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

圓錐曲線作為高中解析幾何的核心內(nèi)容，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用．對(duì)于圓錐曲線不同概念的理解、統(tǒng)一性與離心率一致性的認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的掌握等教學(xué)困難，需要教師對(duì)其歷史脈絡(luò)、知識(shí)形成過(guò)程有整體的把握和本質(zhì)的認(rèn)知．可以基于對(duì)圓錐曲線的歷史發(fā)展、教學(xué)目標(biāo)與教材編寫的分析，并結(jié)合學(xué)生實(shí)際重構(gòu)圓錐曲線的概念教學(xué)．

圓錐曲線；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)史；教學(xué)重構(gòu)

1 研究背景

解析幾何的產(chǎn)生是近代數(shù)學(xué)最偉大的發(fā)明創(chuàng)造之一，它通過(guò)坐標(biāo)系將代數(shù)方程與幾何曲線曲面等聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與形”的靈活轉(zhuǎn)換．解析幾何用代數(shù)方法研究幾何，改變了歐幾里得幾何繁雜的論證方法，使幾何研究變得容易，同時(shí)也能由已知的代數(shù)結(jié)果發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)．因此，圓錐曲線作為高中解析幾何的核心內(nèi)容，它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要性毋庸置疑．此外，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在現(xiàn)代建筑、鏡面工藝設(shè)計(jì)、定位系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面都有廣泛的應(yīng)用，這也是數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者熱衷于研究和探討圓錐曲線的重要原因．

關(guān)于圓錐曲線的教學(xué)，有許多研究得到類似結(jié)論：教師與學(xué)生大都認(rèn)為其“理解難、計(jì)算繁”，主要體現(xiàn)在對(duì)概念的理解、統(tǒng)一性的認(rèn)知、數(shù)學(xué)思想方法的掌握以及相對(duì)繁雜的運(yùn)算上[1-4]．這些問(wèn)題需要教師對(duì)圓錐曲線的歷史發(fā)展、知識(shí)與思想的形成過(guò)程有整體把握和本質(zhì)認(rèn)識(shí)．但研究中發(fā)現(xiàn)教師對(duì)圓錐曲線內(nèi)容的教學(xué)基本以“呈現(xiàn)知識(shí)→講解例題→課堂練習(xí)”為主，強(qiáng)調(diào)多講題多練題，注重解題技巧的傳授[4]．過(guò)于重視解題教學(xué)忽視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)特別是核心概念本質(zhì)的真正理解，反而會(huì)使學(xué)生難以綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題導(dǎo)致解題能力下降．

因此，根據(jù)當(dāng)前數(shù)學(xué)教師面臨的教學(xué)困境和學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，研究者亟需深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部研究圓錐曲線知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)與相互關(guān)系、揭示本質(zhì)與蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．下面基于對(duì)高中圓錐曲線內(nèi)容的教材分析與其歷史發(fā)展的啟示，并結(jié)合學(xué)生實(shí)際重構(gòu)教材內(nèi)容形成相應(yīng)的教學(xué)設(shè)想．

2 圓錐曲線的內(nèi)容要求與教材分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[5]將圓錐曲線的內(nèi)容要求確定為：（1）了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受其在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握其定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)；（3）了解雙曲線和拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)；（4）了解橢圓、拋物線的簡(jiǎn)單運(yùn)用，通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．整體上看，課程標(biāo)準(zhǔn)降低了這一單元的教學(xué)要求．

下面以《高中數(shù)學(xué)人教版選修2-1》[6]為例簡(jiǎn)要說(shuō)明教材內(nèi)容的編排情況．圓錐曲線的內(nèi)容放在“圓錐曲線與方程”單元中，知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1，基本上涉及到圓錐曲線歷史發(fā)展中的幾個(gè)重要部分．分別介紹了光學(xué)性質(zhì)、原始定義、第一定義、第二定義以及在直角坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程和統(tǒng)一方程，其中第一定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及應(yīng)用是主要內(nèi)容．原始定義出現(xiàn)在前言部分；橢圓和雙曲線的第一定義通過(guò)“拉線作圖”引出；拋物線的定義利用其切線的性質(zhì)借助幾何畫(huà)板引出；利用Dandelin球說(shuō)明橢圓的第一定義與原始定義的等價(jià)性放在“探究與發(fā)現(xiàn)”部分；第二定義和光學(xué)性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容貫穿整個(gè)單元，并在“閱讀與思考”欄目進(jìn)行了較為詳細(xì)的敘述．為拓寬學(xué)有余力學(xué)生的視野并增強(qiáng)其思維能力，選修4-1的《幾何證明選講》[7]還詳細(xì)介紹了用Dandelin雙球模型推導(dǎo)出橢圓、雙曲線與拋物線定義的情形，體現(xiàn)了3種曲線的密切聯(lián)系．

