巧用“四同法”與單位圓分析波形圖像與振動圖像

四川 尹愛國

機械振動與機械波相關知識都涉及描述質點振動的方向。通過兩種圖像的共同性找到相互關聯的信息，巧妙地應用“四同法”與單位圓確定質點的位置和相位，用“相鄰法”“同側法”判斷質點的振動方向與波的傳播方向，就能準確而快速地分析機械振動與機械波的相關問題。

機械振動在介質中傳播，形成了機械波。機械波的頻率等于其波源振動的頻率，將質點的振動與波的傳播緊密聯系，往往會衍生出復雜多變的問題。

機械振動的圖像描述某個質點在一段時間內的位移變化，不能表示機械波的傳播距離。機械波的圖像表示某一時刻機械波上各質點的位移。兩個圖像都涉及質點的位移與時刻，兩者如何關聯呢？我們可以用“四同法”進行關聯，即同一時刻、同一位置、同一質點、同一運動。

“同一時刻”指波形圖像和振動圖像的相同時刻；“同一位置”指特定質點在波形圖像和振動圖像的位移相同；“同一質點”指波形圖像和振動圖像研究的對象相同；“同一運動”指同一質點在波形圖像和振動圖像中的振動方向相同。

為了更好地理解和應用“四同法”，需要熟悉機械波的傳播與機械振動的相關知識。先回顧一下振動圖像和波形圖像如何表示質點振動或波的傳播方向。

一、“相鄰法”與“同側法”

振動圖像中質點振動方向的判斷可用“相鄰法”：某質點振動方向從當前時刻位置指向相鄰下一時刻的位置，如圖1中的A點和B點，tA時刻質點在yA位置，相鄰的tB時刻質點在yB位置，該點振動方向就是由yA指向yB的方向，即該質點tA時刻時沿y軸正方向振動。

圖1

通過波形圖像判斷機械波的傳播方向和質點的振動方向可用“同側法”：在研究的某一點上畫兩個箭頭，這兩個箭頭的箭尾在同一點，兩個箭頭在波形曲線的同一側，使與x軸平行的箭頭指向波的傳播方向，則與y軸平行的箭頭表示質點的振動方向。如圖2所示，在C、D兩點上分別畫出箭頭，b、c兩個箭頭與x軸平行指向波的傳播方向，a、d兩個箭頭與y軸平行，表示質點的振動方向，C點的a、b兩個箭頭在波形曲線的同側，D點的c、d兩個箭頭在波形曲線的同側。

D

圖2

二、“四同法”的具體分析

如圖3所示，圖像甲是一簡諧橫波在t=0.6 s時刻的波形圖像，圖像乙是該波上某質點的振動圖像。“同一時刻”是指t=0.6 s時刻；“同一位置”是指該時刻質點在兩圖像之中都應處在平衡位置；“同一質點”，題干設置了不確定的多解性，可以是平衡位置的所有質點，即5 m、10 m等處的質點；“同一運動”是指這些質點都沿y軸負方向振動。

甲

甲

通常情況下，往往需要將機械振動與機械波結合在一起進行分析，具體應用情境如下。

三、由波形圖像畫出振動圖像

從波形圖像可以找到某個質點的振動方向及具體位置，由此可畫出該質點的振動圖像，確定周期與時間的關系。

【例1】(多選)手持較長軟繩端點O以周期T在豎直方向做簡諧運動，帶動繩上的其他質點振動形成簡諧波沿繩水平方向傳播，如圖5所示。繩上有另一質點P，且O、P的平衡位置間距為L，t=0時，O點位于最高點，P點的位移恰好為零，速度方向豎直向上，下列判斷正確的是

圖5

( )

