考慮永磁體溫度的全工作域下永磁電機參數模型分析

師蔚， 董毅杰， 張舟云

(1.上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620； 2.上海電驅動股份有限公司，上海 201806)

0 引 言

內置式永磁電機具有高功率密度、能夠合理利用磁阻轉矩、調速范圍廣等特點，被廣泛應用于各種牽引領域，例如新能源電動汽車、軌道車輛、風力渦輪機、航空等[1-4]。

在電動汽車等牽引領域，永磁電機工況復雜，為了充分發揮內置式永磁電機磁阻轉矩利用效率，提高單位定子電流的輸出轉矩，電機在恒轉矩區常采用最大轉矩電流比(maximum torque per ampere,MTPA)控制[5-6]；而在恒功率區需要高速穩定運行，則需要通過弱磁進行進一步擴速[7]。然而，要想獲得MTPA控制以及弱磁控制下的最優定子電流，必須獲得精確的永磁磁鏈、電感參數模型等電機參數模型[5-8]。因此，國內外研究學者在電機參數模型特別是交-直軸電感參數模型計算中進行了充分的研究，利用有限元分析方法考慮了電機交-直軸電流交叉耦合、磁路飽和的影響[9-11]。文獻[12]還在有限元分析了交叉耦合對電感的影響基礎上，提出了考慮磁飽和、空間諧波的內置式永磁同步電機非線性模型。文獻[13]在基于交直軸電流的電感三維數據表基礎上，利用變參數電感及該電感關于交直軸電流的變化率進行參數補償，提高控制精確度。然而上述研究中都未將電機內部的溫度場考慮在內。

永磁體的溫度變化會引起永磁體工作點的變動，無疑會對永磁電機的磁路造成不可忽視的影響，進而改變電機參數的大小。文獻[14-17]研究了溫度變化對內置式永磁電機特性和交直軸電感的影響，為考慮溫度影響的控制算法奠定了基礎，并對目前考慮電機溫度變化影響的電機轉矩補償控制算法進行了詳細的比較，但不論仿真研究還是實驗驗證均假設電機的內部溫度一致，并未考慮電機內部溫度的不均衡對電機參數的影響。目前國內外針對永磁體的溫度效應與電機參數之間的關系研究不足，且鮮少應用于實際永磁電機控制策略中，這主要是由于在實際控制應用過程中，很難對永磁體的溫度進行準確的監測，但隨著永磁體溫度在線估計的實現，使基于永磁體溫度的永磁電機電感參數模型應用成為可能[18-19]。

綜上，為了減小永磁電機在控制系統中由永磁體溫度變化帶來的輸出轉矩誤差，優化控制策略中的電機參數，本文首先利用有限元模型分析了不同工況下的基于永磁體溫度變化的電機參數，建立基于永磁體溫度變化的交-直軸電感數學模型，并利用拉格朗日乘子法優化最大轉矩電流比控制，使控制策略中的電流軌跡能夠繼續保持在理論上理想的工作位置，減小輸出轉矩的誤差。最后通過永磁電機永磁體溫升實驗來分析不同永磁體溫度下的電機輸出轉矩，以此驗證基于不同永磁體溫度下數學模型的準確性。

1 永磁電機仿真模型

本文研究的電機是車用內置式8極48槽永磁同步電機，“V”字型磁路轉子如圖1所示，主要參數如表1所示。相比于表貼式永磁同步電機，內置式永磁結構由于交直軸電感不同，擁有更強的輸出轉矩能力與弱磁調速范圍。

圖1 1/8電機模型結構圖Fig.1 Structure diagram of 1/8 PMM model

表1 永磁電機主要參數

磁鋼材料選用高磁能積釹鐵硼材料，圖2為選用的釹鐵硼牌號N35UH不同永磁體溫度下的退磁曲線。由于車用電機永磁體溫度在電機全域工況下通常處于20 ℃與140 ℃之間，因此本文將研究基于20～140 ℃永磁體溫度下的電機運行工況。

圖2 N35UH退磁曲線Fig.2 Demagnetization curve of N35UH

2 基于永磁體溫度變化的電機參數研究

基于有限元法計算電機參數的常用方法有凍結磁導率法、矢量控制法以及差分磁鏈法。由于凍結磁導率法更符合真實電機內部磁場狀況，并能較為準確地將非線性場轉化為線性場進行疊加，克服了瞬態場無法精確計算永磁體磁鏈的問題[20-22]，因此選用該方法計算電機交直軸電感和永磁磁鏈。

