拓展楞次定律的應用規則
——增平減垂

廣東 彭 戈

對楞次定律的理解與應用既是重點也是難點，更是學生學科素養的綜合體現。憑借多年教學經驗的積累，物理教師總結了一些應用規則幫助學生解決問題，如利用“增反減同”判斷感應電流的方向，利用“來拒去留”、“增縮減擴”判斷線圈的相對運動趨勢等。然而，學生對規則的濫用、誤用也是普遍存在的問題，一方面是由于學生對規則本質的理解不深刻：另一方面，是因為規則本身不夠完善。因此，筆者嘗試在一些易錯的情境中尋找第三種相對運動的趨勢，并總結出應用規則，以期展現更全面、更立體的電磁感應的動力學與功能原理。

一、原有規則只是部分適用

【例1】如圖1所示，粗糙水平桌面上有一質量為m的銅質矩形線圈。當一豎直放置的條形磁鐵從線圈中線AB正上方水平快速經過時，若線圈始終不動，重力加速度為g，則關于線圈受到的支持力FN及在水平方向運動趨勢的正確判斷是

圖1

( )

A.FN先小于mg后大于mg，運動趨勢向左

B.FN先大于mg后小于mg，運動趨勢向左

C.FN先小于mg后大于mg，運動趨勢向右

D.FN先大于mg后小于mg，運動趨勢向右

【解析】當條形磁鐵向右水平運動靠近線圈時，線圈中的磁通量增大，為了阻礙磁通量變大，根據楞次定律的應用規則——“來拒去留”，線圈在安培力作用下，有向下與向右遠離的運動趨勢，此時線圈受到的支持力FN大于mg；同理，當條形磁鐵向右水平運動遠離線圈時，線圈中的磁通量減小，為了阻礙磁通量變小，線圈在安培力作用下，有向上與向右靠近的運動趨勢，此時線圈受到的支持力FN小于mg。所以，運用“來拒去留”的規則可以快速解題，正確選項為D。

【答案】D

然而，我們從安培力的角度詳細分析一下，結果并非完全如此。自上而下看，由楞次定律可知，當條形磁鐵進入線圈時，線圈產生逆時針方向的感應電流；當條形磁鐵離開線圈時，線圈產生順時針方向的感應電流。當條形磁鐵進入線圈前，線圈左邊受到右上方向的安培力F1，如圖2甲所示；條形磁鐵進入線圈后，線圈左邊受到右下方向的安培力F2，如圖2乙所示。當條形磁鐵離開線圈前，線圈右邊受到右上方向的安培力F3，如圖2丙所示；當條形磁鐵離開線圈后，線圈右邊受到右下方向的安培力F4，如圖2丁所示。顯然，只有當條形磁鐵在線圈正上方區域時(進入后與離開前)才符合“來拒去留”規則，而條形磁鐵進入線圈前與離開線圈后并不符合。

二、第三種相對運動趨勢——旋轉

為何上述情境在條形磁體進入線圈前與離開線圈后不符合“來拒去留”，難道在這兩個過程中線圈不“想”阻礙原磁場的變化，反而“想”進一步促進磁場的變化？答案必然是否定的，因為楞次定律的實質是能量守恒定律。

問題的關鍵是在楞次定律的相關教學中，我們忽略了一個因素。楞次定律的本質是阻礙原磁場的變化，也就是有減緩線圈中磁通量變化的趨勢。磁通量Φ=BSsinθ，其中θ為磁感應強度B與線圈平面S的夾角。“來拒去留”是指磁體與線圈通過靠近和遠離，即通過趨向或躲避磁感應強度B更大的區域，來阻礙磁通量Φ的變化，這是通過改變磁感應強度B大小的方式來實現阻礙。“增縮減擴”是通過改變線圈面積大小S的方式來實現阻礙。同理，應該存在第三種運動趨勢的方式來阻礙磁通量的變化，那就是磁感應強度B與線圈平面S夾角θ的變化。當B與S垂直時，夾角θ=90°，此時磁通量Φ最大；當B與S平行時，夾角θ=0°，此時磁通量Φ為零。