圖1 “圓錐曲線與方程”單元知識(shí)結(jié)構(gòu)

教材的編排體現(xiàn)了類比、數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想，極力突出原始定義、第一定義和統(tǒng)一定義3者之間的聯(lián)系，既強(qiáng)調(diào)各類圓錐曲線的特性也關(guān)注其統(tǒng)一性．教材編寫圍繞3條主線展開(kāi)，即3種曲線內(nèi)部的密切聯(lián)系、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與Dandelin雙球模型．如何將圓錐曲線中不同曲線的定義、同一曲線的不同定義有機(jī)聯(lián)系起來(lái)形成一個(gè)緊密的知識(shí)結(jié)構(gòu)？圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與Dandelin雙球模型是很好的媒介．雖然按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的要求，新的教材將刪去Dandelin雙球模型的內(nèi)容．但教材由于編寫需要和篇幅所限，不可能面面俱到地詳盡展開(kāi)．教師需基于教材結(jié)合學(xué)生的實(shí)際及自身對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解組織教學(xué)，特別是考慮到學(xué)有余力學(xué)生的需要，對(duì)以下4個(gè)關(guān)鍵教學(xué)問(wèn)題的處理還有值得思考和商榷的地方．

2.1 難于實(shí)現(xiàn)從原始定義到第一定義的自然過(guò)渡

圓錐曲線可看作是球在光照射下的不同投影，也可看作是平面截圓錐所成的交線，兩種方式都是在空間中對(duì)圓錐曲線的直觀定性描述．但教材在介紹圓錐曲線的原始定義后，直接過(guò)渡到平面用“拉線作圖法”引出橢圓第一定義推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程與討論相應(yīng)的性質(zhì)特征．從空間到平面的直接跨越不免有些突兀，學(xué)生難以理解為什么可以這樣定義．圓錐的截線與平面上定義的曲線是同一個(gè)軌跡嗎？雖然教材在之后的“探究與發(fā)現(xiàn)”中進(jìn)行了說(shuō)明，教師若直接按順序教學(xué)，則將難以消除學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時(shí)造成理解上的極大困擾．

有研究[8-10]證實(shí)了這些疑慮，并對(duì)橢圓概念的教學(xué)提出了改正意見(jiàn)，根據(jù)太陽(yáng)光的投影逐步構(gòu)建出圓柱面的Dandelin雙球模型，推導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，并引出橢圓的第一定義，將之與原始定義聯(lián)系在一起．圓柱面的Dandelin雙球模型可以降低學(xué)生處理模型的難度，但修正后的模型無(wú)法導(dǎo)出雙曲線和拋物線的情形．教學(xué)上雖然不用Dandelin球模型引出雙曲線和拋物線的定義，但圓柱面的Dandelin雙球模型不足以說(shuō)服學(xué)生消除“如何類似地可以得到雙曲線和拋物線的定義”的疑問(wèn)．

2.2 難于揭示3者之間的內(nèi)在統(tǒng)一性

教材通過(guò)“拉線作圖”討論“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為一定值”的點(diǎn)的軌跡引出橢圓第一定義．雙曲線第一定義則類比橢圓考慮“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為一定值”的點(diǎn)的軌跡得到，這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)思維過(guò)于發(fā)散．因?yàn)橥瑯涌梢灶惐人伎肌暗絻蓚€(gè)定點(diǎn)的距離之積（或商）為定值”的點(diǎn)的軌跡．積為定值時(shí)軌跡是卡西尼雙紐線，商為定值時(shí)軌跡是圓，前者超出了高中生的學(xué)習(xí)范圍，后者已經(jīng)研究過(guò)．所以這樣的類比適合放在整個(gè)單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束后，在復(fù)習(xí)課中讓學(xué)生利用類比的思想提出相應(yīng)的問(wèn)題并作簡(jiǎn)單討論．

拋物線的定義則完全是“另起爐灶”，表面上看起來(lái)與橢圓、雙曲線的第一定義沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)．學(xué)生也會(huì)有疑惑，為什么會(huì)想到運(yùn)用“拉線作圖”借助“幾何畫(huà)板”研究“到一定點(diǎn)與一定直線之間的距離之比為1”的點(diǎn)的軌跡？那比值為其它正數(shù)的情形呢？當(dāng)然教材后面介紹的統(tǒng)一定義能解釋這些疑問(wèn)，但不能解決學(xué)生在學(xué)習(xí)新知——拋物線定義時(shí)所產(chǎn)生的困惑．教師若完全照搬教材，從“橢圓→雙曲線→拋物線”定義的提出將很難揭示出相互間的本質(zhì)聯(lián)系．

2.3 忽視對(duì)“離心率”概念一致性的解釋

2.4 忽視運(yùn)用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)組織教學(xué)