分析時進行電機帶負載情況下有限元計算，輸出定轉子區域內的凍結磁導率，將該磁導率分別付給只有永磁體單獨激勵的電機模型計算永磁磁鏈直、交軸分量ψpmd與ψpmq；付給繞組單獨激勵的電機模型分析直軸自感Ldd和交軸自感Lqq，交直軸互感Ldq與Lqd，具體分析流程如圖3所示。

圖3 凍結磁導率算法計算電感與永磁磁鏈流程圖Fig.3 Flow chart of calculating inductance and permanent magnet flux via FPM

2.1 不同永磁體溫度下的永磁磁鏈

根據釹鐵硼永磁體的溫度特性，仿真研究電機在不同永磁體溫度下的空載運行時永磁磁鏈，結果如圖4所示，永磁電機空載運行時永磁磁鏈隨著永磁體溫度的上升而呈線性減小。在永磁電機負載運行時，將永磁電機的負載運行時的定轉子磁導率進行凍結，分析在永磁體單獨激勵情況下的氣隙磁密與空載運行時的氣隙磁密發現，永磁電機負載運行下永磁磁鏈并不完全沿著直軸方向，在交軸上也存在著分量，如圖5所示。因此，當永磁電機負載運行時，需要分別考慮直軸方向的永磁磁鏈分量ψpmd與交軸方向的永磁磁鏈分量ψpmq。

圖4 電機空載運行時不同永磁體溫度下的永磁磁鏈Fig.4 Permanent magnet flux at different temperature of permanent magnet under no-load condition

圖5 空載和負載運行時永磁體產生的氣隙磁密對比Fig.5 Comparison of air-gap flux density excited by permanent magnet between no-load and load condition

利用以上凍結磁導率方法，可以計算電機在不同溫度下及負載電流即直軸電流id、交軸電流iq下的ψpmd與ψpmq。為充分考慮永磁體溫度tpm對永磁磁鏈產生的影響，建立永磁磁鏈分量ψpmd與ψpmq在不同負載電流情況下，隨單位溫度上升的變化率分別為：

(1)

式中ψpmdb與ψpmqb分別為永磁磁鏈直軸、交軸磁鏈的基準值，選取在該負載情況下，永磁體溫度為60℃下的直軸及交軸磁鏈值。

圖6 永磁磁鏈溫度變化率隨負載電流變化曲面Fig.6 Temperature change rate of permanent magnet flux under load current

2.2 不同永磁體溫度下的交直軸電感

將帶負載情況下凍結磁導率付給只有線圈單獨激勵的電機模型，分析此時的永磁電機的交直軸電感，計算公式為：

(2)

式中：Ldd與Lqq分別為直軸自感和交軸自感；Ldq與Lqd分別為交軸對直軸的耦合互感和直軸對交軸的耦合互感。在相同工況下，令Ldq=Lqd=Lm，Lm表示交直軸互感參數。

(3)

式中Lddb、Lqqb、Lmb分別為直軸自感基準值、交軸自感基準值及交直軸互感基準值，選取在該負載情況下，永磁體溫度為60 ℃下的自感與互感值。

圖7 交直軸電感溫度變化率隨負載電流變化曲面Fig.7 Temperature change rate of d-q axis self-inductance and mutual-inductance under load current

3 基于永磁體溫度變化的控制曲線優化

3.1 基于永磁體溫度變化的改進電機數學模型

將仿真計算獲得的不同永磁體溫度下及負載電流下的電感和永磁磁鏈參數進行回歸分析，即可得到在不同永磁體溫度及負載電流下的電感參數函數Ldd(id,iq,tpm)、Lqq(id,iq,tpm)、Lm(id,iq,tpm)，以及交、直軸永磁磁鏈函數ψpmd(id,iq,tpm)、ψpmq(id,iq,tpm)。由此可建立基于永磁體溫度，考慮磁路飽和以及交叉耦合影響下的電機模型，改進的交、直軸磁鏈，交、直軸電壓，電磁轉矩計算如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：p為電機的極對數；ω為轉子旋轉電角速度；Tpm為同時考慮d軸與q軸永磁分量的永磁轉矩；Trel1為交直軸自感差異引起的磁阻轉矩；Trel2為交叉耦合互感引起的磁阻轉矩。

利用以上改進電機模型即可得到不同永磁體溫度下的恒轉矩曲線，如圖8所示。從圖中可知，當轉矩指令較小時，不同永磁體溫度下的電流軌跡相差不大，但隨著指令轉矩的增加，在相同工況下，不同永磁體溫度下電機所需要的id和iq的差異逐步增加。由此可以推斷，當利用定溫度下的電感及永磁參數進行電機控制時，在指令轉矩較小的工況下，其輸出轉矩與指令轉矩的誤差并不大，但隨著所需轉矩增大及永磁體溫度不斷上升，電機輸出轉矩與指令轉矩的誤差會變大。

