雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統固有特性分析

莫帥，宋裕玲，馮志友，宋文浩，岑國建，黃云生

(1. 廣西大學機械工程學院，廣西 南寧，530004；2. 天津工業大學機械工程學院，天津，300387；3. 江蘇萬基傳動科技有限公司，江蘇 泰州，225400；4. 寧波中大力德智能傳動股份有限公司，浙江 寧波，315301；5. 深圳市合發齒輪機械有限公司，廣東 深圳，518100)

高性能航空旋翼機齒輪傳動系統對于提升整個裝備的負載能力和動力傳輸速度具有重要意義。經研究發現，面齒輪在傳動領域較傳統齒輪具有更大的潛在優勢，其不受徑向力的作用，對軸向誤差不敏感，傳動容差能力強，具有極其廣闊的應用前景。此外，面齒輪和直齒輪的配合可以實現動力分流和換向，具有穩定的高減速比。針對高性能航空旋翼機傳動系統重大型號需求，國外學者提出了一種航空雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統構型，以進一步提高旋翼機的性能和負載能力，該構型具有功率密度高、承載能力強、振動噪聲小、服役壽命長等優點。本文以該系統為研究對象，對其固有特性進行研究。

近年來，國內外學者對齒輪系統的固有振動特性進行了深入研究。許華超等[1]建立了柔性直齒內齒圈的振動分析模型，歸納總結了其振動模式。靳廣虎等[2]獲得了影響一種新型的面齒輪和圓柱齒輪組合傳動系統負載分配的敏感性參數。莫帥等[3]采用集中參數理論建立了面齒輪-行星傳動串聯系統的動力學模型，并對該系統的固有頻率進行求解。TAN等[4]研究了考慮電磁剛度的雙饋風力渦輪機傳動系統的模態形狀、模態能量和幅頻響應。DONG等[5]研究了飛機用面齒輪雙動力分流傳動系統的動態均載性能，找出了影響最大的因素。張俊等[6]考慮了內齒圈柔性，建立了行星齒輪傳動剛柔耦合動力學模型，并對其自由振動特性進行了理論分析。宋軼民等[7]通過計算得到了經典的3K-II型直齒行星齒輪傳動系統的固有頻率和振型。MO 等[8-9]建立了雙螺旋星形齒輪系統和人字齒輪行星系統精細的動力學模型，并利用該模型對振動和固有特性進行分析。李同杰等[10]在考慮滑動軸承因素基礎上，運用數值分析法研究了齒輪副嚙合沖擊特性的變化規律。張棟林等[11]分析了共軸對轉封閉差動輪系中固有頻率對剛度和質量的參數靈敏度以及頻率變化軌跡中的模態躍遷現象。滿維偉等[12]運用數值方法得到了齒輪副的動態傳動誤差和振動加速度等振動響應。XIAO等[13]揭示了應用在月球采樣器上的行星齒輪系統的固有振動特性。YAN 等[14]對兩級直齒錐齒輪傳動系統的非線性振動響應進行了理論分析，并對具有陀螺效應的傳動系統的固有頻率、模態振型和臨界轉速進行計算。魏靜等[15]將實驗條件更新為飛行狀態下非慣性環境，探究了各構件的動力學行為。WANG 等[16]構建了考慮多種因素的齒輪傳動渦扇發動機變速箱的非線性動力學模型，并研究了其動態響應特性。劉利等[17]揭示了系統剛度變化對固有頻率的影響規律以及固有頻率變化過程中的模態躍遷現象。LIU等[18]研究了在不同力矩和速度條件下柔性支撐對行星齒輪系統振動的影響。

從已有文獻來看，國內外學者對傳動系統的動力學特性研究主要集中于經典行星和星型齒輪傳動，對包含混交面齒輪系統的分析甚少。為此，本文作者以一種新型的雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統為研究對象，建立其動力學模型和運動微分方程，并對系統的固有頻率和模態能進行分析。

1 動力學模型

圖1 所示為雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統構型。該系統為新型復雜齒輪傳動，結合了面齒輪和直齒輪的優點，由2 個輸入級、4 個分扭級和2 個并車級齒輪副組成，左右對稱。2 臺發動機動力分兩路獨立傳遞到圓柱齒輪上并成一定夾角分支傳動，輸入圓柱齒輪同時與正交面齒輪和非正交面齒輪耦合嚙合實現“一拖二”輸入端分流傳動，分為左右兩支動力輸入端。同正交面齒輪和非正交面齒輪同軸相連的上分支圓柱齒輪同時分流至與其嚙合的下分支圓柱齒輪，上下兩層各4個直齒輪將四支動力匯流合并到大面齒輪上實現“四合一”輸出端匯流并車傳動，最后所有動力匯流經大面齒輪輸出到與其連接的螺旋槳。同時，各傳動級齒輪之間由分扭軸或雙聯軸連接固定。分扭軸上連接有面齒輪、分流主動輪和上直齒輪，雙聯軸的一端是分流從動輪，另一端是下直齒輪。

