基于先驗信息的SR-STAP字典重構方法

陳懷慶，張小貝，方習高，吳 琛

(1.上海大學通信與信息工程學院，上海 200444；2.上海飛機設計研究院綜合航電系統設計研究部，上海 201210)

0 引言

空時自適應處理(space-time adaptive processing, STAP)[1]方法能夠有效地抑制雷達雜波并檢測動目標，最優STAP權向量由雜波加噪聲協方差矩陣(clutter plus noise covariance matrix，CNCM)和目標空時導向向量的逆的乘積構成[2-3]，STAP的性能取決于 CNCM的估計精度，這依賴于大量獨立同分布(independent and identically distributed, IID)的樣本數據[4]。根據RMB (reed-mallett-brennan)準則[5]，只有當IID訓練樣本數為系統自由度的兩倍時，才能保證STAP系統的性能損失小于3 dB[6-7]。然而，在實際的非平穩和非均勻環境中沒有足夠多的IID訓練樣本，這直接削弱了STAP的雜波抑制性能。為了提高STAP系統在有限訓練樣本條件下的處理性能，研究人員已經開發了許多不同類型的算法，其中降維和降秩方法都能在一定程度上解決訓練樣本不足的問題，盡管這兩類方法都可以在較少訓練樣本的條件下估計CNCM，但是在非均勻環境下的雜波抑制性能比較有限[8]。直接數據域(D3)STAP方法只使用目標單元中的快照，而不使用訓練樣本數據，可以避免訓練樣本的非均勻性，從根本上消除非均勻環境的影響，有效地抑制雜波和離散干擾[9]；然而，D3方法會造成系統自由度顯著降低，從而導致孔徑損失。

為解決上述統計類STAP方法的不足之處，研究人員逐步轉向了對稀疏恢復(sparse recovery, SR)理論的研究，基于稀疏性的算法被應用于改善STAP算法的收斂性[10]。稀疏恢復技術通過來自過完備字典的最小數量的向量來表示目標信號，可以僅利用少量的觀測樣本通過稀疏恢復算法來估計原始目標信號特征。一般來說，稀疏字典和SR算法對于獲得稀疏恢復解的準確性有著很大的影響，精確的雜波稀疏性估計對于空時自適應處理算法非常重要。常用的SR算法主要有正交匹配追蹤算法[11]、FOCUSS算法[12]以及基于貝葉斯學習[13]的稀疏恢復算法等。大多數SR-STAP方法通過離散化角度-多普勒平面來建立稀疏字典，這帶來了網格失配問題，即雜波分量不再位于字典網格上，導致稀疏恢復性能下降。為解決網格失配問題，文獻[14]提出一種基于先驗知識的稀疏字典重構方法，該方法利用系統參數獲取雜波脊線的分布位置，然后以雜波脊方向為軸構造字典網格以克服網格失配問題，但是僅適合于正側陣雷達工作環境。文獻[15]根據雷達系統參數的先驗知識和雜波脊的時空分布，設計了一個具有非均勻分布元素的自適應過完備字典，通過加大雜波脊分布區域字典的網格密度以提高系統的恢復性能，但是構造密集的稀疏字典加重了系統的運算負擔。文獻[16]提出了參數搜索正交匹配追蹤算法，該方法雖然可以在一定程度上提高雜波角度-多普勒剖面的估計精度，但依舊無法徹底消除網格失配帶來的影響。文獻[17]提出了一種原子范數最小化方法，將原子范數最小化轉化為求解半定規劃問題，但是對系統內存和計算量的需求較大，而且當雜波子空間的估計不準確時會降低恢復性能。

目前，針對網格失配問題的研究大多集中于對稀疏恢復算法的優化上，而對稀疏字典優化問題的研究較少，如何設計一個合適的字典來解決網格失配問題是SR-STAP技術的一個重要任務[18]。為此，本文提出一種基于先驗信息的SR-STAP字典重構方法。該方法利用雷達系統和機載平臺的工作參數計算雜波脊線的分布范圍，然后根據多普勒頻率和空域頻率的比值來調整空域頻率的分布間隔，并且沿雜波脊以滑窗的方式非均勻地劃分多普勒頻率來重構過完備空時字典。

1 信號模型和SR-STAP原理

1.1 信號模型及STAP基礎

圖1為一個M行N列的機載相控陣雷達天線與地面的幾何模型，其中飛行方向為X軸，θ為方位角，φ為俯仰角，θp為天線平面與飛行速度V方向的夾角，H為載機平臺垂直高度，R為雜波塊P與雷達天線間的直線距離。除此之外，設定雷達的工作波長為λ，陣元間距為d，恒定脈沖重復頻率為fr，并且在一個相干處理間隔內發送K個脈沖。