是否真的存在第三種運動趨勢？如果存在，又是如何實現阻礙磁通量的變化？在例1情境中，對線圈另外一邊進行受力分析，如圖3所示。

甲

結合兩邊的受力情況進行對比分析，如表1所示。從紙面方向上看，由表1可知，條形磁鐵進入線圈前與離開線圈后，線圈在兩邊安培力作用下不僅有向右運動的趨勢，還有順時針旋轉的趨勢。條形磁鐵進入線圈前，B與S的夾角θ增大，線圈順時針旋轉可阻礙夾角增大；條形磁鐵離開線圈后，B與S的夾角θ減小，線圈順時針旋轉可阻礙夾角減小。顯然，存在著第三種運動趨勢，即通過旋轉的方式改變夾角θ，從而實現阻礙磁通量的變化。

表1

旋轉方向只有順時針與逆時針兩種，旋轉的目的是阻礙磁感應強度B與線圈平面S夾角θ的變化。當夾角θ增大時，為了阻礙其增大，線圈向與磁感應強度B平行的方向旋轉；當θ減小時，為了阻礙其減小，線圈向與磁感應強度B垂直的方向旋轉。為了方便記憶，確定規則為“增平減垂”。為了加深對這種新規則的理解，將其與原有的兩種相對運動趨勢規則進行對比，見表2。

表2

三、“增平減垂”的應用

1.解題實例

【例2】如圖4所示，一水平放置的矩形閉合線圈abcd，在細長磁鐵的N極附近豎直下落，保持bc邊在紙外，ad邊在紙內，從圖4中的位置Ⅰ經過位置Ⅱ到達位置Ⅲ，位置Ⅰ和Ⅲ都很靠近Ⅱ。在這個過程中，線圈中感應電流

圖4

( )

A.沿abcd流動

B.沿dcba流動

C.由Ⅰ到Ⅱ是沿abcd流動，由Ⅱ到Ⅲ是沿dcba流動

D.由Ⅰ到Ⅱ是沿dcba流動，由Ⅱ到Ⅲ是沿abcd流動

【解析】當線圈由位置Ⅰ到位置Ⅱ過程中，磁感應強度B與線圈平面S的夾角θ逐漸減小至零，由“增平減垂”可知，線圈有順時針旋轉(使線圈與磁感應強度垂直)的運動趨勢。本題只要求確定感應電流的方向，因此可由線圈的運動趨勢確定其受力情況，然后利用通電線圈等效為條形磁鐵的方法進一步確定感應電流的方向。為了使線圈順時針旋轉，線圈上方應等效為條形磁鐵N極，受排斥力作用；線圈下方應等效為條形磁鐵S極，受吸引力作用。根據安培定則，此時感應電流的方向為abcd。在線圈由位置Ⅱ下落到位置Ⅲ的過程中，磁感應強度B與線圈平面S的夾角θ由零逐漸增大，由“增平減垂”可知，線圈有順時針旋轉(使線圈與磁感應強度平行)的運動趨勢。同理，為了使線圈順時針旋轉，線圈上方應等效為條形磁鐵N極，受排斥力作用；線圈下方應等效為條形磁鐵S極，受吸引力作用。根據安培定則，此時感應電流的方向也為abcd。故正確答案是A。

【答案】A

這是一道考查楞次定律的經典試題，為了驗證其正確性，我們對這兩個過程的安培力進行分析，如圖5所示。可見，兩個過程中的線圈都有順時針旋轉的趨勢，并非像有的老師認為的那樣，“最優選擇是線圈向左靠近N極”，也避免學生分析類似情境時誤用“來拒去留”。

圖5

【例3】如圖6所示，在磁感應強度大小為B、方向豎直向上的勻強磁場中，有一質量為m、阻值為R的閉合矩形金屬線框abcd用絕緣輕質細桿懸掛在O點，并可繞O點擺動。金屬線框從右側某一位置靜止開始釋放，在擺動到左側最高點的過程中，細桿和金屬線框平面始終處于同一平面，且垂直紙面。則線框中感應電流的方向是

圖6

( )