圖8 不同永磁體溫度影響下的恒轉矩曲線簇Fig.8 Constant torque curves at different temperature of permanent magnet

3.2 最大轉矩電流比控制參數優化

最大轉矩電流比策略為通過尋找最優電流超前角，在一定的定子電流輸入下使得電機輸出最大轉矩。即通過交直軸電感和永磁磁鏈，利用下式找到理想化的id和iq值：

(8)

為了避免由交直軸電感及永磁磁鏈受永磁溫度及交叉耦合的影響造成輸出轉矩誤差，利用基于永磁體溫度變化的電機參數模型，采用拉格朗日乘子法，通過迭代的方式尋找最優化的id和iq大小。其中，最優化目標函數為永磁電機的電流幅值最小，即

(9)

式中：is為定子電流幅值；Ilim為逆變器輸出最大限制電流。

約束條件為

(10)

拉格朗日乘子法函數為

(11)

式中ξ為拉格朗日乘子，對函數Λ分別求id、iq和ξ的偏導，得到如下方程：

(12)

(13)

(14)

將基于不同永磁體溫度及負載電流下的電機參數函數Ldd(id,iq,tpm)、Lqq(id,iq,tpm)、Lm(id,iq,tpm)、ψpmd(id,iq,tpm)、ψpmq(id,iq,tpm)代入到拉格朗日方程式(12)、式(13)中，得到的兩個拉格朗日方程為只包含有變量id和變量iq的方程組，因此可求得不同永磁體溫度下MTPA策略中的id、iq最優解，結果如圖9所示。

圖9 考慮不同永磁體溫度的MTPA曲線Fig.9 MTPA curves under different methods

由圖9可知，當考慮永磁體溫度效應時，相較于傳統MTPA曲線，考慮永磁體溫度效應下的MTPA軌跡與傳統MTPA曲線有明顯差異。電流超前角的角度隨著交直軸電流幅值的增大而增大。

3.3 弱磁控制參數優化

對于恒功率區的弱磁控制策略而言，可將基于永磁體溫度變化的電機參數代入電壓極限圓方程，即

(15)

式中：us為感應電動勢；Ulim為逆變器輸出最大限制電壓；Rs為基于線圈溫度的繞組阻值。

圖10為不同電機轉速、不同永磁體溫度下的電壓極限圓，在轉速上升的過程中，電壓極限圓會向著其圓心收縮。當永磁體溫度上升，電壓極限圓的圓心沿著d軸正向移動，且相同轉速下，電壓圓的半徑也隨之減少。由于弱磁控制中的電流工作點為電流極限圓與電壓極限圓的交點，從圖10可以看出，在相同轉速下，由于不同永磁體溫度的電壓極限圓不同，因此與電流極限圓的交點也會有所不同，從而可以計算出某一電機運行工況下，不同永磁體溫度下對應的交直軸電流id、iq，并將其帶入至電機控制系統中。

4 永磁體溫升實驗驗證

為驗證不同永磁體溫度對電感、永磁磁鏈從而對電機輸出轉矩產生的影響，利用永磁電機溫度實驗平臺進行實驗驗證。實驗電機以算例電機為原型，在轉子永磁體位置安裝溫度傳感器實時監測永磁電機運行時的永磁體溫度，并通過軸端溫度處理及傳輸模塊實時無線傳輸至控制終端電腦，模型電機實驗平臺如圖11所示。此次實驗，控制永磁電機在永磁體溫度分別20、60以及100 ℃下變工況運行，處于安全考慮，并未對永磁體在140 ℃的高溫電機工況進行實驗。

在固定電壓轉速下，測試并記錄當前工況的ud、uq、id、iq以及實測轉矩值，并根據傳統電壓方程式(5)得出id和iq對應的標定電感數據。3組永磁體溫度下的實驗將分別在45 kW工況和55 kW工況進行。對比實驗電機在3組不同溫度實驗工況下的標定交直軸電感值與本文所提的模型計算電感值。由于永磁體測溫裝置會對電機內部部分磁場造成畸變，從而改變磁路性質，因此為全域工況下的模型電感值添加修正系數進行修正，表2、表3為最終對比結果。

圖10 不同永磁體溫度影響下的電壓極限圓曲線Fig.10 Voltage limit circles at different temperature of permanent magnet