A.該簡諧波是橫波

B.該簡諧波的最大波長為3L

B

【思路】本題已知兩點的特征位置及距離、振動方向，分析波長需要畫出波形圖像；分析指定時刻的振動物理量，需要畫出振動圖像及單位圓確定質點的具體位置及振動情況。

圖6

甲

【答案】AC

C

A

四、由振動圖像畫出波形圖像

由振動圖像可以找到指定時刻、指定位置、相應質點的運動方向，畫出與題設對應特征的波形圖像，確定空間與波長的關系。

【例2】一個機械波的波源以坐標原點O為中心位置在y軸上做簡諧運動，其振動圖像如圖8所示，振動在介質中產生的簡諧橫波沿x軸負方向傳播，波速為5 m/s，波源振動0.6 s后立即停止運動，再經過0.4 s后的波形圖像為

圖8

( )

【思路】已知波源的振動圖像、波速和時間，分析波形圖像。先計算傳播距離，再根據波的傳播方向及質點的振動方向畫出特征位置，進一步畫出實際的波形圖像。

圖9

機械波在介質中傳播的時間為t=0.6 s+0.4 s=1 s，傳播距離x=vt=5 m，波沿x軸負方向傳播，波形最前端由x=0 m傳播到x=-5米的位置，正確答案為A。

【答案】A

五、根據文字畫出振動圖像與波形圖像

由文字信息畫出滿足題設特定條件的振動圖像和波形圖像，分析時間與周期、空間與波長的關系。

【例3】平衡位置位于原點O的波源發出的簡諧橫波在均勻介質中沿水平x軸傳播，P、Q為x軸上的兩個點(均位于x軸正方向)，P與O的距離為22 cm，此距離介于二倍波長與三倍波長之間。已知波源自t=0時由平衡位置開始向下振動，周期T=4 s。當波傳到P點時，波源恰好處于波峰位置；此后再經過21 s，平衡位置在Q處的質點第一次處于波峰位置。求P、Q間的距離。

【思路】本題沒有圖像且文字較長，需要認真閱讀抓住要點，根據空間關系及指定點的特征，畫出波形圖像確定波長，結合已知求出波速；指定點出現指定波形所需的時間，等于波傳播到指定點的時間，加上指定點振動的時間，根據速度和時間就可以求出距離；通過振動圖像分析Q點的運動有助于求出波形由P傳到Q的時間。

圖11

六、根據已知信息分析已知振動圖像和波形圖像以外的圖像

根據機械振動與機械波的相關規律分析指定質點以外的其他質點，或者指定時刻以外的其他時刻的相關振動圖像與波形圖像。

【例4】(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t時刻波形圖像如圖12實線所示，此時波剛好傳到P點，t+6 s時刻的波形圖像如圖12中虛線所示，a、b、c、P、Q點是介質中的質點，則下列說法正確的是

圖12

( )

A.這列波的波速一定是5 m/s

C.質點c在這段時間內通過的路程可能為80 cm

D.若周期T=8 s，則在t+8 s時刻，質點Q的勢能最大

【思路】本題已知兩個不同時刻的波形圖像，實線中的P點剛起振，虛線中的Q點已經振動，但是否為起振題目未說明，這里設置了一個陷阱。首先由波形圖像讀出波長，再通過兩時刻的空間關系找到時間關系，繼而進一步找到周期的表達式，有了波長和周期可分析波速；a在不同時刻的位置可由振動圖像和單位圓進行判斷和計算；c點傳到Q點的運動參數可以由振動圖像分析得出。

甲

圖14

【答案】BD

綜上可以看出，機械振動和機械波涉及的知識面廣、信息容量大。波形圖像和振動圖像從不同的方面對質點的運動信息做了描述。要快速準確分析質點的運動及波的傳播，一定要與時間、空間圖像緊密結合。分析空間與波長的關系，一定要畫波形圖像；分析質點所在位置的位移、速度、加速度、動能、勢能要結合振動圖像、單位圓圖像、振動方程、波的方程；時間與空間的聯系，振動一個周期時，機械波在介質中傳播的距離是一個波長；空間某個點一定時間內的運動情況往往要分析由波源傳遞到該點的時間和該點振動的時間。

巧妙地結合物理信息并將信息圖像化，再與物理理論結合就可以提升空間思維能力，提升解決問題、分析問題的方法和能力；巧妙地結合物理信息將信息圖像化，可以提升物理素養，提升想象力和創造力，創造更美好幸福的未來世界。