人造霍爾管中的基態手性流*

關欣 陳剛 潘婧 游秀芬 桂志國

1)(太原學院材料與化學工程系,太原 030032)

2)(山西大學激光光譜研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

3)(山西大學極端光學協同創新中心,太原 030006)

4)(山東師范大學物理與電子科學學院,光場調控及應用中心,濟南 250358)

霍爾管是模擬量子霍爾效應的重要模型,卻至今沒有在超導量子電路中實現過.超導量子電路是宏觀調控量子效應的優秀平臺.本文利用超導量子電路系統的高度可調性,在超導量子電路系統中設計出了具有周期性邊界條件的三條超導比特鏈.之后利用交流微波對每個比特分別進行驅動,構造出人造霍爾管.人造霍爾管中的人造規范場可以通過選擇合適的微波相位來進行獨立調控.發現了人造霍爾管中存在不同特征的手性流,分別為Meissner 流和不同面上的渦旋流.為了判別這些流的存在,定義了四個序參量,并在參數空間中畫出了不同流之間量子相變的完整相圖.最后,提出了制備人造霍爾管基態以及探測基態手性流的可行性實驗方案.這一研究豐富了霍爾管的量子流,并且在已有的實驗系統中能夠很快實現,為探索新的量子相提供了新的途徑.

1 引言

系統的不同幾何結構總是會誘導出不同的物理特征.例如對于有磁場的兩鏈晶格系統,如果粒子按照正方形兩兩正對耦合,晶格鏈上會出現手性流[1,2],當改變耦合形式,使粒子之間交錯耦合形成Creutz ladder 時,除了手性流,在晶格鏈的邊緣還會誘導出孤立的電子態[3,4].對于有磁場的三鏈晶格系統,如果粒子按照正方形兩兩正對耦合,晶格鏈上會出現局域在鏈邊界的手性流[5,6],而粒子按照菱形結構耦合時,系統的能量會局域在兩條邊界鏈的菱形頂點,形成著名的平帶結構[7].值得強調的是,周期性邊界條件是鏈狀晶格的一個重要幾何結構,能夠誘導出豐富的物理現象,如周期性邊界條件會誘導霍爾晶格出現單粒子分數能譜,也就是著名的Hofstadter 蝴蝶能譜[8]、環面幾何結構的晶格中能夠實現Laughlin 泵浦,用來刻畫量子化的霍爾電導[9-11].最近的冷原子實驗在周期性邊界條件下,利用中性費米子的三個自旋態實現了人造霍爾管,并通過淬火動力學測量了該系統的能帶,發現了能夠預測拓撲相變的能帶閉合點[12].作為模擬二維量子霍爾效應的重要模型,霍爾管的實現引起了廣泛關注,如在霍爾管中實現可調磁通并利用這一磁通實現拓撲電荷泵浦[13]、刻畫出費米子霍爾管的多體相圖并發現了拓撲非平庸的磁性相[14].然而手性作為霍爾效應中的重要物理特征,在霍爾管中并沒有進行研究.本文就來探索這一問題.

另一方面,相比于光晶格和冷原子系統,超導量子電路作為全固態器件,在擴展性、集成性、調控性上都有更大的優勢[15-18].近年來,基于超導量子電路系統進行量子模擬在很多領域都受到了廣泛關注,如動力學量子相變[19]、多體局域化[20]、磁性[21,22]、拓撲磁子絕緣體[23]、拓撲半金屬材料[24]、強關聯量子行走[25]以及耗散穩定的Mott 絕緣體[26]等.最近,中國科技大學的朱曉波團隊[27]成功研制出了二維鏈狀的 62 比特可編程超導量子計算處理器,并完成了可編碼的量子行走.這一突破性的實驗實現了大尺寸耦合的超導量子比特,降低了尺寸效應對觀測多體量子效應的影響,為探索多體物理提供了新的途徑.另外,我們注意到,實驗上已經實現了超導比特的次近鄰耦合[28,29],因此對于一個三鏈的超導比特系統,鏈間比特兩兩耦合就會實現一個具有周期性邊界條件的管狀結構.相比于光晶格冷原子實驗中的人造維度,在真實空間中實現霍爾管更加容易調控和觀測.

