面向永磁同步電動機轉動慣量辨識的積分變換朗道離散方法

王柯，楊建中，郝勇，許光達

（國家數控系統工程技術研究中心，武漢 430070）

0 引言

永磁同步電動機（PMSM）具有結構簡單、幾何尺寸小、功率高、功率密度大、調速性能好及動態響應快等優點[1]，正在逐步替代其他電動機，成為新能源汽車、數控機床伺服系統及機器人控制等高精度控制系統中的主流選擇[2-5]。

永磁同步電動機是一個強耦合、復雜的非線性系統，所以永磁同步電動機的精確模型難以建立[6]，因此在實際的永磁同步電動機控制中普遍采用的是傳統的比例積分（PI）控制[7]，而隨著永磁同步電動機發展和廣泛應用，實際需求中對其性能要求越來越高，當整個系統的負載發生改變時，系統的轉動慣量可能會增加到原始慣量的數倍，若控制系統中PI參數仍使用根據原始轉動慣量計算得出的值，則系統的動態響應性能會降低，也可能導致系統的不穩定及超調、振蕩等問題[8]，此時需要良好的動態響應性能及抗負載擾動能力[9]，其中PI參數在控制系統中起著關鍵作用，所以需要合適的PI參數以滿足對于控制系統的性能要求[10]。為了在控制系統中獲得合適的PI參數并進一步提高系統的性能，辨識整個系統的轉動慣量是重要的一個環節。

目前，常用的轉動慣量辨識方法有最小二乘法及朗道離散時間法[11]，最小二乘法算法相對簡單且易于工程實現，但是其辨識精度較差，朗道離散時間法是一種基于模型參考自適應的方法，通過自適應辨識算法實現可調模型輸出對參考模型輸出的跟隨[12]，該方法最早由朗道于1998年提出[13]，后來也有學者對該方法及其辨識精度做了大量研究[11-12，14]，對該方法進行優化、改進，提高了轉動慣量的辨識精度及辨識速度，但都未考慮該模型在輸入數據存在噪聲時的影響，模型中的微分計算會將噪聲放大，從而使得其辨識性能下降。因此本文提出一種在模型參考自適應方法的基礎上運用積分變換的方法，以減小數據測量中的噪聲對于模型性能的影響，提高對于轉動慣量辨識的精度和速度。

1 朗道離散時間法

朗道離散時間法的本質是一種基于模型參考自適應的方法。模型參考自適應法的基本原理是：以實際系統作為參考模型，并根據參考模型建立一個含有未知參數的可調模型，通過計算比較2個模塊的輸出結果的差值，然后利用此差值構建自適應辨識的算法，計算出當前時刻辨識出的參數值，再以辨識出的參數對可調模型進行調整，并重新計算2模塊輸出的差值，再次通過自適應算法辨識參數，如此反復迭代，直至辨識結果滿足一定的收斂范圍，此時的結果便認為是辨識出的參數結果。模型參考自適應原理如圖1所示。

圖1 模型參考自適應原理框圖

將模型參考自適應方法帶入到永磁同步電動機中，首先需要考慮其機械方程：

式中：Te為永磁同步電動機輸出的電磁轉矩，N·m；J為整個系統的轉動慣量，kg·m2；ωr為電動機轉速，rad/s；B為轉子的黏滯摩擦因數；TL為電動機的負載轉矩，N·m。對于式（1）若認為黏滯摩擦因數B極小，則可以忽略Bωr，此時式（1）則變為

設系統的采樣時間為T，則將式（2）進行離散化處理后，在某一時刻k時有

同理，對于前一時刻的離散化的機械方程有

由于系統的采樣時間很短，而負載的變化周期遠大于系統的采樣周期，所以在一個周期內可以認為負載轉矩幾乎不變，即有：

將式（3）、式（4）代入式（5）整理后可以得到

將式（7）作為參考模型，實際電動機的轉速ωr（k）即為參考模型的輸出，以式（7）為基礎也可以構建可調模型，公式如下：

式中，β為自適應增益，通過選取不同的β的值可以實現對于自適應模型辨識速度和精度的調整。

2 朗道離散時間法優化

傳統的朗道離散時間法在辨識的過程中對于所考慮的輸入參數都是理想值，但是實際應用中輸入的參數基本都存在噪聲，而噪聲對朗道離散時間法辨識結果的精度有較大的影響，因此在朗道離散時間法的基礎上提出一種基于積分變換的方式，對整體模型進行優化。

對于上述傳統的朗道離散時間法而言，整個模型的輸入是電動機轉速ωr和電磁轉矩Te，上述式（7）～式（9）的離散模型均考慮的是沒有噪聲及波動的理想狀態，認為采集的ωr和Te均為一個理想值，而在實際的數據測量結果會存在噪聲影響，因此每個周期采集到的Te和ωr并非準確值，因此在式（3）中對轉速的微分進行離散化處理：

為了減小測量噪聲對辨識的影響，使用積分變換的方式對噪聲進行濾波處理，引入積分周期Ts，并對式（2）兩邊進行積分，通過累加的方式對噪聲濾波。由于J變化緩慢，在每個積分周期可近似認為不變，因此積分可提取出J，那么

這樣對存在噪聲的Te進行處理，由于噪聲在理論值基礎上正負隨機波動，通過積分的方式就可以減小噪聲影響，使結果更加趨近真正的Te積分。對于轉速而言，此時雖仍然存在轉速做差，但由于選取了更長的時間長度，噪聲的波動造成的影響比速度差值很小，所以由于時間長度增大，此時做差的噪聲影響會降低。即使轉速差值的真值變化不大，但由于時間長度選取變大，噪聲的波動平均到一段更長的時間上，其造成的影響也會降低。