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)即切線性質(zhì)貫穿教材編寫始終．利用這一性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用容易引出“焦點(diǎn)”的概念以及幫助學(xué)生對(duì)3種曲線的直觀認(rèn)識(shí)．雖然教材只是將圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)作為事實(shí)性結(jié)論進(jìn)行介紹，教學(xué)上也不要求學(xué)生掌握其證明．在整個(gè)單元的教學(xué)組織中，是否可以通過(guò)教材中已有的例習(xí)題揭示圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，并將3種曲線有機(jī)聯(lián)系起來(lái)體現(xiàn)它們的內(nèi)在統(tǒng)一性？是否有必要讓學(xué)有余力的學(xué)生通過(guò)探究課“知其然亦知其所以然”？

3 圓錐曲線的歷史發(fā)展與啟示

數(shù)學(xué)史記載著數(shù)學(xué)知識(shí)與思想的形成過(guò)程，它有助于教師理解數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、思想方法和特定的主題，預(yù)測(cè)和評(píng)判學(xué)生的認(rèn)知困難．因?yàn)閭€(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序，即通常所說(shuō)的“歷史相似性”[11]．正如弗賴登塔爾認(rèn)為“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式改變了”[12]．因此，教師需借助歷史整體把握教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際以實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)．

3.1 圓錐曲線與古希臘數(shù)學(xué)

圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)可能是古人在制作日晷的過(guò)程中偶然弄出來(lái)的[13]．圓形日晷的面板在地面上會(huì)形成圓錐曲線所圍成的陰影，這可能引起了當(dāng)時(shí)制作日晷的工作者的注意．阿波羅尼斯（Apollonius）則是第一個(gè)依據(jù)同一個(gè)圓錐的截面來(lái)研究圓錐曲線理論，也是首先發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人．其所著的《圓錐曲線論》[14]含有許多獨(dú)到和新穎的創(chuàng)造性材料，幾乎網(wǎng)羅了圓錐曲線的性質(zhì)，成為數(shù)學(xué)史上的一座豐碑．

圖2 圓錐曲線的部分性質(zhì)

3.2 圓錐曲線與解析幾何

《圓錐曲線論》問(wèn)世后近兩千年的時(shí)間里圓錐曲線的研究一直沒(méi)有什么新進(jìn)展．直到16世紀(jì)后，人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，也是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式．如，行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行，物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線．1579年意大利數(shù)學(xué)家蒙特（Monte）在其著作《平面球體圖》中將橢圓定義為：到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并利用定義討論了他制造的橢圓規(guī)[16]，如圖3．

圖3 橢圓規(guī)

3.3 圓錐曲線與射影幾何

射影幾何研究幾何圖形在投影變換下保持不變的性質(zhì)，它與解析幾何幾乎在同一時(shí)期產(chǎn)生．創(chuàng)立者德薩格（Desargues）首先將射影幾何思想用于研究圓錐曲線，考察它的射影性質(zhì)，使圓錐曲線理論獲得了新發(fā)展[16]．他在其著作《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》中將圓錐曲線直觀定義為：圓在平面上的投影，由此將圓的性質(zhì)推到任一類圓錐曲線上．德薩格通過(guò)投影和截景提供了統(tǒng)一處理圓錐曲線的簡(jiǎn)便方法．

用綜合法證明圓的截景是圓錐曲線的一個(gè)直觀簡(jiǎn)潔的初等方法是由比利時(shí)數(shù)學(xué)家G. F. Dandelin給出的[18]．以橢圓為例，如圖4，在截面的上、下方各作一個(gè)與圓錐內(nèi)切的球，同時(shí)和截面相切于12．在截面的交線上任取一點(diǎn)，連接交兩球的切圓于點(diǎn)，．由球的切線性質(zhì)得到：1=，2=，則1+2=+=而為定值，1，2為定點(diǎn)，得證．利用同一個(gè)模型可以證明原始定義與焦點(diǎn)—準(zhǔn)線定義的等價(jià)性．

圖4 圓錐曲線的截面截景

3.4 歷史的啟示

圓錐曲線的歷史揭示了知識(shí)產(chǎn)生的背景與價(jià)值、思想方法的形成過(guò)程，這正是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的起點(diǎn)，從中可創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境展開(kāi)教學(xué)．圓錐曲線的定義和研究方法的改變反映了幾何學(xué)的發(fā)展變化過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展提供了更為簡(jiǎn)潔的研究方法，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱搜芯康男枰罁?jù)圓錐曲線的性質(zhì)給出不同定義．而圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)、力學(xué)性質(zhì)及其與物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系是刺激人們不斷研究的最基本動(dòng)因．這也恰恰表明生產(chǎn)生活的外部需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的促進(jìn)作用．此外，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題在初等數(shù)學(xué)的體系下很難揭示本質(zhì)，而只有在非初等的理論框架內(nèi)才能被深刻地理解．在歐氏幾何和解析幾何范疇下難以看透的本質(zhì)在射影幾何的框架下看則是很顯然的事實(shí)．如3種圓錐曲線的各自定義、統(tǒng)一定義及其性質(zhì)的密切聯(lián)系；圓錐曲線不同方程之間的關(guān)系以及蘊(yùn)含其中的不變量思想．