圖1 雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統Fig.1 Double input face gear split-parallel transmission system

圖2所示為基于集中參數法建立的雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統簡易動力學模型。圖2 中，T0為輸入扭矩；T1為輸出扭矩。K，C和e分別為剛度、阻尼和嚙合誤差，其對應的下標含義如下：u 表示大面齒輪；si表示第i個與大面齒輪嚙合的上直齒輪；hi表示第i個與大面齒輪嚙合的下直齒輪；sj表示輸入齒輪；lj表示輸入級的正交面齒輪；pj表示非正交面齒輪；gk_j表示主動輪齒輪副，qk_j表示從動輪齒輪副；對于連接軸，支撐lj，g1_j和si的軸命名為分扭軸Ⅰ；支撐pj，g2_j和si的軸命名為分扭軸Ⅱ；支撐q1_j和hi的軸命名為雙聯軸Ⅰ；支撐q2_j和hi的軸命名為雙聯軸Ⅱ。其中，i=1，2，3，4；k=1，2；j=L，R；L表示左側部分的構件，R表示右側部分的構件。通過分析各齒輪的運動規律和自由度，得到系統的廣義位移矩陣X為

圖2 雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統簡易動力學模型Fig.2 Simplified dynamic model of the double input face gear split-parallel transmission system

式中：x，y和z分別為每個齒輪沿相應坐標軸的位移；θ為扭轉角位移。

在動力學模型中，圓柱齒輪和輸入級正交面齒輪有3 個自由度，大面齒輪和非正交面齒輪有4個自由度，同時為每個齒輪建立坐標系，其中，在大面齒輪理想中心處建立固定坐標系OuXuYuZu，O1X1Y1Z1為建立于傳動系統左分扭軸Ⅱ和左雙聯軸Ⅱ上的齒輪坐標系，O4X4Y4Z4為建立于右分扭軸Ⅱ和右雙聯軸Ⅱ上的齒輪坐標系，O2X2Y2Z22為建立于左分扭軸Ⅰ和左雙聯軸Ⅰ上的齒輪坐標系，O3X3Y3Z3為右分扭軸Ⅰ和右雙聯軸Ⅰ上的齒輪坐標系。在此系統中，分扭級各齒輪坐標系設置相同，上、下并車級各直齒輪坐標系在大面齒輪固定坐標系中存在位置角，定義為Asi和Ahi，沿逆時針排列，依據各個齒輪在坐標軸上的振動位移進行運動微分方程的建立和求解。

2 動力學方程

2.1 相對位移

分扭級圓柱齒輪副的動力學模型描述了處于嚙合狀態的齒輪副的受力情況和相對位置關系，如圖3所示。圖4所示為并車級和輸入級齒輪副嚙合力的相互作用關系。根據理論分析可知，在齒輪嚙合過程中，齒輪副在嚙合點處會因振動位移和誤差產生微位移，在計算齒輪副的嚙合力和嚙合阻尼力時，需要將每個齒輪的微位移投影到嚙合線上，以獲得齒輪副相對位移。

圖3 分扭級圓柱齒輪副動力學模型Fig.3 Dynamic model of cylindrical gear pair of the spilttorque stage

圖4 面齒輪副嚙合力的相互作用Fig.4 Interaction relationship of the meshing forces of the face gear pairs

此系統中，上、下并車級各齒輪副的相對位移δusi和δuhi分別為：

輸入級各齒輪副的相對位移δslj和δspj分別為：

分扭級齒輪副的相對位移δgqk_j為

式中：rbsi，rbhi和rbsj分別為并車級上直齒輪、并車級下直齒輪和輸入齒輪的分度圓半徑；ru，rlj和rpj分別為大面齒輪、正交面齒輪和非正交面齒輪嚙合齒面間的法向動載荷與轉動中心之間的距離；αus，αuh，αls，αps和αgqk分別為大面齒輪和上直齒輪、大面齒輪和下直齒輪、正交面齒輪和輸入齒輪、非正交面齒輪和輸入齒輪，分流齒輪副的壓力角；eusi，euhi，elsj，epsj和egqk_j分別為大面齒輪和上直齒輪、大面齒輪和下直齒輪、正交面齒輪和輸入齒輪、非正交面齒輪和輸入齒輪以及分流齒輪副的綜合傳遞誤差。

