液晶相控陣指向精度影響因素分析及優化方法

范佳鑫，王春陽，張寧

（1.長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022；2.西安工業大學 兵器科學與技術學院，西安 710021）

液晶相控陣波束偏轉技術具有靈活、快速、高精度的特點［1］，與傳統波束偏轉技術相比，其器件體積小、質量輕、功耗低并且無機械慣性。液晶相控陣是新型的可編程相位調制光學器件，相位調制深度大以及其采用的向列相液晶材料具有相位調制深度大及驅動電壓低的優點。隨著液晶相控陣的發展，將會對未來光學系統產生重大影響，在新體制雷達、自適應光學以及空間光通信等領域具有廣泛的應用前景［2-4］。

指向精度作為液晶相控陣的主要性能之一，在通信系統中，過低的指向精度會造成通信誤碼率提高；在激光雷達領域，波束的指向精度過低會造成目標探測概率降低。然而器件之間的相互作用以及波束偏轉技術，均會造成偏轉角度偏離理想角度，使指向精度下降。影響波束質量的因素主要有：邊緣效應、電極占空比、液晶盒面平整度、電壓量化和外加電場頻率等。主要通過影響相位調制導致波陣面發生變化，波束偏轉角度產生誤差，降低了指向精度。Hallstig等人［5］提出了一種通過調節驅動電壓與波陣面相位偏差比例系數進行相位修正的方法，由于驅動電壓與相位偏差是非線性的，無法通過液晶特性曲線得到精確比例，效果不理想。周研等人［6］采用模式搜索方法調整電壓臺階分布，實現了對波束指向精度的修正。王春陽、李蘭婷等人［7］采用SPGD算法實現了對液晶相控陣波束性能的優化。

分析液晶相控陣的幾個主要影響因素，建立其數學模型，波束的指向精度受各個因素綜合影響，給出適當的參數值范圍并提出一種基于粒子群算法的指向精度優化方法。該方法以波束偏轉角的歸一化精度誤差εnorm為優化目標，通過迭代搜尋獲取一組電壓，使波束角度偏轉誤差減小，最終得到優化后的液晶相控陣的波控電壓ui={u1,u2,u3,…,un}，提高波束的指向精度。

1 基本原理

液晶相控陣由兩塊玻璃基板構成，基板上附有獨立可控的電極，中間填充向列相液晶材料。由于向列相液晶材料電控雙折射性，當加載驅動電壓時，液晶分子在電場的作用下發生傾斜，改變了雙折射率。波束經過液晶相控陣時，液晶分子不同的雙折射率使出射光產生不同的相位延遲，改變了出射波束的波陣面。根據液晶的電壓相移曲線，控制不同電極加載不同的驅動電壓，使出射波束在遠場進行干涉加強，從而實現波束偏轉。液晶相控陣波束偏轉原理如圖1所示。

圖1 液晶相控陣波束偏轉原理圖

由液晶相控陣波束偏轉原理可知，波束偏轉角可表示為：

式中，θ表示偏轉角度；Δφ為相鄰陣元間的相位差；d表示陣元寬度（電極尺寸與間隙）；λ表示光的波長。

非周期二元光柵相位分布示意圖如圖2所示，控制相鄰陣元間相位差Δφ，就可以實現不同角度偏轉，當Δφ不能被2π整除，選擇多個周期合并，將D1、D2、D3等效為一個大周期，如此就可實現最大偏轉角內連續角度的波束偏轉。

圖2 非周期二元光柵相位分布示意圖

從圖3可以看出理論上可以實現連續角度的波束偏轉，但是在實際應用上由于電壓量化以及移相器的精度，只能實現有限并且不連續的角度偏轉。

圖3 相鄰陣元相位差與歸一化偏轉角度關系

2 影響因素分析

首先對文中用到的物理量進行說明，以遠場光強分布最大值對應的角度為實際偏轉角度，歸一化精度誤差εnorm定義為理想角度跟實際角度的差值與波束寬度之比：

式中，θspot=λ/Nd為波束寬度，N為電極總數，d為陣元寬度（電極尺寸與間隙）。由式（1）可知，Δφ只會影響波束的偏離程度Δθ=θactual-θideal，但卻不會影響θspot的大小。Δθ已可以說明角度之間的偏差，但其值往往需要很高的表達精度，所以與θspot之比進行歸一化處理來方便表示，εnorm值越接近于零，偏轉誤差越小，精度越高。液晶相控陣影響因素會影響出射光的相位分布，導致波束偏轉角度發生變化，偏離理想角度，這里主要考慮以下幾種影響因素。

2.1 邊緣效應

由于液晶相控陣制造工藝的影響，電極之間存在空隙，理論上導致相鄰電極的輸出相位在間隙處產生凹陷。并且液晶分子之間具有沾黏性。而液晶分子之間的沾黏性會使相鄰電極的輸出相位受到影響，使波陣面變得平滑，在相位跨度比較大的區域形成一個回程區，如圖4所示。