雖然中學(xué)的數(shù)學(xué)教材將圓錐曲線置于解析幾何的框架下進(jìn)行討論，但數(shù)學(xué)教師應(yīng)從更高的視角審視圓錐曲線內(nèi)容，把握本質(zhì)以有效組織教學(xué)．從歐氏幾何到解析幾何再到射影幾何，圓錐曲線的定義經(jīng)歷了原始定義、平面上動(dòng)點(diǎn)的軌跡定義、射影定義、標(biāo)準(zhǔn)方程定義、焦點(diǎn)—準(zhǔn)線定義、代數(shù)方程的統(tǒng)一定義的變化過(guò)程．表述方式也經(jīng)歷了由幾何靜態(tài)的直觀描述→幾何動(dòng)態(tài)的度量性質(zhì)描述→射影性質(zhì)的描述→代數(shù)方程的形式描述的變化過(guò)程．而研究方法從歐氏幾何的純幾何綜合法→射影幾何的方法→以坐標(biāo)為媒介的解析法，經(jīng)歷了由繁到簡(jiǎn)，形成了定性研究→定量研究→形式研究的變化．

依據(jù)歷史，畫(huà)出圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)圖（圖5）．它反映了圓錐曲線與物理學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)科分支之間的聯(lián)系，研究方法和定義的變化．圖6[19]反映了在歐氏幾何和解析幾何的框架下圓錐曲線定義的變化及相互關(guān)系．

圖5 圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)

圖6 圓錐曲線定義的變化及相互關(guān)系

4 圓錐曲線概念教學(xué)重構(gòu)的基本框架

對(duì)于數(shù)學(xué)中基本的、核心的概念，教學(xué)進(jìn)程不妨慢下來(lái)，讓學(xué)生在教師的引領(lǐng)下體驗(yàn)概念的獲得過(guò)程，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系以及相應(yīng)的思想方法．在“圓錐曲線與方程”單元中，相比其它概念，橢圓概念又顯得尤為重要．基于對(duì)圓錐曲線歷史和教材內(nèi)容的理解，以及對(duì)課程內(nèi)容要求與學(xué)生實(shí)際的整體把握，重新組織教材內(nèi)容以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)”[20–21]，以期促進(jìn)學(xué)生對(duì)圓錐曲線相關(guān)概念的深入認(rèn)識(shí)和理解．依據(jù)圓錐曲線知識(shí)的發(fā)展順序和教材內(nèi)容的組織順序，重構(gòu)圓錐曲線概念教學(xué)基本框架如圖7．

圖7 重構(gòu)圓錐曲線概念教學(xué)基本框架

引出橢圓、雙曲線與拋物線的第一定義和統(tǒng)一定義后，可將教材中原本利用“拉線作圖法”引出第一定義的這些素材作為現(xiàn)實(shí)應(yīng)用讓學(xué)生了解或掌握．通過(guò)概念教學(xué)重構(gòu)，使得空間中的原始定義自然地過(guò)渡到平面中的第一定義；使得橢圓、雙曲線與拋物線概念的教學(xué)環(huán)環(huán)相扣、前后呼應(yīng)，既突出了3者之間的特性也反映了彼此之間的統(tǒng)一性與密切聯(lián)系；充分發(fā)揮圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的教學(xué)價(jià)值，并使之貫穿教學(xué)的始終．通過(guò)教師的教和學(xué)生的學(xué)，最終幫助學(xué)生形成圓錐曲線知識(shí)的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

5 4個(gè)關(guān)鍵教學(xué)問(wèn)題的解決方案

教師在教學(xué)中既要面向全體又要考慮不同學(xué)生的需求，應(yīng)對(duì)單元內(nèi)具體課時(shí)的教學(xué)作整體考量，注重前后銜接以及知識(shí)深廣度的彈性處理．通過(guò)教學(xué)重構(gòu)，可以解決前面提及的4個(gè)關(guān)鍵教學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生特別是學(xué)有余力的學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)最終形成對(duì)圓錐曲線內(nèi)容的整體認(rèn)識(shí)，充分體會(huì)到知識(shí)間的相互聯(lián)系性以及蘊(yùn)含在知識(shí)之上的數(shù)學(xué)思想與方法．

