多途徑搭建平臺，發展空間觀念
——“由三視圖描述幾何體”的教學及其思考

樊貞慧（浙江省寧波市第七中學）

空間觀念是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《標準》）提到的核心素養的主要表現之一。空間觀念的內涵包含了“根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象并表達物體的空間方位和相互之間的位置關系”，《標準》不僅將發展空間觀念作為核心概念和目標，同時也在三個學段都重視了發展學生空間觀念的內容設置。長久以來，傳統的教學方式往往停留在機械式地呈現立體圖形，缺少合理的組織方式，使“發展學生的空間觀念”流于形式。如何有效利用教材內容發展學生的空間觀念？筆者認為應當合理運用現實情境和學生經驗，利用多種途徑搭建平臺。下面以浙教版《義務教育教科書·數學》九年級下冊（以下統稱“教材”）“3.3 由三視圖描述幾何體”一課的教學為例，具體闡述對“空間觀念”的教學過程與思考。

一、教材分析

教材在第3章“投影與三視圖”中安排了4節課內容來學習。本節課是在學生已有投影、畫簡單幾何體的三視圖的基礎上，反過來從三視圖想象幾何體或實物模型。由于空間圖形是三維的，而平面圖形是二維的，從二維圖形向三維圖形轉換，對學生的空間想象力和推理能力有較高的要求。因此，本節課既要借助直觀使學生對抽象圖形有形象的感受，又要進一步培養學生的空間想象力，為學生學習高中立體幾何打下基礎。本節課具有承前啟后的重要作用，也是發展學生空間觀念的重要載體。本節課的教學目標是：學會根據三視圖描述出簡單幾何體的形狀或實物原型；經歷探索簡單幾何體的三視圖還原為幾何體的過程，進一步發展空間想象力；讓學生學會關注生活中有關的數學問題，提高數學應用意識，在探索中養成嚴謹思維的習慣，獲得成功的體驗。

二、教學過程設計

1. 創設情境，提出問題

上課伊始，筆者利用多媒體演示如下問題：如圖1，你能根據以下信息制作這個幾何體模型嗎？長方體的長為20 cm，寬為10 cm，高為10 cm；圓柱底面半徑為5 cm，高為10 cm。

圖1

【設計意圖】創設情境的主要目的是體現由三視圖描述幾何體的必要性。在教學片斷中創設了這樣的情境：給出一個由圓柱體和長方體組合而成的幾何體，雖然給出了圓柱體和長方體的數據，但是由于未明確給出圓柱體在長方體上的確切位置，使得學生發現這些信息不足以描述該幾何體，從而引發學生思考：是否有更好的方法描述這個幾何體？

接著，筆者介紹在實際生活中家具、汽車的建造往往從三視圖開始設計，體現三視圖描述的廣泛性和實用性，再次提出問題：如何根據三視圖想象幾何體？

【設計意圖】提出問題“能否確切描述幾何體”，讓學生初步感受三視圖描述幾何體的優越性，再通過三視圖在實際生活中的廣泛應用，啟發學生思考如何利用三視圖描述幾何體，激發學生的學習興趣和強烈的求知欲望。

2. 合作學習，探索規律

筆者出示教材中的“合作學習”，讓學生在獨立思考的基礎上進行合作交流，然后由小組學生代表進行個別回答，筆者追問：你是如何推斷的？幫助學生逐步體會從三視圖推斷幾何體的方法。

這里，對每組三視圖采用的策略是：學生描述推斷過程—電腦驗證—共同歸納方法。最后，學生談體會，從中歸納出由三視圖描述幾何體的一般方法：視圖想象、綜合定形和確定尺寸位置。

【設計意圖】學生通過獨立思考，再進行合作探究，往往會形成學生自己的個人經驗。在這個環節中，教師通過追問學生如何推斷來暴露學生的思考過程，進而固化為經驗，再上升到方法，從感性認識上升到理性認識，符合學生的心理特點，也體現了學生的實際認知過程。

為了鞏固學生體會的經驗和獲得的方法，教師設計練習：如圖2，根據兩組三視圖推斷幾何體。

圖2

【設計意圖】雖然給出兩組不同的三視圖，但是認真思考可以發現兩組三視圖描述的是同樣的幾何體——直三棱柱，使學生感受“不同的三視圖，可能表達的是同一幾何體的不同擺放方式”。通過練習，學生進一步熟悉了由三視圖推斷幾何體的方法，同時也為后續練習做了較好的鋪墊。