在齒輪的加工和裝配過程中不可避免地存在誤差，如基節偏差、齒形誤差和偏心誤差等，用近似的簡諧函數對總的綜合傳遞誤差進行模擬，其表達式為

式中：e0為齒輪副綜合傳遞誤差；eb為綜合傳遞誤差變化幅值；wh為嚙合頻率；φb為初始相位角。

根據受力分析，結合相對位移可以得到該傳動系統中齒輪之間的嚙合力F和嚙合阻尼力D：

式中：Kusi，Kuhi，Klsj，Kpsj和Kgqk_j分別為大面齒輪和上直齒輪、大面齒輪和下直齒輪、正交面齒輪和輸入齒輪、非正交面齒輪和輸入齒輪、分流齒輪副之間的嚙合剛度；Cusi，Cuhi，Csj，Cpsj和Cgqk_j分別為大面齒輪和上直齒輪、大面齒輪和下直齒輪、正交面齒輪和輸入齒輪、非正交面齒輪和輸入齒輪、分流齒輪副之間的嚙合阻尼。

2.2 動力學方程

分析各構件的受力情況，依據牛頓第二定律建立各齒輪的運動微分方程(式(7)～式(14))，其中，m為質量；J為轉動慣量；T0和T1分別為作用于輸入齒輪和大面齒輪上的輸入扭矩和輸出扭矩。

大面齒輪的運動微分方程為

上直齒輪的運動微分方程為

下直齒輪的運動微分方程為

輸入齒輪的運動微分方程為

正交面齒輪的運動微分方程為

非正交面齒輪的運動微分方程為

分流齒輪副中主動輪的運動微分方程為

分流齒輪副中從動輪的運動微分方程為

式中：Ksgk_j為分扭軸中連接并車級上直齒輪和分流主動輪段的扭轉剛度；Khqk_j為雙聯軸的扭轉剛度；Kvgk_j為分扭軸連接輸入級面齒輪和分流主動輪段的扭轉剛度，其中，v=l，p，分別表示正交面齒輪和非正交面齒輪。

3 固有特性分析

3.1 固有頻率求解

通過求解動力學方程的特征值，即可獲得系統的各階固有頻率和相應振型。采用表1所示技術參數設計傳動系統，并對其固有特性進行研究。

表1 傳動系統技術參數Table 1 Technical parameters of the transmission system

固有頻率是系統固有特性的反映，只由系統本身決定。忽略慣性力以及內外激勵，利用運動方程可以得到系統簡化的無阻尼自由振動方程以及特征值方程，從而對系統的振動模態進行分析：

式中：M為質量矩陣；q為系統廣義位移矩陣；K為剛度矩陣；wi為第i階固有圓頻率，對應固有頻率fi(fi=wi/2π)；φi為對應的振型矢量(i=1，2，…，72)。傳動系統的各階固有頻率和重根數見表2。

表2 傳動系統的各階固有頻率和重根數Table 2 The natural frequencies and number of multiple roots of the transmission system

振動模式可以反映各構件的振動情況，有利于分析系統的動態特性。根據系統特征值的重根數，將對應的振型矢量進行分類，可以得到系統的振動模式。經過歸納總結，發現所研究的雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統包含多個振型，在7種重根對應的72 階固有頻率中，每一傳動級齒輪均存在獨特的平移振動模式和扭轉振動模式，如與固有頻率452 Hz(12重根)對應的振型矢量中，系統表現為分扭級直齒輪繞中心軸線作扭轉振動，其他齒輪無位移，故可定義為分扭級直齒輪扭轉振動模式；與固有頻率152 Hz(10重根)對應的振型矢量中，存在2種振動模式，即輸入級面齒輪平移振動模式和分扭級直齒輪扭轉振動模式；與固有頻率957 Hz(8 重根)對應的振型矢量中，振動模式為并車級直齒輪平移振動模式；而在重根數相同的固有頻率對應的振型矢量中，多種振動模式并存。

