基于小波變換的雙光梳高精度絕對距離測量方法

張森，王勇，何鵬，練彬，孫敬華，梅領亮

(1.廣東工業大學計算機學院，廣東廣州511400；2.東莞中科藍海智能視覺科技有限公司，廣東東莞523808；3.東莞理工學院電子工程與智能化學院，廣東東莞523808；4.東莞市三航軍民融合創新研究院，廣東東莞523808)

1 引言

長度測量始終伴隨著人類社會的進步和發展，是諸多重要科學研究的先導和基礎，直接影響裝備制造、精密加工、國防科技和航空航天技術等各個方面[1]。國際計量大會通過光速來定義長度米，因此長度的測量也與時間與頻率緊密地聯系在一起。而飛秒激光頻率梳因其具有極高的頻率精度，不僅可以當作是一把“頻率尺”，亦可以作為一把“空間尺”用于長度測量。近年來，利用飛秒激光頻率梳進行高精度絕對距離測量成為國際研究熱點。而隨著激光器光源和測距方法的不斷進步發展，測距精度也在不斷突破，從微米至納米級別，可測得的距離也可達到數千米[3]。

實驗中為了降低實驗系統的復雜性，載波包絡偏移頻率是自由運行的，所以本文采取基于飛行時間法(Time-of-flight，TOF)來實現絕對距離測量[4]，首先需要提取干涉信號(載波)的包絡線，然后對包絡線進行高斯擬合，根據擬合之后的包絡線峰值點計算測量距離。通常采用希爾伯特(Hilbert)變換算法提取信號的包絡線。2009年，美國國家標準技術研究院(NIST)的Coddington.I等人[5]使用兩臺相位鎖定的飛秒光梳，通過希爾伯特(Hilbert)變換算法得到載波信號的包絡線，計算包絡峰值點得到距離的粗測值，然后采用干涉測量法獲得更高精度的距離值。2014年，清華大學吳冠豪課題組[7]通過模擬仿真以及實驗研究了重復頻率、重復頻率差以及載波包絡偏移頻率對測距精度的影響，實驗中利用希爾伯特(Hilbert)變換算法與傅里葉變換(FFT)算法對載波提取包絡線，在通過對包絡線進行高斯擬合減小誤差，找到擬合之后包絡線的峰值點并計算距離。希爾伯特變換算法在對干擾小，噪聲小的較為平穩的信號包絡提取方面效果顯著，但由于在雙光梳測距系統中的測距信號容易受噪聲影響，從而影響測距精度。2015年天津大學梁飛、師浩森[8]等人研究了量子噪聲對雙光梳測距結果以及測量精度的影響，通過理論分析以及實驗證明了激光器量子噪聲、重復頻率的穩定性以及數據采集與處理都會影響測距精度。在使用希爾伯特變換算法對雙光梳測距信號進行包絡提取時，由于實驗過程中激光器的相位噪聲、光強波動、重復頻率的穩定性以及實驗環境都會對干涉條紋產生影響，所得到的包絡毛刺較多，包絡不夠平滑，影響最終的測距精度[10]。

而有著“數學顯微鏡”之稱的小波變換算法[11]具有多尺度分析的特點，應用的領域也十分廣泛，經常用來進行信號分析。小波變換突破了傳統傅里葉變換(FFT)的時頻局限性，通過選取不同的小波基函數可以有效在不同分辨率下對信號進行分層分析，可以有效地抑制噪聲對包絡提取的影響，得到更加理想的包絡線。1997 年張緒省[12]分別討論了希爾伯特變換與小波變換在信號包絡提取方面的應用，并進行了分析與對比，說明了小波變換在提取非穩定信號包絡方面更優于希爾伯特變換。

2 雙光梳測距原理

雙光梳的絕對距離測量實驗原理如圖1 所示。實驗采用兩臺重復頻率異步鎖定的本振光梳(LO)與信號光梳(Signal),LO的頻率為fr1，Signal的頻率fr2，兩臺激光器的重復頻率差為Δfr。信號光經過分束鏡分成兩份，分別在參考鏡(Reference)與目標鏡(Target)發生反射返回光脈沖信號，兩束光返回的時間延遲Δτ對應著距離信息如公式(3)。兩束返回光分別與LO 互相干涉，產生兩個干涉圖(一個由Reference 的反射光與LO 產生，另一個是Target 與LO 產生)。為了從干涉圖中提取距離信息，可以利用具有Δfr的重頻差的LO 激光器對Signal 信號激光器通過參考鏡與目標鏡反射回來的光脈沖進行線性光學采樣，然后通過包絡提取算法找到干涉圖的包絡線，在對包絡線進行高斯擬合并得到包絡線的峰值點位置。