3. 視圖計算，體現應用

學生利用已有經驗，根據如圖3所示的三視圖，推斷其表示的幾何體，再結合相關數據計算側面積，同時歸納出計算直棱柱側面積的方法，即底面周長×高。

圖3

【設計意圖】給出視圖尺寸，將三視圖與物體更緊密地聯系起來，進一步鞏固了由三視圖推斷幾何體的方法，體現了三視圖描述幾何體的特點。

接著，筆者給出如下配套練習。

練習1：如圖4，推斷三視圖表示的幾何體，并計算側面積。

圖4

練習2：用相同大小的小立方塊搭幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖5 所示，這樣的幾何體需要幾塊小立方體？

圖5

練習3：用6個相同的小立方塊搭幾何體，它的俯視圖如圖6所示，能搭多少種不同的幾何體？

圖6

【設計意圖】三個練習依次遞進。練習1 給出了三個視圖，推斷幾何體并計算側面積，需要學生對范例進行模仿；練習2 給出兩個視圖，推斷幾何體，學生發現幾何體有多種情況；練習3 給出一個視圖，并通過同一個幾何體的不同放置方式與上述內容聯系起來。三個練習從“三視圖—二視圖—一視圖”，難度逐步提高，挑戰學生思維。

4. 寓教于樂，拓寬視野

筆者給出如下游戲：有一個人，收藏了三只形狀各異的瓶子，它們的瓶口形狀分別如圖7 ～9 所示。現在他想做一只瓶塞，對三個瓶子都適用，能做到嗎？發揮你的想象力，用橡皮泥嘗試設計。

圖7

圖8

圖9

【設計意圖】不僅在生活中可以由三視圖描述幾何體，利用三視圖也能設計游戲。在練習中，主要以規則形狀描述幾何體。為了激發學生的深度思考，本環節設計為游戲形式，加大圖形的復雜程度，利用橡皮泥，讓學生在動手、動腦中鍛煉其動手能力和空間想象力。

接著，筆者介紹數學史上著名的“牟合方蓋”，拓寬學生的視野。你能想象出三個視圖分別是兩個半徑相等的圓和一個正方形的幾何體嗎？“牟合方蓋”就是這樣的幾何體，并利用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法。

【設計意圖】本環節中通過對“牟合方蓋”的欣賞，介紹我國古代數學家的成就，體現了三視圖的廣泛應用，潛移默化地傳播了數學文化。

5. 總結歸納，反思課堂

根據三視圖描述簡單的幾何體，你有哪些方法或經驗？幫助學生整理方法。

【設計意圖】本環節的梳理由三視圖描述幾何體的方法和經驗，學生在思考整理中進一步體會推斷幾何體的方法和經驗，并在相互交流分享中共同提高。

三、教學反思

本節課從“為什么要利用三視圖描述幾何體？如何利用三視圖描述幾何體？利用三視圖描述幾何體有哪些應用？”三個方面循序漸進地整體架構教學，體現了幾何對象的研究規律，遵循了學生學習新知識的特點，注重發展學生的空間觀念，主要體現在以下三個方面。

1. 合理運用現實情境和學生經驗，發展空間觀念

空間觀念的形成基于對事物的觀察和想象，而現實世界中的物體及其關系是學生觀察的最好材料，學生的已有經驗也是觀察、想象、分析的基礎。在教學中，筆者給出學生熟悉的實物模型，讓學生感受使用三視圖描述幾何體的必要性，又通過現實生活中的汽車、家具等實物展示，通過觀察讓學生從現實模型感悟如何描述幾何體。

2. 搭建操作、思考和想象的平臺，發展空間觀念

發展學生的空間觀念有多種途徑，如生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、擺拼與畫圖、折紙與展開、分析與推理，在教學中關鍵是恰當地安排學生的活動，讓學生在活動中獲得切身的體驗。通過三個層級遞進的練習，從三視圖到二視圖再到一視圖，學生通過畫圖、思考和想象，感悟三視圖與幾何體之間的關系，培養了學生的空間想象力。

3. 及時梳理、歸納經驗強化認知，發展空間觀念

學生空間觀念的培養不是一蹴而就的，它需要經驗的不斷積累和認知的不斷強化。在本節課教學中，教材提供了三組根據三視圖想象幾何體的素材，學生通過合作學習說出結果時，筆者及時追問怎么想的，通過學生思維過程的暴露不斷總結出有序思考的經驗：視圖想象、綜合定形和確定尺寸位置。在練習中，使學生感受“不同的三視圖，可能表達的是同一幾何體的不同擺放方式”。這些經驗有助于學生更好地認識幾何體，強化對圖形的位置關系和數量關系的認識，從而發展空間觀念。