探究碰撞速度關系 深化碰撞作用模型
——碰撞模型的拓展與應用

湖北 許 文

碰撞是物體間相互作用的一種方式，在相互作用過程中物體的速度、動量、能量等均會發生變化。對于碰撞問題，我們一般會根據動量關系、能量關系、速度關系等進行分析與判斷，但在能量關系中往往涉及二次方程(或不等式)，運算過程較復雜。本文根據碰撞過程中物體間相互作用的特點，探究碰撞問題中隱含的速度關系，深化碰撞模型，拓展碰撞問題的分析思路，簡化解題過程，提高解題效率。

一、碰撞中兩個速度關系

物體的碰撞過程一般要經歷兩個階段。第一階段，兩物體從接觸開始相互擠壓，接觸區域因物體間的相互擠壓而發生形變，當兩物體的速度相等時形變達到最大；第二階段為形變恢復階段，可分為三種情況。(1)如果兩物體的形變完全恢復后，兩物體脫離接觸，這種碰撞稱為彈性碰撞，整個碰撞過程無機械能損失；(2)如果兩物體的形變部分恢復(未完全恢復)后，兩物體脫離接觸，這種碰撞稱為非彈性碰撞，整個碰撞過程有機械能損失，損失的機械能與物體形變恢復的程度有關；(3)如果兩物體的形變完全不能恢復，碰撞結束后粘在一起運動，這種碰撞稱為完全非彈性碰撞，相較于前兩種碰撞，完全非彈性碰撞過程損失的機械能最大。

通常情況下，由于碰撞過程時間極短，且物體間相互作用的內力遠大于外力，碰撞全程都遵循動量守恒定律。分析碰撞的相關問題，一般可用以下三個關系。(1)動量關系：動量守恒，即碰撞過程中系統的總動量守恒；(2)能量關系：動能不增，即系統碰撞前的總動能大于或等于碰撞后的總動能；(3)速度關系：速度合理，如碰前兩物體同向運動，若要發生碰撞，則有v后者>v前者；若碰后兩物體同向運動，有v后者≤v前者。

一般來說，應用以上三個關系式，就能夠對碰撞問題進行分析與判斷，但能量關系涉及二次方程(或不等式)，其運算過程較復雜且容易出錯，因此我們可根據動量與能量關系，探究碰撞中隱含的速度關系，簡化問題的分析與計算。

1.碰撞前后相對速度大小不增加

圖1

①

由能量關系有

②

③

由②式得

④

⑤

第⑤式表明，碰撞前后物體的相對速度大小不增加，即碰撞前物體的相對速度大于或等于碰后物體的相對速度(取等號時對應著彈性碰撞)。

【例1】如圖2所示，質量為m的A球沿光滑的水平面以速度v0向右運動，與靜止的質量為4m的B球發生碰撞，碰后A球以v=av0(待定系數a<1)的速率彈回，并與固定擋板P發生彈性碰撞，若要使A球能與B球能再碰，則a的取值范圍為

圖2

( )

【解析】設碰后B球的速度為vB，選取向右為正方向。

解法1：由動量關系有mv0=-mav0+4mvB

A球與擋板P碰后返回的速度大小為av0，若A球再與B球相碰，則有av0>vB

【答案】D

【例2】(原創)如圖3所示，質量為m=2 kg、長度為L=0.5 m的木板靜止在光滑的水平地面上，木板的兩端固定有彈性擋板M、N。一質量為m0=4 kg的小物塊(可視為質點)靜止在木板的中點，讓小物塊以v0=6 m/s的速度水平向左運動。已知小物塊與木板之間的動摩擦因數μ=0.1，小物塊與擋板的碰撞時間很短且沒有能量損失，重力加速度g=10 m/s2。求小物塊在木板上相對滑動的時間t。

圖3

【點評】本題求解小物塊相對木板運動的時間，若以地面為參照系，求出小物塊每次與擋板碰撞后運動的時間，再求總和，這種解題過程較為繁瑣。而上述分析求解中利用了兩物體彈性碰撞前后相對速度大小不變，選取木板為參照系，小物塊相對木板的運動等效為一個勻減速直線運動，求解過程較簡潔明了。

