線性轉(zhuǎn)化在物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

湖北 劉萬強(qiáng) 魏朝陽

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)的重要組成部分，通過線性圖像處理數(shù)據(jù)是重要且常見的手段之一。線性圖像能夠形象、準(zhǔn)確、直觀地反映出實(shí)驗(yàn)過程的變化趨勢和特征等動(dòng)態(tài)特性，具有方便直觀、便捷準(zhǔn)確、內(nèi)涵豐富、外延深刻等優(yōu)勢。現(xiàn)筆者就線性函數(shù)的意義、線性函數(shù)的轉(zhuǎn)化和實(shí)驗(yàn)案例分析進(jìn)行討論。

一、線性函數(shù)的物理意義

圖1

二、復(fù)雜函數(shù)的線性轉(zhuǎn)化

有些按物理量的關(guān)系作出的圖像是曲線，其作圖和分析處理圖像、獲取有關(guān)參數(shù)比較困難，就需要將圖像進(jìn)行線性化，即復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用直線表示出來，將曲線改成直線。線性轉(zhuǎn)化即把A以某種準(zhǔn)則(一次函數(shù))進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，使之變換到B，這種變換就是線性轉(zhuǎn)化。線性轉(zhuǎn)化后，既便于作圖，又便于求解重要參數(shù)。常見的線性轉(zhuǎn)化有：

①y=a·xb，其中a、b為常數(shù)，則lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lga；

在高中物理實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)變量的關(guān)系若不是一次函數(shù)，就需要線性轉(zhuǎn)化。常見變量間關(guān)系的線性轉(zhuǎn)化如下表。

物理規(guī)律原始函數(shù)關(guān)系線性圖像處理特征值勻變速直線運(yùn)動(dòng)xt關(guān)系x=v0t+12at2xt=v0+12at斜率為a2,截距為v0初速為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)xt關(guān)系x=12at2x=a2·t2斜率為a2勻變速直線運(yùn)動(dòng)vx關(guān)系v2-v20=2axv2=v20+2a·x斜率為2a,截距為v20加速度a與質(zhì)量m的關(guān)系F=maa=F·1m斜率為F驗(yàn)證機(jī)械能守恒gh=12v2v2=2g·h斜率為2g

續(xù)表

三、線性轉(zhuǎn)化的案例分析

1.直接建立線性關(guān)系

【例1】(2022·湖南省學(xué)業(yè)水平選擇性考試·11)小圓同學(xué)用橡皮筋、同種一元硬幣、刻度尺、塑料袋、支架等，設(shè)計(jì)了如圖2所示的實(shí)驗(yàn)裝置，測量冰墩墩玩具的質(zhì)量。主要實(shí)驗(yàn)步驟如下：

圖2

(1)查找資料，得知每枚硬幣的質(zhì)量為6.05 g；

(2)將硬幣以5枚為一組逐次加入塑料袋，測量每次穩(wěn)定后橡皮筋的長度l。數(shù)據(jù)如下表：

序號12345硬幣數(shù)量n/枚510152025長度l/cm10.5112.0213.52415.0516.56

(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)在圖3上描點(diǎn)，繪制圖線。

圖3

(4)取出全部硬幣，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，穩(wěn)定后橡皮筋長度的示數(shù)如圖4所示，此時(shí)橡皮筋的長度為________cm.

圖4

(5)由上述數(shù)據(jù)計(jì)算得冰墩墩玩具的質(zhì)量為________g.(計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

【答案】(3)如圖5所示

(4)15.35 (5)127

【解析】(3)描點(diǎn)，連成一條平滑的直線，如圖5所示；

(4)橡皮筋的長度為15.35 cm；

2.間接建立線性關(guān)系

【例2】(2022·廣東江門一模·11)某同學(xué)利用一根壓縮的彈簧來彈開帶有遮光片的滑塊測量滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示，將木板水平固定在桌面上，彈簧的左端固定在擋板上，右端與滑塊剛好接觸(但不連接)，然后將光電門固定在木板上靠近滑塊處。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

圖6

(1)用游標(biāo)卡尺測量遮光片的寬度d，其示數(shù)如圖7所示，d=________cm；

圖7

(2)將光電門連接計(jì)時(shí)器，讓滑塊壓縮彈簧至P點(diǎn)(圖6中未畫出)，釋放后滑塊被彈開并沿木板向右滑動(dòng)，計(jì)時(shí)器記錄遮光片通過光電門的時(shí)間Δt，再測量滑塊停止時(shí)的位置與光電門的距離x，則可用________表示滑塊經(jīng)過光電門時(shí)速度的大小；

(3)改變P點(diǎn)的位置，多次重復(fù)步驟(2)；

圖8

【解析】(1)游標(biāo)卡尺的示數(shù)d=1 cm+2×0.1 mm=1.02 cm。

(4)物塊從光電門到停止運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得

μmg=ma②

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度和位移關(guān)系得v2=2ax③

數(shù)據(jù)的分析是物理實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而線性圖像處理因作圖簡便直觀、數(shù)據(jù)提取準(zhǔn)確，考查了數(shù)學(xué)工具在物理中的應(yīng)用，且對學(xué)生能力要求高，備受高考命題者的青睞。圖像的線性轉(zhuǎn)化是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的熱點(diǎn)，正確地推導(dǎo)、合理地?cái)?shù)學(xué)變形是線性轉(zhuǎn)化的難點(diǎn)，應(yīng)用線性圖像的斜率、截距、面積等特征數(shù)值是數(shù)據(jù)分析的重點(diǎn)。一線教師在中學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中歸類例析線性轉(zhuǎn)化，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用合適的數(shù)學(xué)工具處理物理問題，引導(dǎo)學(xué)生采用簡便、準(zhǔn)確、科學(xué)的方法處理數(shù)據(jù)，不僅有助于學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)探究的習(xí)慣，在一定程度上也促進(jìn)了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ奶岣摺?/p>