圖4 相位回程區示意圖

在回程區的影響下，實際出射相位面?(x)表示為：

其中，φ(x)是理想相位面；k(x)為高斯核函數；x代表的是液晶表面位置坐標。

式中，σ為是高斯核函數的有效寬度，代表了邊緣效應的強度；h為液晶層厚度。當陣元寬度d=5 μm，周期電極數為4，當液晶層厚度分別為6 μm、7 μm和 8 μm時，邊緣效應如圖5所示。

圖5 不同液晶層厚度下的相位延遲分布

由圖5可知，液晶層越厚，回程區越大。雖然液晶層厚度增加能使波陣面趨于平滑，但是回程區的增大，會導致波束的遠場能量分散，衍射效率降低，指向精度下降。

2.2 電極占空比

液晶分子的排列狀態受電場所控制，在間隙區域的液晶分子達不到理想狀態的傾斜角，因此產生的相位會低于兩側，形成一個相位凹陷狀態。

電極占空比可以表示為：

其中，a為電極尺寸；d為陣元寬度。由于相位凹陷的影響，相位分布可以表示為：

其中，g(x)為一個分段的周期函數。mod(x,d)為求余函數，具體公式為：

由圖 6可知，圖 6（a）和圖 6（b）分別表示占空比為80%和60%的相位分布。臺階柱狀相位分布形象地反映了不同占空比時的電極間隔和電極寬度大小，可知，占空比越低，臺階之間的間隔越大。在相鄰電極間隔區域會出現相位凹陷，占空比越小，相位凹陷越嚴重，導致波陣面發生變化，影響波束的指向精度。

圖6 不同電極占空比的相位分布示意

由圖7可知，電極占空比越大，歸一化精度誤差越小。相鄰電極間隙越小，產生的相位凹陷就越小，但同時電極間距越小所要求的工藝水平越高，成本昂貴。

圖7 不同電極占空比對歸一化精度誤差的影響

2.3 液晶盒面平整度

液晶材料作為電介質填充于上下兩片玻璃基板中，在制造的過程中難免會引入誤差，造成液晶盒表面的不平整。

一般可用正選幅度來模擬液晶盒不平整所引入的相位誤差，表示為：

式中，A表示起伏度大小；x表示液面的位置；表示起伏的均值；D為液晶移相器的孔徑寬度或直徑。不同A值對歸一化精度誤差εnorm的影響如圖8所示。

由圖8可知，A值越小，歸一化精度誤差越小。為了減小工藝誤差對指向精度的影響，應當盡量降低A的值，但是由于液晶工藝技術的限制，A值只能達到λ/20左右。

圖8 不同液晶盒波動幅度值A對歸一化精度誤差的影響

2.4 電壓量化

由于驅動芯片的量化位數有限，波控器并不能輸出任意大小的電壓，因此能加載到電極上的電壓個數是離散且數量有限的。

由圖9可知，經過電壓量化后，大部分電極產生的相位臺階高度都較理想相位臺階有不同程度的抬高或降低，部分位置相鄰兩個電極的相位量化值是相同的，造成臺階展寬。相比較理想的相位分布，量化誤差的存在對波束的偏轉角度和偏轉效率會造成影響。

圖9 理想臺階相位與存在量化誤差的臺階相位

由圖10可知，電壓量化位數越高，εnorm越低，當達到一定量化位數時趨于穩定。雖然量化位數越高，相位分布越精確，但會影響系統性能，一般量化位數為8就可滿足要求。

圖10 電壓量化位數產生的精度誤差

2.5 外加電場頻率

液晶盒電學模型可等效為一個電容和一個電阻并聯，之后再串聯一個電阻，等效電路如圖11所示。

圖11 液晶空間光調制器的等效電路

液晶的復介電常數表示為：

其中，C1為取向層電容；C2為液晶層電容；R1為液晶層電阻；C0為真空電容值；ω為外加電場的頻率；ε*為復介電常數，實部為介電常數ε，虛部為介電損耗。可由液晶分子的兩種排列狀態（垂直和平行排列）得到其復介電常數和，介電各向異性為Δε=ε∥-ε⊥。

由圖12可知，在低頻段，介電常數隨著頻率急劇下降，當頻率超過100 Hz時，趨于平穩，介電各向異性變化趨勢與介電常數相一致。

圖12 介電常數與驅動電壓頻率曲線

由液晶連續體彈性形變理論，可以推算出總的吉布斯自由能密度為：

其中，K11、K33分別為展區、扭曲、彎曲形變彈性系數；θ為液晶分子傾斜角；U為電位。采用變分原理和差分迭代法求解液晶分子指向矢分布。

由圖13可知，在靠近基板兩側，液晶分子的傾斜角最小，這是由于取向層對液晶分子的錨定作用。在基板中間位置液晶分子受電場影響較大，因此傾斜角較于兩側要大。電場頻率對液晶分子的排列狀態也有影響，但頻率達到一定程度時影響就較小。

