帶電粒子在環(huán)形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界探討

貴州 范鐘潤(rùn)

帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題是物理高考的熱點(diǎn)問題，該類問題的考查方式豐富，對(duì)學(xué)生的理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題能力都有較高要求，是教學(xué)中的一大難點(diǎn)，也是很多學(xué)生處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一大障礙。本文通過對(duì)2020年全國(guó)卷Ⅲ第18題和貴州省2022年適應(yīng)性考試第18題以及2022年八省T8聯(lián)考第10題分析對(duì)比，就環(huán)形磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的約束問題做出探討與歸納。

一、原題呈現(xiàn)

(2020·全國(guó)卷Ⅲ·18)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖1所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為

圖1

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(2022·貴州適應(yīng)性考試·18)如圖2所示為一磁約束裝置的簡(jiǎn)化示意圖，內(nèi)半徑為a、外半徑為3a的環(huán)狀區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。小圓區(qū)域Ⅱ中有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子在紙面內(nèi)以不同速度向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。要使所有粒子都不會(huì)穿出區(qū)域Ⅰ的外邊緣，不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用，則粒子的最大速度為

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二、分析對(duì)比

三、題目變式

【典例】?jī)?nèi)半徑為R1、外半徑為R2的環(huán)形區(qū)域中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子從S點(diǎn)射出，速度方向沿平面任意方向，大小不一。

圖3

【變式1】求最終不能射出磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速率的最大值。

【變式2】若所有粒子都不能射出磁場(chǎng)，求入射粒子速率的最大值。

【變式3】從O點(diǎn)射出的粒子，速度方向沿平面任意方向，大小不一，求最終不能射出磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速率的最大值(若所有粒子都不能射出磁場(chǎng)，求入射粒子速率的最大值)。

【變式4】從A點(diǎn)(AO=0.5R1)射出的粒子，速度方向沿平面任意方向，大小不一，求最終不能射出磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速率的最大值。

【變式5】從A點(diǎn)(AO=0.5R1)射出的粒子，速度方向沿平面任意方向，大小不一，若所有粒子都不能射出磁場(chǎng)，求入射粒子速率的最大值。

【核心要點(diǎn)】若入射粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向都不相同，那么粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圓既要縮放又要旋轉(zhuǎn)。求解思路為先定方向，再逐個(gè)研究。磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的約束需要判斷研究對(duì)象是“某一個(gè)”粒子還是“每一個(gè)”粒子，若是約束“某一個(gè)”粒子，則要求某一個(gè)粒子不能射出磁場(chǎng)，求這個(gè)粒子的最大半徑；若是約束“每一個(gè)”粒子，則要求所有粒子都不能射出磁場(chǎng)，求這群粒子的最大半徑。取部分特殊入射方向作圖，如圖4所示。

圖4

【變式3分析】當(dāng)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)，粒子在內(nèi)圓中都做勻速直線運(yùn)動(dòng)后，沿半徑方向射入環(huán)形磁場(chǎng)，取一個(gè)方向研究，即定向不定徑，故為放縮圓，作圖如圖5所示。

圖5

【變式4、5分析】通過變式3的分析，對(duì)比變式4和變式5，從A點(diǎn)(AO=0.5R1)射出的粒子都在內(nèi)圓中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，但進(jìn)入環(huán)形磁場(chǎng)的情況都不一樣，作圖如圖6、圖7所示。

圖6

圖7

由圖8可知，由于粒子入射速度的方向與內(nèi)圓半徑的夾角是變量，則需探討夾角變化情況。

圖8

故θ∈(0°，30°)，說明粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與內(nèi)圓半徑的夾角范圍是0°～30°

仍選取其中一個(gè)點(diǎn)來研究，作圖如圖9、圖10所示。

圖9

圖10

粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與內(nèi)圓半徑夾角的范圍是0°～30°，故α=60°，分別做兩個(gè)極限速度的軌跡圓，如圖10所示，當(dāng)約束的是“某一個(gè)”粒子時(shí)，最大半徑為r2；當(dāng)約束的是“每一個(gè)”粒子時(shí)，最大半徑為r1。設(shè)軌跡圓半徑與外圓半徑的夾角為β，由余弦定理可得