同理，對于上一個積分周期應有

將式（13）整理后可以得到此時的參考模型應為

此模型即是加入積分變換后的自適應辨識模型，辨識出b*（kTs），即可以求出轉動慣量J的大小。

3 自適應增益調整

對于自適應增益模型而言，自適應增益系數β直接影響模型的辨識速度和精度。當β增大時，模型的辨識速度越快，但是辨識的誤差也會相應增大；當β減小時，模型的辨識速度下降，但辨識的精度會有所提高。因此對于自適應增益也需要對不同的情況進行調整。

如果轉動慣量J本身較小，此時b比較大，那么對于式（15）而言，噪聲波動影響很小，因此對于小轉動慣量噪聲影響小，辨識更精準，但對于大轉動慣量，b本身特別小，輕微的噪聲波動就會造成b的波動，而由于b特別小，所以就會造成J的劇烈變化，即大轉動慣量時，噪聲的波動影響要大很多。

由于β直接影響b的迭代，因此針對不同的b需要選用相適應的β進行辨識，對于β的選取考慮如下：1）當b較小時，轉動慣量大，應盡可能用較小的β減小噪聲波動，而此時若b存在微小的波動，J會有較大的變化，所以較小的β也不太會影響收斂速度，反而因為波動小，可能使得收斂更快。2）當b較大時，轉動慣量J較小，噪聲波動相對b的值較小，那么b可以快速變化，盡快收斂得到真實的b，因此b較大時可以用較大的β。由于b較大，噪聲影響小，J受噪聲波動很小，因此即使由于β較大讓其完全波動到噪聲值，離真實值偏差也不會太大，因此可以用大β，而且本來大b迭代需要的變化量大一些，所以用大β可以實現快速迭代。

同時還需要考慮在辨識的過程中，若kTs時刻辨識出的轉動慣量辨識的值與上一時刻辨識的轉動慣量之差△J（kTs）=J（kTs）-J［（k-1）Ts）］，小于上一時刻辨識的轉動慣量之差，此時需要相應地調大β以提高辨識的速度。若當辨識的轉動慣量逐漸接近實際的轉動慣量時，此時應該相應地調小β值以減小辨識結果的波動，提高辨識結果的精度，并在辨識結果的偏差達到某一精度后停止辨識。自適應增益的調增流程圖如圖2所示。

圖2 自適應增益調整流程圖

為滿足上述的設計思路，使得自適應增益可以在偏差較大時增大自適應增益以提高辨識速度，偏差較小時減小自適應增益以減小辨識誤差，自適應增益β的計算公式為

4 仿真結果

對于永磁同步電動機的控制搭建MATLAB仿真結構，如圖3所示。

根據電動機所需要運行的工況，待測電動機的各參數如表1所示。

表1 電動機參數配置表

電動機的負載轉動慣量為10 kg·m2和250 kg·m2兩個目標，因此在圖3 永磁同步電動機控制仿真結構中設置PMSM的目標轉動慣量設置分別設置為上述2個值，即目標轉動慣量J1=10 kg·m2，J2=250 kg·m2，標的轉速為ωm=1900 r/min，整個系統的控制方式采用d軸電流控為0的控制方式。

圖3 永磁同步電動機控制仿真結構

為了盡可能放大轉動慣量誤差帶來的轉速誤差，在辨識開啟階段，給目標轉速附加了一個幅值為20 r/min、周期為4 s的正弦速度波動，同時對于采集到的轉速施加的噪聲設置為ωn=10 r/min，施加速度波動和噪聲后的轉速如圖4所示。

圖4 存在噪聲的轉速

在此情況下直接使用朗道離散時間法，不加以濾波優化，則辨識出的轉動慣量結果在接近穩定時的圖像如圖5所示。若采用本文所提出的積分變換的方法，則辨識出的轉動慣量結果在接近穩定時的圖像如圖6所示。

圖5 朗道離散時間法辨識結果

圖6 采用本文方法辨識結果

由圖5可以看出，采用傳統的朗道離散時間法時，當實際轉動慣量為10 kg·m2時，辨識得到的估計值為10.2734 kg·m2，辨識的誤差為2.734%，實際轉動慣量為250 kg·m2時，辨識得到的估計值為256.2413 kg·m2，辨識的誤差為2.496%。

由圖6可以看出，采用本文優化后的辨識方法時，當實際轉動慣量為10 kg·m2時，辨識得到的估計值為10.1302 kg·m2，辨識的誤差為1.302%，實際轉動慣量為250 kg·m2時，辨識得到的估計值為253.4355 kg·m2，辨識誤差為1.137%。辨識結果總結如表2所示。

圖6 一次注射量與噴嘴的錐角α 的關系

表2 轉動慣量辨識結果仿真對比

5 結論

針對轉動慣量變化較大，且數據采集存在噪聲的情況，傳統的朗道離散時間法的精度會有所降低，為了在線辨識出精度較高的轉動慣量，本文提出一種在朗道離散時間法的基礎上的改進方法，提升了轉動慣量的辨識精度，主要包括以下兩點：1）用積分變換的方式，通過選擇合理的積分周期重新構建新的參考模型、可調模型和自適應算法，降低噪聲的影響；2）通過對自適應增益進行調整，使得模型具有較高的辨識精度和較快的辨識速度。

通過MATLAB/Simulink模型仿真，驗證了本文所提出方法的有效性。在存在噪聲的情況下，經過仿真后，改進后的方法可以對噪聲造成的影響進行有效的抑制，改進后模型辨識得到的結果比改進前方法的精度有明顯提高，能夠達到較高的精度。