基于更新過程的多目標預防維修優化模型

楊荔賢 余 俊

（阿壩師范學院數學學院，四川 阿壩 623000）

0 引言

維修模型經常使用的準則有3個：①維修費用、不能工作時間和維修時間最小化；②收入、利潤和可用性最大化；③達到要求的可靠性和安全性水平。在開展維修活動時，可能基于一項或多項準則，使用單一的最優化準則建立起來的最優預防維修模型已無法滿足現實需求，經常要根據不同的需求和資源限制來作出不同的決策。金燕生等［1］研究兩個不同型部件的冷貯備系統的預防維修策略，在一般分布情況下利用補充變量法，求出系統首次故障前的平均時間和可靠度。程曉絢等［2］在幾何過程理論的基礎上，考慮工作時間受限的情況，提出單部件可修系統的最優更換策略。利用更新過程理論，計算出平均可用度、平均故障頻度等，并給出系統的期望效益函數。高俏俏等［3］研究了一種可修系統的維修策略，當系統發生故障時，修理設備對其進行維修。利用更新過程和幾何過程理論，可計算出系統長期運行后的單位時間內的期望費用。劉勤明等［4］以設備維修能力為約束條件，對庫存緩沖區的多目標設備維修問題進行研究，在準更新過程的基礎上，推導出設備的隨機故障次數，以最大設備可用度和最小生產總成本為目標，構建出不完美預防維修模型，并利用粒子群算法得到更新周期內的庫存量和預防維修周期兩個決策變量的最優值。劉學娟［5］利用加速失效時間模型和基本隨機回歸系數模型，在考慮協變量的影響下，建立模型來分析設備的退化過程，針對退化過程設置兩類更新閾值，一類是預防性維修更新閾值，另一類是故障更新閾值。運用更新回報定理，對兩類更新周期內的單位時間期望維修費用進行建模，并對模型進行求解，可得設備的最優監測區間和最優預防性維修閾值。Paprocka［6］研究了具有截斷正態分布故障率的預測維修策略，生產任務的優化是通過選取的參數估計方法來比較不同作業車間調度問題的描述擾動，基于最大似然估計法能更準確地預測調度問題。

綜上所述，已有的大部分研究只是對維修策略中只有一個因素的單目標或由兩個因素組成的多目標進行優化，并采用智能優化算法求解模型，且對考慮因素的數學表達式大部分沒有推導過程。本研究利用更新極限定理，來推導出系統長期運行后單位時間期望維修費用、平均可靠度和穩態可用度，并運用極大模理想點法建立關于這三個目標和一個決策變量，即預防維修周期的多目標最優化模型，并結合算例給出求解過程。

1 更新報酬過程和更新極限定理

更新報酬過程［7］如下所示：{N(t),t≥0}是由非負隨機變量X1,X2,……所產生的更新過程，假設Y n是第n個更新壽命X n中的報酬，且{(X n,Y n),n≥1}獨立同分布。令為(0,t]時間內的總報酬，則稱{Y(t),t≥0}為更新報酬過程。

更新極限定理［7］如式（1）所示。

若E Y n和EX n有限，則

更新極限定理說明了對長時間運行后求得的期望平均報酬等于一個周期內得到的期望報酬除以該周期的期望時間。

1.1 基本模型及假設

假設部件的壽命分布函數為Φ(t)，當部件突發故障時對其進行小修，小修時間Y m服從一般分布，其均值為βm，部件經小修后，能夠正常工作，且部件年齡不變。當累計工作時間達到部件的指定年齡T時，需要對部件進行預防維修，預防維修時間Y p，其服從均值為βp的一般分布，經過預防維修后的部件恢復初始狀態，并能立即正常工作。故障小修每次費用為cm，預防維修每次費用為c p，(0,t]時間內的期望工作時間為M T，(0,t]時間內的期望維修費用為M C，(0,t]時間內的期望可靠度為M R；長期運行單位時間的期望維修費用為，t時刻的瞬時可用度為A(t)，極限平均可用度為，穩態可用度為，失效率為γ(t)。在部件工作時間T內，發生故障的平均次數為m(T)，可靠度函數為R(t)，平均可靠度為。

假設小修時間、預防維修時間及部件壽命等因素相互獨立。

再生點為部件的預防維修結束時刻，假設兩個相鄰的預防維修結束時刻之間的時間差是一個周期。很顯然，各周期獨立同分布，并形成一個更新過程，因此可運用更新極限定理來推導相關表達式［8］。本研究是要求最優的累計工作時間T（即預防維修周期T），使其能滿足多項準則的最優化問題。部件的可能發展進程見圖1。

圖1 部件的可能發展進程

由上述分析可知，壽命的概率密度為Φ'()t，可得部件的失效率，見式（2）。

在部件工作時間T內，發生故障平均次數見式（3）。

即周期長為=T+Y p+Y m·m(T)，平均周期長為T+βp+βm·m(T)。

1.2 穩態可用度、長期運行單位時間的期望維修費用和平均可靠度的推導過程

若將工作時間看成其所在周期內的報酬，則(0,t]時間內的期望工作時間可看成(0,t]時間內的總報酬，更新極限定理見式（4）。

這里將可靠度看成其所在周期內的報酬，則(0,t]時間內的期望可靠度可看成(0,t]時間內的總報酬，更新極限定理見式（8）。

運用更新極限定理可得這三個指標的表達式與能夠反映長期運行的系統性能，綜合考慮這三個因素來確定最優預防維修周期T將更加符合實際。

2 極大模理想點法建立多目標預防維修最優化模型

將公式（4）（5）（8）按照穩態可用度極大、長期運行單位時間的期望維修費用極小和平均可靠度極大準則，建立包含三個目標和一個決策變量，即預防維修周期T的多目標最優化模型，見式（9）。