5.1 重構(gòu)Dandelin雙球模型 實(shí)現(xiàn)原始定義向第一定義過(guò)渡

教學(xué)不能脫離知識(shí)產(chǎn)生的源頭，否則就成了“無(wú)源之水、無(wú)本之木”．用平面截圓錐所成的截線或球在光源下的投影是圓錐曲線的初始定義，教學(xué)的起點(diǎn)應(yīng)該從這里開(kāi)始．橢圓概念是實(shí)現(xiàn)圓錐曲線的定義從空間的圓錐面向平面自然過(guò)渡的重要支點(diǎn)，而Dandelin雙球模型是很好的媒介．但如果直接呈現(xiàn)Dandelin雙球模型推導(dǎo)橢圓的焦半徑性質(zhì)從而引出第一定義，學(xué)生的最大困惑在于：這么巧妙的模型是怎么想到的？教學(xué)上的困難是：如何降低對(duì)立體模型的理解和證明難度？

結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，可以先介紹日常聲學(xué)和光學(xué)現(xiàn)象，由此激發(fā)學(xué)生的興趣并引出一個(gè)重要概念——橢圓的焦點(diǎn)．進(jìn)而提出問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)與這兩個(gè)焦點(diǎn)有什么聯(lián)系？帶著問(wèn)題通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生感受球在燈光下的投影，并由此逐步抽象出Dandelin雙球模型．以學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景構(gòu)建出Dandelin雙球模型，從生活世界向數(shù)學(xué)世界過(guò)渡，實(shí)現(xiàn)“橫向數(shù)學(xué)化”．然后在剖析Dandelin雙球模型的過(guò)程中獲得橢圓的焦半徑性質(zhì)進(jìn)而引出第一定義，實(shí)現(xiàn)“縱向數(shù)學(xué)化”．為降低學(xué)生對(duì)Dandelin雙球模型的理解難度，可先引導(dǎo)學(xué)生類比圓得到球的切線性質(zhì)．橢圓概念的獲得過(guò)程充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的直觀想象，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

下面是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)橢圓概念的教學(xué)指導(dǎo)片段．

（1）情境引入，提出問(wèn)題．

大家在學(xué)習(xí)物理的光學(xué)性質(zhì)時(shí)了解過(guò)放映機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及成像原理，其內(nèi)部燈泡通過(guò)一個(gè)曲面鏡將光反射聚焦到另外一點(diǎn)；同學(xué)們可能也有過(guò)這樣的日常經(jīng)歷，在某些建筑內(nèi)部的某個(gè)位置能聽(tīng)到遠(yuǎn)處人的竊竊私語(yǔ)，對(duì)著山谷大喊緊接著也能聽(tīng)到從遠(yuǎn)處傳來(lái)同樣的回聲．這些現(xiàn)象都跟橢圓的特性有關(guān)．當(dāng)山谷或洞穴是橢圓形構(gòu)造時(shí)，在某個(gè)特定的位置上發(fā)出聲音能通過(guò)橢圓面折射聚焦到另一點(diǎn)；同樣另一點(diǎn)也能以同樣的方式將聲音傳回之前的發(fā)音點(diǎn)．將現(xiàn)實(shí)情境抽象轉(zhuǎn)化為幾何圖形如圖8．問(wèn)題：橢圓曲線與這兩個(gè)特殊點(diǎn)到底存在什么樣的關(guān)系？（注：教學(xué)將圍繞著這個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)．為了解決這個(gè)問(wèn)題，教師需設(shè)置一系列的啟發(fā)性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建Dandelin雙球模型，探究發(fā)現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與兩特殊點(diǎn)的關(guān)系，然后引出橢圓的第一定義并深化對(duì)概念的理解．）

圖8 在橢圓形山谷特定位置發(fā)聲

（2）構(gòu)建Dandelin雙球模型，探究發(fā)現(xiàn)性質(zhì)．

啟發(fā)性問(wèn)題1：用手電筒或者電燈從不同的角度照射桌面上的球形物體，形成的投影形狀是什么？能從情境中抽象出幾何圖形嗎？

通過(guò)實(shí)物操作實(shí)驗(yàn)得到球在桌面上的投影是圓錐曲線．其中一種投影為橢圓，球與桌面相切于一點(diǎn)．由光源電燈發(fā)出的光束與球相切成圓錐狀，并使球內(nèi)切于圓錐．將實(shí)際情形抽象轉(zhuǎn)化為幾何圖形，點(diǎn)1為球與桌面即橢圓的切點(diǎn)．球內(nèi)切于圓錐，球與圓錐相切的所有點(diǎn)構(gòu)成切圓．因?yàn)楣饩€是可逆的，從點(diǎn)光源發(fā)出的光束也可以看作是一束光聚焦到點(diǎn)光源上．所以橢圓的投影也可以看作是由桌面下方與桌面相切于點(diǎn)2的另一個(gè)球的投影，從而構(gòu)造出Dandelin雙球模型，如圖9．軌跡橢圓上的任一點(diǎn)與切點(diǎn)1、2存在怎樣的關(guān)系呢？顯然1、2分別是圓錐的兩內(nèi)切球?qū)?yīng)的切線段，類比圓的切線性質(zhì)可以提出以下啟發(fā)性問(wèn)題．