2.彈性碰撞速度變化對稱

由動量守恒定律有

由能量守恒定律有

兩式聯立解得

一般情況下，兩物體彈性碰撞后的速度可由上述二元二次方程組解出，但數學運算過程較復雜，其結果的表達式也難以記住，使學生將大量時間用在求解此類問題的數學運算上，導致解題效率不高。

(a)

又由m1v1+m2v2=(m1+m2)v可知，只要求出形變最大時(即發生完全非彈性碰撞時)的速度v，由以上兩式即可得出彈性碰撞后的速度，從而簡化計算過程。

【例3】(多選)質量分別為mA=1 kg、mB=2 kg的兩個小球A、B在光滑水平面上沿同一直線，同一方向運動，B球在前，A球在后，它們的速度分別為vA=6 m/s，vB=3 m/s。當A球與B球發生碰撞后，A、B兩球的速度可能為

( )

A.vA=4 m/s，vB=4 m/s

B.vA=2 m/s，vB=5 m/s

C.vA=-4 m/s，vB=6 m/s

D.vA=7 m/s，vB=2.5 m/s

【答案】AB

二、碰撞模型的拓展

碰撞過程中物體間發生相互作用，相互作用的物體可以接觸，也可以不接觸；碰撞中物體間相互作用過程可能很短暫，也可能持續一段時間。下表中列舉了幾種兩物體間的相互作用過程，這些作用過程均可等效為兩物體的碰撞過程。

類型圖例與規律(左、右兩物體的質量分別為m1、m2;水平面光滑)保守型(1)達到共速。相當于完全非彈性碰撞,系統水平方向動量守恒,有m1v0=(m+m2)v,系統損失的動能最大,分別轉化為彈性勢能、重力勢能或電勢能(2)再次分離。相當于彈性碰撞,系統水平方向動量與機械能守恒,即m1v0=m1v1+m2v2,12m1v20=12m1v21+12m2v22耗散型達到共速。相當于完全非彈性碰撞,滿足m1v0=(m1+m2)v,系統損失的動能最大,分別轉化為內能或電能

【例4】(多選)如圖5所示，質量為M的四分之一光滑圓槽B靜置于光滑水平地面上，槽底端與水平面相切，一質量為m的小球A從水平地面以初速度v0滑向圓槽，從底端沿槽上滑，未沖出圓槽，最后滑回水平地面。已知重力加速度為g。下列說法中正確的是

圖5

( )

C.小球上滑過程比下滑過程的動量變化大

D.小球上滑過程圓槽的動能增加量是下滑過程圓槽的動能增加量的3倍

【答案】AD

【例5】如圖6所示，光滑懸空軌道上靜止一質量為3m的小車A，用一段不可伸長的輕質細繩懸掛一質量為2m的木塊B。一質量為m的子彈以水平速度v0射入木塊(時間極短)，在以后的運動過程中，細繩離開豎直方向的最大角度小于90°，不計空氣阻力，已知重力加速度為g。求：

圖6

(1)木塊B能擺起的最大高度；

(2)小車A在運動過程中的最大速度大小vA。

【點評】子彈射入木塊的過程是一個完全非彈性碰撞過程，此過程中系統的動量守恒，損失的動能轉化為內能；此后木塊(含子彈)與小車通過細繩發生相互作用，木塊(含子彈)從最低點向右擺到最高點的過程等效木塊(含子彈)與小車組成的系統發生完全非彈性碰撞，損失的動能轉化為木塊(含子彈)的重力勢能；當子彈射入木塊后，木塊(含子彈)最低點擺到最高點后，又從最高點再次擺回到最低點的過程可等效為彈性碰撞過程，由彈性碰撞的相關結論，可快速得到解題結果。

碰撞過程往往會涉及動量與能量的綜合分析，涉及碰撞后物體速度的計算。本文通過對碰撞過程與特點的分析，揭示出碰撞過程中兩個隱含的速度關系，優化解題的計算過程；拓展碰撞模型，為分析此類相互作用問題建立合理的物理模型，提學生高知識的遷移與應用能力。