辨析動能定理和動量定理

山東 李德林

動能定理和動量定理都是重要的物理學規律，有些問題看似用動能定理和動量定理都能解決，實則不然，本文選取幾種學生容易出錯的物理情境并加以分析，透過表象看本質，加深學生對動能定理和動量定理的理解程度，提高學生精準選取動量定理或動能定理分析實際問題的能力，提升學生的核心素養。

1 兩定理在變力作用下的非勻變速運動中的應用

【例1】如圖所示，MN、PQ是兩條水平放置彼此平行的金屬導軌，勻強磁場的磁感線垂直導軌平面。導軌左端接阻值R=1.5 Ω的電阻，電阻兩端并聯一電壓表，垂直導軌跨接一金屬桿ab，ab的質量m=0.1 kg，電阻r=0.5 Ω。ab棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，導軌電阻不計。現用F=0.7 N的水平力向右拉ab，使之從靜止開始運動，經時間t=2 s后，ab開始做勻速運動，此時電壓表示數U=0.3 V。重力加速度g=10 m/s2，求：

(1)ab棒勻速運動時，外力F的功率；

(2)ab棒加速運動的距離。

圖1

【解析】(1)ab棒勻速運動時，電路中電流

由平衡條件可得F=BIL+μmg，代入數據可得

BL=1 T·m

所以當ab棒勻速運動時，外力的功率P=Fv=0.28 W

(2)解法1：用動量定理求解

聯立解得，ab棒加速運動的距離s=0.72 m。

解法2：用動能定理求解

聯立解得，ab棒的加速運動距離s=0.76 m

【點評】導體棒做變速運動，運動過程中受到的安培力是變力，且在動能定理和動量定理表達式中都用平均值表示，但是這兩個平均力的物理意義卻不相同。動量定理中的平均力是對時間的平均力，而動能定理中的平均力是對位移的平均力，學生出錯的原因是對平均安培力的概念認識不到位，沒有深刻理解兩種平均力的本質，導致應用時不能區分清楚。

表1

2 兩定理在連續體模型(軟繩、鏈條等)中的應用

【例2】一勻質柔軟細繩長度為L，質量為m0，堆放在光滑的水平地面上，某人手提細繩的一端，以速度v勻速豎直向上提起，求細繩全部被提起時拉力所做的功。

解法1：用動能定理解答

解法2：用動量定理解答

【點評】本題用動能定理和動量定理兩種解法看似都合理，但只要仔細分析運動過程就會發現，在由靜止變為向上運動的極短時間內，細繩的每一小段速度發生了突變，繩子的內力做了功，這個過程中有機械能的損失，可等效為完全非彈性碰撞模型，因此解法1把整個細繩整體作為研究對象，用動能定理列方程求解是錯誤的，而解法2用動量定理解答才是正確的。如果將題目的運動過程改成緩慢的拉起細繩，就不會存在速度突變，也就沒有機械能的損失，則用動能定理求解就沒有問題了。對軟繩、鏈條等連續體模型，運動過程各部分速度不同，過程中通常要注意機械能的損失，對于此類問題可以取一微小時間段建立微元模型，再用動量定理分析，進而獲得突破。

3 兩定理在物體與流體相互作用中的應用

【例3】航天器在遠離星球的宇宙空間飛行時，其他星球對航天器的萬有引力可以忽略不計，航天器不受外力作用將做勻速直線運動。假設有一航天器，正以速度v在宇宙中航行，航天器可以簡化為橫截面積為A的圓柱體。某時刻航天器將進入一大片處于靜止狀態的微隕石云層，微隕石云質量分布均勻，密度為ρ，假設微隕石碰到航天器時，立即被吸附到航天器表面。為了使航天器能以原來的速度v勻速航行，需要啟動航天器發動機，求航天器需要增加的功率應為多大？

解法1：用動能定理解答

解法2：用動量定理解答

取一微小時間段Δt，在航天器前方長度為vΔt，橫截面積為A圓柱體內的微隕石質量為m=ρAvΔt。在時間Δt內，航天器與質量為m微隕石碰撞，設航天器對隕石碰撞時的作用力為F，對質量為m的微隕石，根據動量定理得FΔt=mv，解得F=ρAv2，則航天器受到微隕石云的阻力大小也為F，因此航天器若要保持原來的速度做勻速運動，則需增加的功率為P=Fv=ρAv3。

【點評】微隕石吸附到航天器上，屬于完全非彈性碰撞模型，碰撞過程有機械能損失，解法1用動能定理求解時，只考慮了隕石增加的動能，卻沒有考慮航天器與隕石碰撞損失的機械能，因此解法1是錯誤的，解法2用動量定理解答才是正確的。

與解法2的分析結果完全相同，因此不管這一類問題是否有機械能損失，如果對能量的分析很全面，通過構建恰當的物理模型，也完全可以用能量觀點解題。

分析動力學問題，有三大基本規律，即牛頓運動定律、能量觀點和動量觀點，能量觀點和動量觀點要比牛頓運動定律的應用范圍廣，有些復雜的運動形式和作用過程，并不適合用牛頓運動定律解決，此時通常要從能量觀點和動量觀點入手分析，而動能定理和動量定理又是其中的核心規律，所以在應用時要根據具體的物理情境挖掘關鍵信息和隱含條件，建立正確的物理模型，根據建立的模型特點決定選擇使用動能定理還是動量定理，避免造成對兩個定理的濫用或混用。