啟發(fā)性問(wèn)題2：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等．那么，從球外一點(diǎn)引球的切線，這些切線又有哪些性質(zhì)？

引導(dǎo)學(xué)生類比得到球外一點(diǎn)作球的切線，切線長(zhǎng)相等．再回到前面的Dandelin雙球模型以及所要探討的“橢圓上的點(diǎn)與兩切點(diǎn)的關(guān)系”問(wèn)題．如圖9，在橢圓上任取一點(diǎn)，連接交兩切圓于點(diǎn)1、2，連接1、2．由球的切線性質(zhì)易得：1=1，所以1+2=1+2=12，12為一定值．由此得到橢圓的一個(gè)性質(zhì)：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值．

圖9 Dandelin雙球模型

（3）形成定義，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)．

原始定義是在三維空間中對(duì)圓錐曲線定性的直觀描述，很難用它來(lái)研究相應(yīng)曲線的性質(zhì)．為了研究的方便，可利用上面這個(gè)具有量化關(guān)系的性質(zhì)定義橢圓，并在平面中研究橢圓的其它性質(zhì)．

啟發(fā)性問(wèn)題3：那么，滿足“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為一定值的所有點(diǎn)的軌跡”一定是橢圓嗎？

如圖10，橢圓上的點(diǎn)與兩定點(diǎn)1、2構(gòu)成一個(gè)三角形，由三角形的三邊關(guān)系顯然有：|1|+|2|>|12|．若|1|+|2|=|12|，點(diǎn)的軌跡是線段12；若|1|+|2|<|12|，點(diǎn)的軌跡不存在．

圖10 橢圓的第一定義

由此得到橢圓的嚴(yán)格定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)1、2的距離的和等于常數(shù)（大于|12|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．

5.2 通過(guò)“折紙實(shí)驗(yàn)”揭示橢圓與雙曲線的密切聯(lián)系

如何反映橢圓與雙曲線概念的密切聯(lián)系？教材在例題和習(xí)題中隱藏著許多重要線索，從中可以實(shí)現(xiàn)重組“再創(chuàng)造”．考慮到教學(xué)的連貫性，也為了在新課結(jié)束后為學(xué)有余力的學(xué)生開(kāi)設(shè)關(guān)于圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的探究課題，這里在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的情況下選擇教材中“折紙成橢圓”與“折紙成雙曲線”的習(xí)題為教學(xué)材料，通過(guò)折紙成橢圓類比提出問(wèn)題進(jìn)行探究，自然引出雙曲線的定義．

在“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”教學(xué)中，借助“幾何畫(huà)板”軟件解決“折紙成橢圓”的習(xí)題，讓學(xué)生對(duì)此有更深刻的認(rèn)識(shí)，為后面的教學(xué)鋪墊．為引出雙曲線概念，通過(guò)“折紙成橢圓”類比提出新問(wèn)題，再次利用信息技術(shù)探究得出雙曲線的軌跡進(jìn)而提煉出概念．

下面是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)雙曲線概念的教學(xué)指導(dǎo)片段．

（1）復(fù)習(xí)引入，提出問(wèn)題．

在前面“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，大家已經(jīng)知道：在半徑為的圓內(nèi)取定一點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn)，通過(guò)折疊使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為直線．連接交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為橢圓（圖11）．如果將上述問(wèn)題中“在圓內(nèi)取定一點(diǎn)改為“在圓外取定一點(diǎn)”，其余條件不變．即：在半徑為的圓外取定一點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn)，通過(guò)折疊使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為直線．連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么？

圖11 橢圓的形成

（2）探究問(wèn)題，生成定義．

先考慮交點(diǎn)在圓內(nèi)的情形（圖12），折痕是線段的垂直平分線，點(diǎn)是直線與半徑的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．由軸對(duì)稱的性質(zhì)易知，=，所以-==．即點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差||-||為定值．滿足這一條件的點(diǎn)的軌跡是什么？不妨借助“幾何畫(huà)板”觀察一下，可以得到雙曲線的一支．

圖12 雙曲線的形成（1）

當(dāng)交點(diǎn)在圓外時(shí)(圖13），此時(shí)的長(zhǎng)度大于，同理可得=，所以==．即點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差||-||為定值．利用幾何畫(huà)板可以直觀發(fā)現(xiàn)這是雙曲線的另一支．

圖13 雙曲線的形成（2）

因此，對(duì)于兩個(gè)定點(diǎn)、，交點(diǎn)滿足|||-|||=，它構(gòu)成雙曲線的兩支，如圖14．從而得到雙曲線的初步定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)1、2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．