3.2 模態能分析

3.2.1 模態應變能

模態應變能反映了齒輪變形程度，包括嚙合應變能、支撐應變能以及扭轉應變能。因大面齒輪的質量和尺寸比其他齒輪的大，其應變能和動能也較大，故忽略其模態能。

齒輪徑向平移振動產生的支撐應變能Uf為

齒輪軸向平移振動產生的支撐應變能Ufz為

齒輪扭轉振動產生的扭轉應變能Ufθ為

齒輪嚙合變形引起的嚙合應變能Uij為

式中：Kij為各齒輪副的嚙合剛度；δij為各齒輪副的相對位移。

由式(17)～式(20)可以得到整個傳動系統在第i階模態的應變能Ui為

雙輸入面齒輪分流-并車傳動系統中各階固有頻率下的模態應變能分布狀態見圖5。從圖5(a)可見：第46 階固有頻率對應的嚙合應變能Uu_h2和Uu_h3是所有嚙合應變能中最高的。從圖5(b)可見：除大面齒輪外，其余齒輪第12 階固有頻率對應的徑向支撐應變能UpL是所有平移振動應變能中最高的，這說明并車級嚙合剛度Ku_h2，Ku_h3對第46 階固有頻率影響最大，左非正交面齒輪徑向支撐剛度KpL對第12階固有頻率影響最大。傳動系統中產生軸向平移振動的是大面齒輪和非正交面齒輪。由圖5(c)可見：左、右非正交面齒輪的軸向支撐應變能在第3～15 階固有頻率中變化，且軌跡相似。由圖5(d)可見：系統正常運行過程中，第46 階頻率下的總應變能最大，此時系統整體變形最大。

圖5 系統模態應變能Fig.5 Modal strain energy of the system

3.2.2 模態動能

模態動能反映的是齒輪振動的劇烈程度，由平移動能和扭轉動能構成。

齒輪徑向平移振動產生的動能Ef為

齒輪軸向平移振動產生的動能Efz為

齒輪扭轉振動產生的動能Efθ為

由式(22)～式(24)可以得到整個傳動系統在第i階模態的動能Ei為

圖6所示為系統模態動能在各階固有頻率下的分布狀態。從圖6(a)可見：第72 階頻率下的輸入齒輪扭轉動能最大，此時扭轉振動最劇烈。從圖6(b)可見：第69 階頻率下的輸入齒輪平移振動最劇烈，這說明輸入齒輪的質量對第69 階固有頻率影響最大，轉動慣量對第72 階固有頻率影響最大。從圖6(c)可見：左、右非正交面齒輪的軸向平移動能均在第3～15 階固有頻率中變化，且軌跡相似。從圖6(d)可見：在系統正常運行過程中，第60階頻率下的總動能最大，此時系統振動最為劇烈。

圖6 系統模態動能Fig.6 Modal kinetic energy of the system

4 系統剛度對固有頻率的影響

4.1 嚙合剛度對固有頻率的影響

保證系統中其他參數不變，若改變各齒輪副的嚙合剛度，則系統的固有頻率隨之變化，結果如圖7 所示。由圖7(a)和圖7(b)可見：輸入級正交面齒輪副和非正交面齒輪副嚙合剛度和固有頻率的關系曲線變化規律相似。隨著嚙合剛度逐漸增大，第61階和62階的固有頻率先是不斷增大，然后基本不再發生變化；第68～70階的固有頻率則先是基本不變，然后不斷增大，增大到一定程度后不再發生變化；第71階和72階的固有頻率始終呈現出上升的趨勢。

由圖7(c)可見：隨著嚙合剛度從1×109N/m 逐漸增加到1×1010N/m，第59 階和60 階的固有頻率先是不斷增大，然后不再發生變化；第66～72階的固有頻率則先是基本不變，然后不斷增大，增大到一定程度后不再發生變化，其中頻率階次越高，前期固有頻率保持不變的時間越長，后期增幅也越大。由圖7(d)可見：第61～64階固有頻率只在初始變化時有小幅增加，之后便保持不變；第65～68階的固有頻率持續增大，且變化明顯；第69～72階的固有頻率先是不變，后逐漸增大。由圖7 可知：傳動系統的各齒輪副嚙合剛度主要對高階固有頻率有影響，使其增大，對低階固有頻率無影響。

圖7 齒輪副嚙合剛度對固有頻率的影響Fig.7 Influences of gear meshing stiffness on the natural frequencies of the system

4.2 支撐剛度對固有頻率的影響

系統中傳動軸支撐剛度對固有頻率的影響如圖8 所示。設置支撐剛度從1×108N/m 增加到1×1010N/m，由圖8可以發現分扭軸Ⅰ和Ⅱ以及雙聯軸Ⅰ和Ⅱ的支撐剛度對固有頻率的影響均相似，即低階頻率基本無變化，中高階頻率隨之增大而增加。