A.a→b→c→d→a

B.d→c→b→a→d

C.先是d→c→b→a→d，后是a→b→c→d→a

D.先是a→b→c→d→a，后是d→c→b→a→d

【解析】當線框由右側釋放擺至最低點時，線框平面與磁感應強度的夾角θ逐漸減小至零，由“增平減垂”可知，線框有逆時針旋轉(使線圈與磁感應強度垂直)的運動趨勢。線框右側區域應等效為條形磁鐵N極；左側區域應等效為條形磁鐵S極。根據安培定則，此時感應電流方向為d→c→b→a→d。同理可判斷出，當線框由最低點擺至左側時，感應電流方向也為d→c→b→a→d。正確答案是B。

【答案】B

由以上兩例可知，通過“增平減垂”可迅速準確判斷線圈的運動趨勢，由受力情況、等效磁極的方法及結合安培定則可進一步確定感應電流的方向。

2.題型改編

【例4】如圖7所示，勻強磁場中一圓形銅線圈用絕緣細桿懸于P點，開始時處于水平位置。現釋放圓形銅線圈，運動過程中線圈平面始終與紙面垂直，當線圈第一次先后通過位置Ⅰ和Ⅱ時，順著磁場方向向右看去，線圈

圖7

( )

A.過位置Ⅰ，感應電流順時針方向，有擴張趨勢

B.過位置Ⅰ，感應電流逆時針方向，有收縮趨勢

C.過位置Ⅱ，感應電流順時針方向，有收縮趨勢

D.過位置Ⅱ，感應電流逆時針方向，有擴張趨勢

【解析】當線圈由靜止釋放到第一次通過位置Ⅰ時，線圈中的磁通量變大，根據楞次定律，順著磁場方向向右看，線圈產生逆時針方向的感應電流，為了阻礙磁通量變大，由“增縮減擴”可知，線圈有收縮的趨勢。當線圈第一次通過位置Ⅱ時，線圈中的磁通量變小，根據楞次定律，順著磁場方向向右看，線圈產生順時針方向的感應電流，為了阻礙磁通量變小，由“增縮減擴”可知，線圈有擴張的趨勢。正確答案是B。

【答案】B

然而，線圈經過位置Ⅰ與位置Ⅱ時，所受安培力的大小與方向比較復雜，絕大部分學生很難進行準確判斷。由于學生對該情境僅有“增縮減擴”的認識，他們“愿意”相信線圈所受安培力只是指向圓心(位置Ⅰ)與背離圓心(位置Ⅱ)。一些學生在對這一過程進行功能關系分析時，則會產生矛盾與困惑。如果安培力指向圓心或背離圓心，那么全程安培力不做功。如果不做功，感應電流的電能從哪來？然而，根據功能原理，安培力必然做負功。

我們試從“增平減垂”的角度進行分析。經過位置 Ⅰ時，線圈平面與磁感應強度的夾角θ增大，為阻礙夾角θ增大，從紙面方向上看，線圈有順時針旋轉(使線圈與磁感應強度平行)的趨勢；經過位置Ⅱ時，線圈平面與磁感應強度的夾角θ減小，為阻礙夾角θ減小，從紙面方向上看，線圈有順時針旋轉(使線圈與磁感應強度垂直)的趨勢。為了理解這一過程，把這個圓形線圈簡化為方形線框，如圖8所示。

圖8

從紙面方向上看，在F1與F2作用下，位置Ⅰ處的線框有順時針旋轉的趨勢；在F3與F4作用下，位置Ⅱ處的線框也有順時針旋轉的趨勢。由安培力F=BIL可知，F1=F2，F3=F4。但是F1和F4距離固定點P較遠，擺動過程中，F1對線框做的負功大于F2做的正功，F4做的負功大于F3做的正功，則全過程中安培力對線框做負功，克服安培力做功的能量轉化為產生感應電流的電能，符合功能原理。

事實上，因為旋轉這種阻礙原磁場變化的相對運動趨勢沒被提及和應用，楞次定律應用的題型設計大部分聚焦在線圈正對磁場的情況，少部分則是片面的展示物理過程，所以建議以應用“增平減垂”為基礎，設計更多存在旋轉趨勢的應用題型，豐富相關功能原理的問題設計，向學生展現更全面、更立體的電磁感應的動力學與功能原理過程。如例4，可增加對安培力做功情況的判斷等。應用楞次定律的規則解題時還須注意一點，“來拒去留”“增縮減擴”“增平減垂”這三種相對運動趨勢可以盡可能地同時進行。