圖14 雙曲線的第一定義

（3）概念的嚴(yán)格化．

觀察圖14，雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)1、2構(gòu)成三角形，由三角形的三邊關(guān)系可知絕對(duì)值||1|-|2||<|12|，但||1|-|2||≠0．因?yàn)橛蓔|1|-|2||=0得|1|=|2|，即點(diǎn)在線段12的垂直平分線上．若||1|-|2||=|12|，則點(diǎn)在線段12的延長(zhǎng)線上；若||1|-|2||>|12|，則點(diǎn)的軌跡不存在．

綜上，歸納出雙曲線的嚴(yán)格定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)1、2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于|12|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．

5.3 在聯(lián)系豐富的各種特征中體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一性

圓錐曲線既有各自特性也有共同性質(zhì)．從表面上看，圓錐曲線的原始定義、第一定義與統(tǒng)一定義是從不同角度下定義，相互之間沒(méi)有必然聯(lián)系，定義內(nèi)容本身也沒(méi)能反映出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．另一方面統(tǒng)一定義中離心率的概念與前面橢圓、雙曲線中定義的離心率為什么會(huì)一致？對(duì)于這些問(wèn)題教材其實(shí)也給出了回答，只是隱藏在例題之中需要教師在教學(xué)中對(duì)它們進(jìn)行重新組織和設(shè)計(jì)．在“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”與“雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”中出現(xiàn)過(guò)運(yùn)用統(tǒng)一定義表述形式的題目，這其實(shí)也為后面拋物線的定義與統(tǒng)一定義埋下伏筆．

因此，充分挖掘教材內(nèi)容，通過(guò)歸納橢圓與雙曲線的共同點(diǎn)來(lái)提出新問(wèn)題進(jìn)行探究從而得到拋物線的概念會(huì)更合理和自然．主要思路是從兩道與統(tǒng)一定義有關(guān)的例題入手提出猜想，再運(yùn)用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中出現(xiàn)的兩個(gè)相同表達(dá)式證明猜想，進(jìn)而提出新問(wèn)題借助“幾何畫(huà)板”信息技術(shù)引出拋物線的概念．這樣既體現(xiàn)了拋物線與橢圓、雙曲線的緊密聯(lián)系，也為后面統(tǒng)一定義的討論提供了基礎(chǔ)材料，同時(shí)也解決了對(duì)離心率概念理解的困惑，正所謂一舉多得．拋物線概念的教學(xué)過(guò)程直接反映了橢圓、雙曲線與拋物線的離心率概念的共同點(diǎn)，也正是統(tǒng)一定義中對(duì)圓錐曲線的分類標(biāo)準(zhǔn)．

下面是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)拋物線概念的教學(xué)指導(dǎo)片段．

（1）回顧例題，歸納特征．

（2）證明猜想．

橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，有以下重要等式：

它的幾何意義為：

（3）類比橢圓與雙曲線的共同特征，提出問(wèn)題．

（4）運(yùn)用信息技術(shù)探究問(wèn)題，引出定義．

借助“幾何畫(huà)板”可以將點(diǎn)的軌跡直觀演示出來(lái)．任意給定一個(gè)點(diǎn)，一條直線，在直線上任取一點(diǎn)．作線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的垂直平分線于點(diǎn)．此時(shí)有=．追蹤點(diǎn)的軌跡發(fā)現(xiàn)是一條拋物線，如圖15．

由上面的探究得到拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．（注：由前面的歸納可知，橢圓和雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離之比等于它們各自的離心率．于是定義“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離的之比稱為拋物線的離心率”，根據(jù)拋物線的定義有=1．這樣，就將橢圓、雙曲線與拋物線的離心率概念自然地聯(lián)系在一起，揭示了不同離心率定義的一致性，也為后面圓錐曲線統(tǒng)一定義的提出做了充分鋪墊，突出了分類討論的思想．）

圖15 拋物線的形成

5.4 恰當(dāng)利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)組織教學(xué)

教材中圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是要求學(xué)生了解而不需證明的一個(gè)事實(shí)性結(jié)論．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用能讓學(xué)生直觀體驗(yàn)到所要學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要性和價(jià)值，也能激發(fā)學(xué)生了解周圍世界和學(xué)習(xí)的好奇心．將圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容有機(jī)穿插在教學(xué)的各個(gè)部分，有助于教學(xué)的有效開(kāi)展．更進(jìn)一步地，在教學(xué)中也要關(guān)注不同學(xué)生的學(xué)習(xí)差異性，讓學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)既“知其然”亦“知其所以然”．

教學(xué)重構(gòu)除了在圓錐曲線的起始課中對(duì)光學(xué)性質(zhì)的廣泛應(yīng)用性進(jìn)行整體介紹外，還在每個(gè)概念的教學(xué)中涉及到相關(guān)生活實(shí)例．“折紙成橢圓或雙曲線”的過(guò)程實(shí)際上也證明了橢圓與雙曲線的切線性質(zhì)，而總結(jié)歸納橢圓與雙曲線的共同特征，提出問(wèn)題運(yùn)用幾何畫(huà)板探究引出拋物線定義的過(guò)程，也間接證明了拋物線的切線性質(zhì)．這也為新課結(jié)束后有關(guān)的探究性課題的設(shè)計(jì)提供了素材．