圖1 雙光梳的絕對距離測量實驗原理圖

基于非線性強度互相關的異步光學采樣信號如圖2所示，經參考鏡與測量鏡反射回來的信號與本振脈沖發生干涉，會生成周期性的干涉信號，周期如下式：

圖2 非線性光學異步采樣時域干涉圖

式中：本振信號分別與參考信號以及測量信號干涉產生固定周期ΔT的干涉信號，時間延遲Δτ經異步光學采樣后被放大為干涉信號包絡峰值間隔Δt:

與目標鏡和參考鏡的之間的距離差D成正比。

相對于飛行時間法，雙光梳測距法將時間間隔放大了fr1/Δfr倍，將納秒量級Δτ放大到微秒量級Δt進行計算，從而提升測量的精度。

飛秒鎖模激光器所發射的光脈沖要考慮重復頻率fr的鎖定以及載波包絡偏移頻率fceo的變化情況。當脈沖在介質中傳播時，由于色散的作用，導致相速度和群速度不一樣，使光脈沖在諧振腔內往返一周后脈沖包絡相位與其載波相位之間會產生相位差Δφ，在時域上表現為載波與包絡的峰值不重合如圖3。而實驗中未對fceo進行鎖定，所以在基于飛行時間法的雙光梳絕對距離測量計算過程需要對載波信號進行包絡提取，找到包絡的峰值點并計算距離。

圖3 飛秒激光頻率梳時域示意圖

3 包絡解調方法

3.1 希爾伯特變換包絡解調算法

一個實信號f(t)通過希爾伯特變換后(Hilbert)定義為：

式中?表示卷積運算。

則f(t)解析信號s(t)為：

所以s(t)的幅值：

解析信號s(t)的振幅G(t)便是原信號f(t)的包絡線，解析信號s(t)的相位就是原信號的相位。

對(6)式進行傅里葉變換：

其中f(ω)是原信號f(t)的傅里葉變換，sgn(ω)為符號函數。可以看出解析信號s(t)實際是濾除了原信號在頻域部分的負頻成分，只保留了正頻部分，且幅值增大為原來的兩倍，所以Hilbert 變換算法提取非平穩信號的包絡時，容易受噪聲影響，毛刺很多，而且包絡線不夠光滑，存在大量高頻部分，影響包絡提取的精度。

3.2 小波變換包絡解調算法

3.2.1 小波變換理論

小波變換繼承和發展了短時傅里葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，可以在不同分辨率對信號進行分層分析。所謂小波變換就是通過對母小波函數ψ(t)進行一系列伸縮與平移變換后得到的不同尺度的小波系數。設尺度(伸縮)因子a,平移(位置)因子b,則其伸縮平移后得到的函數形式：

這里的母小波ψ(t)滿足，通過對母小波伸縮來實現動態分辨，當a減小時，頻率變高，時域分辨率變高，頻域分辨率降低。反之，增大a，頻率降低，時域分辨率降低，頻域分辨率升高，所以小波變換被譽為“數學顯微鏡”。

對于信號f(t)，其小波變換的定義為：

由公式(9)可知基函數會在某種尺度下與信號相乘得到一個最大值，因為此時兩種信號有一種重合關系，那么就可以得到該信號所包含的頻率成分。因此便于我們分析非穩定信號。

3.2.2 Morlet小波包絡解調算法

因為復Morlet 小波[13]在表達式上與雙光梳干涉信號相似，二者都是具有高斯包絡的調制信號，所以選擇復Morlet小波作為小波變換的小波基函數。該小波基函數表達式如下式：

其中fc是小波中心頻率，fb小波帶寬參數。

復Morlet 小波是一種常用的復數小波，是由法國J.Morlet等人提出，是一種復余弦調制的Gaussian 小波。對Morlet 小波實部與虛部分別做傅里葉變換：

由公式(11)、(12)可以看出復Morlet 小波實部與虛部具有相同的頻率成分，兩者相位差90°，兩者具有正交關系。根據信號解調理論，如果兩個信號幅值相同，相位相差90°，可以通過解調的方法找到其中的幅值分量。根據公式(9)對雙光梳測距信號f(t)進行復Morlet小波變換得到：