【歸納總結(jié)】解決該類磁約束問題，首先要判斷研究對(duì)象是“某一個(gè)”還是“每一個(gè)”帶電粒子，然后先定方向，逐個(gè)研究，再由臨界相切找出極大值。若研究對(duì)象為“某一個(gè)”粒子，則找出臨界最大半徑即可求出最大速度；若研究對(duì)象為“每一個(gè)”粒子，則應(yīng)找出臨界相切半徑的最小值，否則角度改變必有粒子射出磁場(chǎng)。2022年貴州省適應(yīng)性考試第18題就是在2020年全國(guó)卷Ⅲ第18題的基礎(chǔ)上進(jìn)行的改編，2020年全國(guó)卷Ⅲ第18題對(duì)應(yīng)變式3，2022年貴州省適應(yīng)性考試的18題對(duì)應(yīng)變式2，從學(xué)生反饋的情況來看，依然存在對(duì)知識(shí)理解不深，不懂得變通而無從下手的情況。筆者下面再以2022年八省聯(lián)考T8第10題為突破口，進(jìn)行分析。

圖11

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【說明】筆者認(rèn)為，該聯(lián)考題中“被約束相關(guān)量”的說法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，從題給選項(xiàng)來看，應(yīng)改為“被約束的某一個(gè)粒子的相關(guān)量”，希望通過本文能和大家共同探討這個(gè)問題。

圖12

【答案】ACD

【點(diǎn)評(píng)】環(huán)形磁場(chǎng)是有界磁場(chǎng)中比較難的模型，作為T8聯(lián)考的壓軸選擇題，難度非常大，本題以“磁約束”為情境載體，數(shù)理分析為方法引領(lǐng)，從物理規(guī)律出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)找臨界、求極值；本題對(duì)環(huán)形磁場(chǎng)這一模型的考查非常全面，要求學(xué)生熟練掌握帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的“放縮圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”模型，也要求學(xué)生在處理物理問題的同時(shí)，要具有敏銳的數(shù)學(xué)“嗅覺”，能夠根據(jù)相關(guān)物理量的不確定性，聯(lián)系到余弦定理、均值不等式等數(shù)學(xué)手段。本題還可以對(duì)研究對(duì)象(“某一個(gè)”或“每一個(gè)”粒子)進(jìn)行改編，是一道提升模型構(gòu)建能力、培養(yǎng)科學(xué)思維素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)題。

四、教學(xué)啟示

帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界問題是典型的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的體現(xiàn)，本文中的真題及變式的難度梯度不同，對(duì)學(xué)生的能力要求也不同，尤其是變式4和變式5，可以用在二輪或沖刺階段的訓(xùn)練中，從而強(qiáng)化關(guān)鍵能力，落實(shí)物理核心素養(yǎng)。

2020年取消考試大綱，命題無范圍，試題的命制更靈活。但現(xiàn)在的命題仍然是2019年高考考試大綱界定的考試范圍以及能力要求，雖然不同省份的能力要求有所不同，但對(duì)物理學(xué)科的能力的要求依然不變，即理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力、實(shí)驗(yàn)探究能力。近幾年高考試題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求加強(qiáng)，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)圖像描述物理過程或物理狀態(tài)的變化，以及物理建模過程，都包含了大量的數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題和物理問題相結(jié)合，成了最困擾學(xué)生的問題。在平時(shí)的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)單獨(dú)的數(shù)學(xué)問題學(xué)生能處理，而將數(shù)學(xué)問題應(yīng)用到物理情境中時(shí)，學(xué)生就解決不了。筆者認(rèn)為，主要還是因?yàn)閭鹘y(tǒng)教學(xué)過于注重解題技巧和解題經(jīng)驗(yàn)，沒有通過對(duì)學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的習(xí)慣和思維。作為一線教師，不應(yīng)照本宣科，要帶領(lǐng)學(xué)生深入研究習(xí)題，將機(jī)械地學(xué)習(xí)和解題轉(zhuǎn)化為深層的構(gòu)建，同時(shí)要淡化解題中的特殊技巧，注重原理中的通性通法，重視學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，深層次地培養(yǎng)學(xué)生的思維，從而使學(xué)生能夠處理靈活多變的問題。