[1] 石小麗．高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)現(xiàn)狀分析及其研究[D]．杭州：杭州師范大學(xué)，2011：15-24．

[2] 陳鋒．高中生圓錐曲線學(xué)習(xí)障礙及應(yīng)對(duì)策略的研究[D]．蘇州：蘇州大學(xué)，2015：19-26．

[3] 馮艷紅．圓錐曲線教學(xué)策略研究[D]．呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013：1-7．

[4] 王亞運(yùn)．HPM視角下的橢圓教學(xué)設(shè)計(jì)與研究[D]．武漢：華中師范大學(xué)，2017：5．

[5] 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：44．

[6] 人民教育出版社課程教材研究所．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版·數(shù)學(xué)（選修2-1）[M]．北京：人民教育出版社，2015：33-80．

[7] 人民教育出版社課程教材研究所．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版·數(shù)學(xué)（選修4-1）[M]．北京：人民教育出版社，2007：43-48．

[8] 汪曉勤，王苗，鄒佳晨．HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：以橢圓為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（5）：20-23．

[9] 徐迪斐．“圓錐曲線”起始課教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（5）：2-8．

[10] 陳鋒，王芳．基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2012（4）：5-8，40．

[11] 汪曉勤，方匡雕，王朝和．從一次測(cè)試看關(guān)于學(xué)生認(rèn)知的歷史發(fā)生原理[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（3）：30-33．

[12] Ernest P. The history of mathematics in the classroom [J]. Mathematics in School, 1998, 27 (4): 25.

[13] 莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第一冊(cè)）[M]．張理京，張錦炎，江澤涵，等譯．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014：39，40，264．

[14] 阿波羅尼斯．圓錐曲線論[M]．朱恩寬，張毓新，張新民，等譯．西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2007：1．

[15] 霍華德·伊夫斯．?dāng)?shù)學(xué)史概論[M]．歐陽(yáng)絳，譯．6版．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013：172，182．

[16] 《數(shù)學(xué)辭?！肪庉嬑瘑T會(huì)．?dāng)?shù)學(xué)辭海（第六卷）[M]．太原：山西教育出版社，2002：158，230．

[17] 白尚恕．圓錐曲線小史[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1964，3（6）：36-41．

[18] 貝爾熱M．現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢——幾何（第四卷）：二次型、二次超曲面與圓錐曲線[M]．陳志杰，周克希，譯．北京：科學(xué)出版社，1987：161．

[19] 王海青，李曉波．從阿波羅尼斯到柯西：“圓錐曲線”研究方法的變遷[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（10）：26-31．

[20] 曹廣福，張蜀青．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2018：7-8．

[21] 王海青，曹廣福．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則與思想及其實(shí)施步驟[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：24-27．

Instructional Design for Teaching Concepts in Conic Section in Senior High School

WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics & Statistics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

As the core content of analytic geometry in senior high school, the conic section plays a very important role in the cultivation of students’ mathematical thinking ability. To understand the different concepts of the conic section, to know the consistency of unity and centrifugal rate, and to master mathematical thinking ideas, teachers need to have an overall understanding and an essential cognition of the historical context and knowledge formation process about the conic curve. Based on the analysis of the historical development of conic section, teaching goals, textbook compilation, and students’ actual situation, this paper tries to reconstruct the concepts of conic section teaching, in the hope of addressing the key problems in teaching.

conic curve; concept teaching; mathematics history; teaching reconstruction

G633.65

A

1004–9894（2022）04–0007–07

王海青，曹廣福．高中圓錐曲線的概念教學(xué)重構(gòu)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（4）：7-13．

2022–04–21

廣東省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃項(xiàng)目——新師范背景下“U-G-S”校地?cái)?shù)學(xué)教師教育共同體的構(gòu)建及其運(yùn)行機(jī)制探索（2020GXJK410）；廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目——課程思政融入數(shù)學(xué)學(xué)科教育課程的教學(xué)探索與實(shí)踐（2020年）；廣東省教育研究院教育研究課題——“U-G-S”協(xié)同機(jī)制下數(shù)學(xué)教師職前培養(yǎng)與職后培訓(xùn)一體化建設(shè)研究（GDJY-2020-A-s150）；惠州學(xué)院—惠州市教育局共建國(guó)家教師教育實(shí)驗(yàn)區(qū)教師教育研究專項(xiàng)課題——德育視角下數(shù)學(xué)文化融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究與實(shí)踐（SYQJSJY2020003）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授、博士，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]