本文提出了利用超導量子電路實現人造霍爾管的可行性實驗方案,首先設計出具有周期性邊界條件的三鏈比特模型,然后用交流微波驅動每一個超導比特實現霍爾管所需要的人造規范場,值得強調的是,相比于光晶格冷原子,本文所設計的人造霍爾管具有獨立可調的人造規范場.接下來探索了人造霍爾管的基態手性流,發現了Meissner 流和不同面上的渦旋流及其量子相變,并且定義了四個序參量來判別這些流的存在及相變的發生.最后在參數空間中畫出了不同手性流之間量子相變的完整相圖.另外,提出了制備系統基態以及探測這些基態手性流的實驗方案.本文的工作為在超導量子電路中探索量子霍爾效應、量子流以及量子相變提供了新的途徑.

2 理論模型

如圖1 所示,本文用transmon 比特[30]設計了一個三鏈結構的超導量子電路來實現人造霍爾管.沿著每條鏈,transmon 比特都與其最近鄰比特耦合.在每個元胞中,三條鏈上的比特之間兩兩耦合.這里,比特之間均通過電容進行耦合.能夠看到,這個系統中不僅存在比特間的最近鄰耦合,還存在次近鄰耦合.超導比特系統中這種次近鄰的比特耦合在實驗上已經實現[28,29].基于圖1(a)的超導電路,能夠寫出相應的拉氏量:

為了實現圖1(b)所示的人造霍爾管,我們利用交流微波對每個transmon 比特進行驅動.實驗上[32],每個微波驅動都可以通過磁通偏置線來實現.如圖1(a)所示,transmon 比特的約瑟夫森結是由超導量子干涉儀(SQUID)形成的等效約瑟夫森結.考慮SQUID 的兩個約瑟夫森結具有相同的能量則等效約瑟夫森能之后給每個比特外加一個磁通偏置Φνj(t),這時同一個SQUID 的兩個約瑟夫森結之間會產生Φνj(t)/?0的相位差,每個比特的勢能變為

其中,

3 基態手性流

手性是霍爾效應中十分重要的物理特征.基于手性,Meissner 到渦旋流的相變[33-35]、相互作用誘導的動力學手性流[36]、手性自旋束[37]、光子分數拓撲絕緣體[38]、拓撲超流[39]以及拓撲超導體[40]等物理現象都被觀測到.作為一個模擬整數量子霍爾效應的最小模型,霍爾管的手性是一個值得關注的問題.為了研究本文中人造霍爾管的手性,需要先給出流的概念和定義.首先,沿著A鏈、B鏈以及C鏈,第j和第j+1 個比特之間的流可以定義為

另外,還需要考慮沿著鏈之間的的流,A鏈和B鏈、B鏈和C鏈以及C鏈和A鏈上第j個比特之間的流可以定義為

基于以上流的定義,圖2 給出了在不同的參數下比特鏈上局域的基態手性流以及比特的基態態密度分布.從圖2 可以看到,這里一共有四種流,圖2(a)和圖2(b)中的流只在xy平面中,并且圖2(a)中為xy平面上的Meissner 流(下文簡稱xy-M),圖2(b)中為xy平面上的渦旋流(下文簡稱xy-V).圖2(c)中的流不僅在xy面上有渦旋流在xz面上也有渦旋流,本文稱其為雙面渦旋流(下文簡稱DV),圖2(d)中只有xz面上有渦旋流,xy面上沒有流(下文簡稱xz-V).由此可以看到,不同參數下,系統會出現不同的手性流,也就是說這里存在不同流之間的量子相變.接下來在參數空間中討論這一量子相變.

圖2 霍爾管上的流以及比特的態密度分布.箭頭的粗細表示流的強弱,紅色、藍色和黑色實心小球的大小分別表示A 鏈、B 鏈和C 鏈上比特態密度分布的多少.參數選擇分別為 (a)=1.1 和tCA=4.5;(b)=0.4 和tCA=1.8;(c)=4和tCA=4.4;(d)=2 和tCA=2 .這四個圖共同的參數是φ0=2π/3,并且所有參數均以 t0 為單位Fig.2.Currents and densities distributions on the Hall tube with (a)=1.1 and tCA=4.5;(b)=0.4 and tCA=1.8;(c)=4 and tCA=4.4;(d)=2 and tCA=2.The thicknesses of the arrow denote the currents strength.The size of the red,black,and blue filled circles indicate the densities on the A,B,and C legs respectively.Here t0 is used as the unit.The common parameter is φ0=2π/3.