圖13 液晶分子指向矢分布

液晶分子的有效折射率可表示為：

波束通過液晶盒后產生的相位延遲量表示為：

其中，L為液晶盒厚度。當驅動電壓頻率分別取50 Hz、100 Hz、1 000 Hz時，液晶空間光調制器驅動電壓與相位延遲量的關系如圖14所示。

圖14 驅動電壓與相位延遲量

由圖14可知，隨著驅動電壓增加，相位延遲量逐漸降低，并且呈非線性關系。可以看出頻率會影響驅動電壓與相位延遲量曲線，由式（1）可知相鄰陣元間的相位差Δφ決定波束的偏轉角度，不同的電壓相移曲線會影響波束的偏轉角度。由于電極長期在低頻交流電壓信號下容易被電解損壞，因此需要選擇高頻驅動電壓，一般選取1 000 Hz左右。

合理的參數選擇只能減少影響因素對指向精度的影響，卻不能消除，且誤差因子對指向精度的影響是一個綜合的過程，并非單純的誤差疊加。所以，在合理選擇參數值的同時，還要對各種誤差因子綜合考慮，通過優化算法調整電極電壓來消除器件制造工藝帶來的相位畸變，以此來減小誤差因素的影響。

3 算法原理及仿真結果分析

3.1 算法原理

粒子群優化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart提出的一種群體智能算法。該算法對求解的目標函數形式無要求，以歸一化精度誤差εnorm為優化目標，朝著εnorm遞減方向進行搜索，更新全局最優解，搜尋使εnorm值最小的波控電壓，實現控制變量的并行優化，具有高效性、啟發性、精度高、收斂快等優點。

優化過程：PSO算法初始化液晶相控陣波控電壓，通過兩個極值來更新自己的電壓，一個是個體極值pbesti，一個是全局最優解gbesti。每組波控電壓根據個體極值和全局最優解來更新自己的步長和電壓，粒子群中所有的波控電壓都會向使εnorm減小的方向不斷靠近。

每組波控電壓更新的公式為：

其中，w是慣性因子；c1和c2是學習因子；r1和r2是兩個在區間［0，1］均勻分布的隨機數；ui和Δui分別為第i組波控電壓的電壓和步長。

（1）設置迭代次數T，液晶相控陣設置初始電壓ui={u1,u2,u3,…,un}和步長 Δui={Δu1,Δu2,Δu3,…,Δun}，設定加速因子c1、c2和慣性權重w；

（2）給液晶相控陣加載波控電壓，計算得出每組波控電壓的個體極值pbesti、全局最優解gbesti以及歸一化精度誤差εnorm；

（3）更新每組波控電壓的個體極值pbesti以及全局最優解gbesti；

（4）更新每組電壓ui+1=ui+ Δui；

（5）精度滿足設定要求或者迭代次數達到最大，結束迭代，否則轉至步驟（2）。算法流程圖如圖15所示。

圖15 粒子群優化算法流程圖

3.2 仿真結果分析

選擇合理的器件參數，具體仿真參數：激光波長為 1.064 μm，陣元寬度 9.2 μm，占空比為100%，電極數為64，電壓量化位數為8。

由圖16可以看出，隨著迭代次數不斷增加，歸一化精度誤差收斂到了全局最優值，收斂速度快，收斂精度高。

圖16 粒子群迭代次數曲線

驗證算法的有效性，在最大偏轉角度以內（0～0.106 6 rad）選取一組角度進行仿真，優化結果如下。

由圖17可以看出，未優化之前實際偏轉角曲線存在彎曲現象（圖中箭頭所指區域），從放大區域可以清楚看出，優化前的波束偏轉角與理想角度有一定的誤差，嚴重影響了液晶相控陣的指向精度。在歸一化角度0.357 1 rad處（實際角度為0.008 3 rad）偏差較為明顯，歸一化精度誤差為εnorm=0.860 7，仿真取θspot=5.888×10-4。圖18為優化后的偏轉角度分布圖，可以看出優化后的偏轉角度已經十分接近理想偏轉角，幾乎和理想偏轉角度相一致，優化效果明顯。

圖17 優化前偏轉角度分布

圖18 優化后偏轉角度分布

由圖19可知，優化之前歸一化精度誤差較大，波束的偏轉誤差較大，優化后的εnorm下降顯著，優化前歸一化精度誤差為10-1數量級，而優化后為10-3數量級，實驗結果表明，采用粒子群優化算法可以實現比較理想的優化效果，明顯改善了液晶相控陣的指向精度。

圖19 優化前后歸一化精度誤差

4 結論

根據液晶材料的電光特性，建立非周期閃耀光柵模型，仿真建立偏轉角度與相鄰陣元間相位差的關系，通過編程實現液晶相控陣波束指向控制。分析了邊緣效應、電極占空比、液晶盒面平整度、電壓量化、外加電場頻率對指向精度的影響，應用粒子群算法消除器件制造工藝帶來的相位畸變，選取歸一化精度誤差為優化對象，搜尋最優波控電壓，減小角度偏轉誤差，提高波束指向精度。仿真結果顯示，優化后的歸一化精度誤差相比優化前的歸一化精度誤差下降了三個數量級，明顯地降低了角度的偏轉誤差，提高了波束的指向精度，優化效果顯著。