所以信號的包絡線為：

其中WfRe為經過小波變換后小波系數的實部，WfIm為小波系數的虛部，二者具有正交關系。隨著尺度參數與位置參數的不斷變化，當小波函數的頻率與信號的某個局部位置的頻率接近時，此時兩者的相關程度最高，從而求得信號的包絡線。

4 實驗與結果分析

此次實驗采用兩臺互相獨立的摻鉺光纖激光器，重復頻率為150MHz，兩臺激光器的重頻差約為3kHz，使用光電探測器(Photo Detector，PD)接收采樣信號，示波器的采樣率為250MHz，在50ms的采樣時間內，對150組數據進行結果分析。

實驗過程中，首先需要對采樣信號進行降噪處理。本次實驗中采用小波降噪算法，小波降噪的主要思想為對小波分解后的各層小波系數中模值大于或者小于某閾值的系數進行量化，然后對量化后的小波系數進行重構，重構后的信號就是去噪之后的信號。實驗中選擇合適的小波基函數、分解層數、閾值以及閾值函數對降噪的效果都極為重要。

實驗是使用Matlab工具對采樣信號進行處理，Matlab是一個包含大量算法的集合，方便用戶實現所需各種計算功能。利用Matlab中的小波分析工具箱，選擇小波函數以及分解層數后便于人們直觀地對信號進行分析與處理。

對重構后的信號進行包絡提取，能夠進一步提升精度。通過與不同包絡提取算法進行對比，結果表明，小波變換包絡提取算法在雙光梳測距信號中，能夠適應不同波形的信號，且包絡線較為平滑，精度較高。

將雙飛秒光學頻率梳絕對距離測距實驗采集的數據導入Matlab中，圖4為采樣信號以及重構后的信號。

圖4 采樣信號與重構信號

由圖5可以看出，希爾伯特(Hilbert)算法提取包絡線會有很多毛刺，不夠平滑，影響包絡線的精度。Envelope 函數是通過找到峰值點，然后對峰值點進行樣條插值使包絡線更加平滑，但這種方法提取的包絡線易受采樣信號中干涉條紋峰值點影響，而且由于實驗采樣數據較多，調用該函數計算時間較長。相反小波變換在雙光梳測距信號的包絡提取方面能夠不僅能降低噪聲對提取包絡的影響，而且調整小波中心頻率以及帶寬參數后，可以適應各種不同形狀的載波信號，對包絡線的提取的精度相較其他包絡提取方法也較高。

在提取包絡線后，通過高斯擬合，進一步提高包絡線的平滑度，然后找到包絡線的峰值點，計算參考信號與測量信號之間的時間間隔。表1是不同包絡提取算法在不同時間內的Al‐len方差結果。對比三種方法的結果可以發現小波變換算法在提取雙光梳測距信號包絡方面可以獲得更好的效果。

由圖中可以看出，希爾伯特(Hilbert)算法提取包絡線會有很多毛刺，包絡線不夠平滑，影響數據精度。Envelope 函數是通過找到峰值點，然后對峰值點進行樣條插值使包絡線更加平滑，但這種方法提取的包絡線易受采樣信號中干涉條紋峰值點影響，而且由于實驗采樣數據較多，調用該函數計算時間較長。相反小波變換在雙光梳測距信號的包絡提取方面能夠不僅能降低噪聲對提取包絡的影響，而且調整小波中心頻率以及帶寬參數后，可以適應各種不同形狀的載波信號，對包絡線的提取的精度相較其他包絡提取方法也較高。

在提取包絡線后，通過高斯擬合，進一步提高包絡線的平滑度，然后找到包絡線的峰值點，計算參考信號與測量信號之間的時間間隔。表1是不同包絡提取算法在不同時間內的Al‐len方差結果。對比三種方法的結果可以發現小波變換算法在提取雙光梳測距信號包絡方面可以獲得更好的效果。

表1 不同包絡提取方法的雙光梳絕對距離測量Allen方差

圖5 是通過對重構信號經過不同算法提取包絡信號的效果圖：

圖5 不同算法包絡提取結果示意圖

5 結論

本文提出的基于小波變換(采用復Morlet小波)的雙光梳測距信號包絡線提取方法，通過與希爾伯特變換(Hilbert trans‐form)包絡解調算法以及Matlab 中Envelope 函數提取信號包絡的方法進行對比實驗，驗證了小波變換具有更好的抗噪特性，能夠很好地提取雙飛秒激光測距信號的包絡線。而且通過對小波降噪處理后信號進行包絡線提取能進一步提升測距精度。