首先,通過計算發現,B鏈上的流總是0,因此不再對B鏈上的流進行討論.那么,為了進一步分析流在參數空間中的變化,需定義幾個物理量,分別為

其中〈·〉G表示的是物理量的基態值.JC//表示的是系統處于基態時,A鏈和C鏈上流的差值,因此JC//的值可以用來判斷xy平面中手性流的存在,當JC//=0 時,xy平面沒有手性流,反之JC//=0時,xy平面內有手性流.JAB,JBC,JCA分別表示系統處于基態時,所有元胞中A鏈和B鏈間、B鏈和C鏈間、C鏈和A鏈間流的總和.它們的值可以用來判斷xz平面內渦旋流的存在,即當JAB,JBC,JCA不等于0 且具有相同的正負號時,xz平面存在渦旋流,否則xz平面不存在渦旋流.另外,在JC//0的情況中,如果JCA=0,xy平面的手性流是Meissner 流,如果JCA0,xy平面的手性流是渦旋流.另外,通過計算發現,在整個參數空間中,JAB和JBC的值始 終相 等,并 且JAB和JBC以及JCA的正負號始終相同.綜上,把系統中四種流的判別條件總結在表1 中.

表1 不同手性流的判別Table 1.Discriminant of the chiral currents.

圖3 參數空間中的相圖 (a)JC//;(b)JCA;(c)JAB和JBC;(d)參數空間中 -tCA 不同的相.這四個圖共同的參數是φ0=2π/3,并且所有參數均以 t0 為單位Fig.3.Phase diagram of (a)JC//,(b)JCA,(c)JABand JBCas functions of and tCA .Different phases are indicated in (d).Here t0 is used as the unit.The common parameter is φ0=2π/3 .

綜上,本文在人造霍爾管中發現了xy-M相、xy-V相、xz-V相和DV相以及它們之間的相變.

在真實的實驗中,往往無法將耦合強度的值調節到非常精確,考慮到這種情況的隨機影響,首先給出系統受到隨機影響的哈密頓量:

其中,δ ?tνj和δ ?tνν′j等于Wδ.W是隨機強度,δ∈[-0.5,0.5]是隨機數.圖4 給出了考慮隨機影響后,xy-M 相(圖4(a))、xy-V相(圖4(b))、DV相(圖4(c))和xz-V相(圖4(d))中序參量JC//,JAB,JBC和JCA的值.從圖4 可以發現,隨著 l gW的增加,這些序參量一開始變化很小,直到lgW＞-1時,這些序參量才會發生大幅的增加或減小.這說明,在一定程度的隨機誤差下,序參量的值幾乎不會受到影響,圖3 中所展示的結果依然存在.

圖4 不同參數取值下序參 量 JC//,JAB,JBC和JCA隨 l g W的變化 (a)=1 和tCA=4;(b)=0.5 和tCA=2.5;(c)=2.5和tCA=3;(d)=2 和tCA=2 .這四個圖共同的參數是φ0=2π/3,并且所有參數均以 t0 為單位Fig.4.JC//,JAB,JBC,and JCAas functions of l g Wwith (a)=1 and tCA=4,(b)=0.5 and tCA=2.5),(c)=2.5 and tCA=3,(d)=2 and tCA=2 .The common parameter is φ0=2π/3.Here t0 is used as the unit.

4 實驗觀測方案

圖5 第ν 條鏈的第j 個比特的態|ψ〉νj 在布洛赫球上的表 示.θνj和χνj分別表 示|ψ〉νj 在布洛赫球上與z 軸和x 軸的夾角Fig.5.The jth qubit located on the ν leg described in Bloch sphere.θνj (χνj)is the angle between the state|ψ〉νj and z (x)axis in the Bloch sphere.

5 結論

本文提出了在超導量子電路系統中實現人造霍爾管的可行性實驗方案,發現了人造霍爾管的基態存在不同的手性流,分別為xy-M,xy-V,xz-V 以及DV.定義了四個序參量JC//,JAB(JBC)以及JCA來判別這些流的存在.之后在參數空間t?-tCA中給出了不同流之間發生量子相變的完整相圖,并闡述了由于耦合強度和tCA競爭誘導的不同量子手性流之間的相變.人造霍爾管的基態中存在的Meissner 流和渦旋流都存在于第二類超導體中,能夠抵抗外磁場,因此Meissner 流和渦旋流的出現使人造霍爾管能夠成為很好的抗磁體.最后,提出了實驗探測基態手性流的可行性方案,具體為,利用微波脈沖對比特進行旋轉首先制備出基態,之后可以直接探測比特的態密度并利用量子態層析技術得到系統密度算符,進一步通過求跡得到比特之間的基態流以及序參量的值.本文的結果給出了霍爾管的基態手性行為,填補了霍爾管研究中手性物理的空白,同時為實驗實現霍爾管提供了新的方案,為量子相的探索提供了新的途徑.