低階固有頻率在支撐剛度初始變化時有小幅增大，之后便保持不變；在中高階頻率中，隨著支撐剛度增大，第49～50和53～58階的固有頻率持續增大，且變化范圍相當；第51和52階的固有頻率先逐漸增加，后保持不變，整體變化不大；第61和64階的固有頻率基本無變化；第65和66階的固有頻率先基本不變，然后不斷增大，增大到一定程度后不再發生變化；第67～70階的固有頻率持續增加，但中間短暫保持不變；第71和72階的固有頻率先基本不變然后不斷增大。

雙聯軸和分扭軸的不同體現在第45～48階固有頻率上，前者始終保持不變，后者在剛度增加時有微小的上升趨勢。由圖8可知：支撐剛度對高階頻率影響更大，當支撐剛度達到一定數值時，頻率隨階數增大依次逐漸增加。

圖8 支撐剛度對系統固有頻率的影響Fig.8 Influences of support stiffness on the natural frequencies of the system

4.3 模態躍遷現象

當系統剛度改變時，受影響的固有頻率曲線逐漸接近，然后在距離很近的位置以較大的曲率迅速分離，這種現象稱為模態躍遷。本文以雙聯軸Ⅰ支撐剛度和扭轉剛度、分扭級齒輪副嚙合剛度和并車級面齒輪副嚙合剛度為例，取第57 階至72階固有頻率，探究固有頻率變化軌跡中的模態躍遷現象。圖9 所示為剛度對各階固有頻率的影響。由圖9 可見：隨著剛度增大，固有頻率變化明顯，且在遇到相近頻率時產生模態躍遷現象。

由圖9(a)可見：當雙聯軸Ⅰ支撐剛度在1×108～1×1010N/m區域內變化時，在A，B，Q，D和E處的2 組固有頻率在逐漸靠近后又以不同的曲率分離，均發生了模態躍遷；由圖9(b)可見：當雙聯軸Ⅰ扭轉剛度以幾何倍數增加時，固有頻率逐漸上升，且在F和G處出現模態躍遷；由圖9(c)可見：當分扭級齒輪副嚙合剛度增加時，系統在H，I和J處產生了模態躍遷現象；由圖9(d)可見：受影響的第63和64階頻率以及第71和72階頻率在T處逐漸接近后迅速分開，第61 和62 階頻率和第69 和70 階頻率在L處逐漸接近后迅速分開，均出現模態躍遷。同時，通過對系統剛度變化過程中振動模式的對比分析，發現模態躍遷現象出現時2組固有頻率對應的模態振型發生交換，之后維持不變，直至再次遇到頻率接近時才發生模態躍遷。

圖9 剛度對系統固有頻率的影響Fig.9 Influences of stiffness on the natural frequencies of the system

模態躍遷會增加系統動力學行為的復雜性，在系統動態設計中應使剛度盡量避開模態躍遷點，進而避免系統產生多階次共振現象。

5 結論

1)在7種重根對應的72階固有頻率中，1重根對應的固有頻率數最多，且多包含高階頻率；系統包含多個振型，每一傳動級齒輪均存在獨特的平移振動模式和扭轉振動模式，重根數相同的固有頻率對應的振型矢量中，多種振動模式并存。

2)在系統正常運行過程中，第12 階固有頻率下的非正交面齒輪支撐彈性變形最大，第46 階頻率下的并車級齒輪副嚙合變形最大，第69 階頻率下的輸入齒輪平移振動最劇烈，第72 階頻率下的輸入齒輪扭轉振動最劇烈；對于總的系統模態能，第46 階頻率下的總應變能最大，此時，系統整體變形最大；第60 階頻率下的總動能最大，此時，系統振動最劇烈。

3)系統的固有頻率和各齒輪副嚙合剛度呈正相關，其中，高階頻率對嚙合剛度變化更為敏感，增幅更顯著；系統中分扭軸Ⅰ和Ⅱ以及雙聯軸Ⅰ和Ⅱ對固有頻率的影響相似，隨著剛度增大，低階頻率基本無變化，中高階頻率隨之增加，且當剛度達到一定數值后，頻率隨階數增大而逐漸增加。

4)系統剛度的變化會使固有頻率在遇到相近頻率時產生模態躍遷現象，此時，2組固有頻率對應的模態振型發生交換，之后維持不變，直至再次遇到頻率接近時才會再次發生模態躍遷；模態躍遷現象的產生意味著系統振動模式的突變，應在動態設計過程中盡可能避免該現象的發生。