針對多目標函數問題的求解，先分別求解出每一個分目標函數的極小值，各目標函數在接近其極小值時，即取得理想點，從而獲得多目標函數的解。為了體現各目標在問題中的重要程度不同，及各目標對最優預防維修周期T的影響，本研究采用理想點法中極大模理想點法［9］來求解上面多目標問題。

在進行統一量綱處理后，各分量目標函數記為F i(T)，i=1,2,3，F(T)=(F1(T),F2(T),F3(T))，并求得，i=1,2,3，則F*=(F1*,F2*,F3*)為模型的理想點。

理想點法就是將目標與理想點之間的“距離”‖F(T)-F*‖作為評價函數，所以問題就轉化為求解 數 值 極 小 化 問 題，其 中‖F(T)-F*‖為向量F(T)-F*的模。極大模理想點法就是采用作為評價函數求解模型。于是，將問題轉化為式（10）所示的等價輔助問題。

運用極大模理想點法求解模型的計算步驟如下所示。

①統一各分量目標函數的量綱。取適當的正數α分別加入各分量目標函數，得到新的各分量目標函數：f i(T)+α＞0,?T≥0,i=1,2,3；計算T≥0時各分量目標函數的極小值,以函數作為新的分量目標函數。

③檢驗理想點。當T*1=T*2=T*3時，絕對最優解T*=T*1，停止計算。否則轉步驟④。

④給出正權數。λ1,λ2,λ3＞0，且（注意要求所有λi＞0）。

⑤求解輔助非線性規劃問題（10），得最優解（T*,ω*），輸出T*。

3 算例分析

假設某部件的壽命服從η=4×10-4（尺度參數）、β=2（形狀參數）的威布爾分布。經小修后，部件恢復工作，但修復后部件的年齡不變，故障小修時間Y m的均值βm=1 h。另外，當該部件的累計工作時間達到指定年齡T時，對部件需要進行預防維修，預防維修完成后，部件恢復如新，并立即進入工作狀態，預防維修時間Y p的均值βp=5 h。每次預防維修的費用c p=1 000元，每次故障小修的費用cm=100元。為使穩態可用度極大、長期運行單位時間的期望維修費用極小和平均可靠度極大，求取最優的預防維修周期T*（單位：h）。

首先，該算例中相鄰兩個預防維修結束時刻之間的時間構成一個更新過程。威布爾分布的壽命分布函數是所以，可靠度，故障率即部件工作時間T內發生故障的平均次數為m(T)=；平 均 周 期

根據公式（9）建立多目標最優化模型，見式（11）。

根據極大模理想點法求解公式（11），步驟如下。

①統一各分量目標函數量綱。各分量目標函數f1(T)、f2(T)、f3(T)分別加1（各分量的目標函數變為f i(T)+1＞0,?T≥0,i=1,2,3），求f i(T)+1在T≥0上的極小值(i=1,2,3)：0.020 5，并由，i=1,2,3來構造新的分量目標函數，見式（12）。

③檢驗理想點。因為T*1≠T*2≠T*3，所以轉步驟④。

④給出正權數。λ1,λ2,λ3＞0，且=（1注意要求所有λi＞0）。

⑤根據式（10）構造輔助非線性規劃問題，由式（12）（13）可得非線性規劃問題（14）。

分別代入幾組不同的權重來求解非線性規劃問題（14），輸出T*。

首先每個權重的改變對最優結果產生的影響較大，當代表穩態可用度的λ1和代表維修費用的λ2在三個權重中最大時，所得的最優預防維修周期都較大；當代表平均可靠度的λ3在三個權重中最大時，所得的最優預防維修周期都較小。這是因為部件在長期運行過程中，若考慮穩態可用度，即要保證部件處于正常狀態的時間比例大，則不宜經常維修；若考慮維修費用，要讓部件維修費用較小，顯然也不易經常維修；若考慮平均可靠度，則要避免部件失效才能保證較高的平均可靠度，通過較頻繁的預防維修可實現這一目的。所以，當三個目標同時考慮，且穩態可用度或維修費用所占權重又較大時，所得的最優預防維修周期就會較大；當三個目標同時考慮，且平均可靠度所占權重又較大時，所得的最優預防維修周期就會較小。當穩態可用度的權重相同，增大平均可靠度的權重時（因λ1+λ2+λ3=1，所以此時代表維修費用的權重λ2逐漸減?。黠@可看出所得的最優預防維修周期就變?。划斁S修費用的權重相同，增大穩態可用度的權重時（因λ1+λ2+λ3=1，所以此時代表平均可靠度的權重λ3逐漸減?。黠@可看出所得的最優預防維修周期就變大。

在系統長期運行的過程當中，需要根據不同的需求和資源限制作出不同的決策時，可以運用本研究的方法調整相關因素的權重來得到滿意的結果。