表2 實測標定直軸電感與模型計算電感對比

表3 實測標定交軸電感與模型計算電感對比

圖11 模型電機實驗平臺Fig.11 Model motor experiment platform

根據上表的實驗數據可以看出，當電機在穩態工況下運行時，永磁體溫度對直軸電感影響較大，而對交軸電感影響可以忽略不計，對比實測值和模型計算電感可知，實驗總體誤差在±9%以內，可以驗證基于永磁體溫度變化電感模型的準確性。

圖12為電機不同轉速、不同永磁體溫度下的轉矩模型值和轉矩實測值的對比圖，為了更好地進行分析電機參數變化對于輸出轉矩的影響，將轉矩模型如式(10)所示進行轉矩分離，分別得到Tpm、Trel1和Trel2。

由圖12可知，隨著轉速上升，電機處于弱磁恒功率區，且根據之前分析，當溫度上升時，ψpmd減小，Lm增加，因此由式(9)可知，固定轉速下，永磁體溫度越高，永磁轉矩越小，交直軸自感差異引起的磁阻轉矩Trel1幾乎保持不變，而由交叉耦合引起的磁阻轉矩Trel2略微增加，但由于Trel2中Lm互感的數量級與自感相比太小，因此磁阻轉矩的增幅幾乎可以忽略不計。

因此可以得出結論，當電機處于某一穩態工況時，永磁體升溫過程中，使得輸出轉矩減小的主要原因在于永磁磁鏈ψpmd分量的減小，而交直軸自感以及交叉耦合互感在永磁體溫度效應下的變化不足以使得電機輸出轉矩能力有明顯下降。

圖13與圖14分別為永磁體為60 ℃與100 ℃額定工況下的電機外特性圖，當永磁體溫度分別達到60 ℃與100 ℃時，若使用未考慮永磁體溫度效應下的20 ℃恒定電機參數模型，其輸出轉矩與實際轉矩差距較大，在恒轉矩區誤差分別為16%與19%，而利用本文所提出的考慮永磁體溫度效應的電機參數，其轉矩誤差分別為2.43%與3.25%。因此驗證了本文所提模型的有效性。

圖12 45 kW額定工況下轉矩模型值與實測值對比Fig.12 Comparison of torque between measurement and computational model under 45 kW condition

圖13 永磁體60 ℃工況下轉矩模型值與標定值對比Fig.13 Comparison of torque between computational value and scale value under 60 ℃ of PM

圖14 永磁體100 ℃工況下轉矩模型值與標定值對比Fig.14 Comparison of torque between computational value and scale value under 100 ℃ of PM

5 結 論

針對永磁體溫度效應造成的電機參數變化以及永磁電機輸出轉矩誤差問題，本文利用有限元法研究了永磁體溫度在20 ℃到140 ℃之間的電機參數，基于凍結磁導率法計算了電機全域工況下的永磁磁鏈與交直軸電感參數，并分析了永磁體溫度與永磁磁鏈、交直軸電感之間的關系，提出了計其永磁體溫度與交叉飽和影響下的交直軸電機數學模型。并利用拉格朗日乘子法優化了基于永磁體溫度影響下的最大轉矩電流比以及弱磁控制，并研究了其電流軌跡與傳統控制策略電流軌跡之間的偏差，具體結論如下：

1)利用凍結磁導率法分析了電機負載運行時，永磁體激勵會分別在d軸與q軸產生永磁磁鏈分量ψpmd與ψpmq，根據有限元仿真結果可知，隨著永磁體溫度的上升，兩軸方向的永磁磁鏈分量大小都會呈比例減小。

2)將考慮永磁體溫度、磁路飽和以及交叉耦合影響下的電機模型利用拉格朗日乘子法對最大轉矩電流比控制進行了優化，結果表明，傳統MTPA電流軌跡與優化的MTPA電流軌跡之間的電流超前角度相差25°左右。此外，在弱磁電流軌跡中，將永磁體溫度效應納入考量，當永磁體溫度上升，電壓極限圓的圓心沿著d軸正向移動，且相同轉速下，電壓圓的半徑也隨之減少。

3)通過永磁體溫升實驗，對比永磁體分別在20 ℃、60 ℃以及100 ℃運行工況下的標定電感、轉矩實測值與電感模型值、轉矩模型值。在60 ℃與100 ℃運行工況下的轉矩誤差分別在2.43%與3.25%以內，驗證了模型的精確度。

綜上所述，本研究為永磁電機永磁體溫度效應影響下的永磁電機特性進行了全面分析，其中，電機參數的分析結論可以為永磁電機考慮永磁體溫度與交叉耦合的控制算法提供理論依據。