圖1 雷達天線陣列與地面的幾何模型Fig.1 Geometric model of radar antenna array and ground

忽略距離模糊性的影響，機載雷達接收到第l個距離門單元的回波數據可以表示為[19]：

(1)

式(1)中，xc和n分別表示雜波和噪聲分量，Nc表示雜波塊數量，σp、Sd和Ss分別表示為雜波塊復幅度、時域以及空域導向矢量。υ(Sd,Ss)表示為空時導向矢量，并且與Sd、Ss有以下關系：

υ(Sd,Ss)=Sd?Ss，

(2)

且有

Sd=[1,ej2πfd,…,ej(K-1)2πfd]T，

(3)

Ss=[1,ej2πfs,…,ej(K-1)2πfs]T，

(4)

其中，歸一化多普勒頻率fd和空域頻率fs可以表示為：

(5)

(6)

將多普勒頻率fd和空域頻率fs的比值稱為折疊系數(雜波脊斜率)，可以用β表示為：

(7)

通常情況下，雜波被認為是獨立且不相關的。雜波的空時統計特性一般可以用雜波協方差矩陣(clutter covariance matrix, CCM)表示[20]，其可以通過下式得到：

(8)

式(8)中，Rc為雜波協方差矩陣，Rn為噪聲分量。在實際環境中，往往不能準確地獲取協方差矩陣R，通常是由IID訓練樣本估計所得：

(9)

式(9)中，L代表IID樣本數，根據線性約束最小方差準則，STAP權矢量可通過求解下列數學優化問題獲得[19-21]：

(10)

1.2 SR-STAP原理

現實環境中的CCM通常是未知的，需要利用待檢測單元附近的訓練樣本進行估計，且根據RMB準則，當IID訓練樣本數量是自由度的兩倍時，STAP系統的性能損失才小于3 dB。在復雜環境中，很難獲得足夠的樣本來準確估計CCM。隨著稀疏恢復理論在STAP場景下的應用，使得在有限訓練樣本條件下精確估計CCM成為了可能。

與傳統STAP方法相比，SR-STAP可以利用少量的觀測樣本來高分辨恢復雜波的空時譜，從而精確地估計CCM。根據雜波在空時二維平面上分布的稀疏性，首先將空時二維平面均勻離散成Nd=ρdK，Ns=ρsN個量化單元(ρd和ρs代表空時平面的離散系數，通常有ρd，ρs?1)。這樣式(1)中的回波數據重新表示成[22]：

x=Φα+n。

(11)

在式(11)中，Φ是由空時導引矢量組成的KN×NdNs維過完備字典；α為觀測數據x的稀疏系數，對應著雜波的空時譜。根據SR理論，可以通過下式來求解α：

(12)

式(12)中，‖·‖0和‖·‖2分別為l0、l2范數，ε為噪聲對應的誤差閾值。上式的求解屬于NP-Hard問題，當α足夠稀疏時，可以通過利用凸優化或者FOCUSS等方法來近似求解，考慮到凸優化算法計算量大的問題，本文采用FOCUSS算法把式(12)轉化為以下約束優化問題并求解[23]：

(13)

P=α⊙α*，

(14)

(15)

1.3 網格失配問題

傳統SR-STAP算法在構建稀疏字典時，以ρd和ρs分別作為多普勒頻率軸和空域頻率軸的離散系數，通過對空時二維平面內的網格進行均勻過采樣以獲得過完備字典?，F有大多數的SR-STAP方法都是假設雜波脊恰好落在過完備字典的網格上，即Nd和Ns的比值等于折疊系數β的整數倍時[25]，雜波脊才能沿字典網格分布，如圖2(a)中l1所示。然而在實際情況中，折疊系數β往往與Nd和Ns的比值不相關，此時就會出現網格失配問題，即雜波分量脫離字典網格分布。圖2(a)中l2和圖2(b)分別展示了正側陣和斜側陣環境下的雜波離網分布示意圖，網格失配會導致雜波能量泄漏，從而使得雜波頻譜展寬[26]，嚴重影響CCM的估計精度，進而導致SR-STAP濾波器的雜波抑制性能降低，因此需要尋找一種新的字典構造方法來解決上述問題。

圖2 雜波分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of clutter distribution

2 基于先驗信息的非均勻字典構造方法

傳統空時字典通過將空時二維平面均勻離散化得到，其面臨的網格失配問題會嚴重影響系統的處理性能，為了解決傳統字典的網格失配問題，下面將結合算法流程圖(圖3)來介紹一種基于先驗信息的非均勻字典構造方法。

2.1 構造原始字典

如圖3中步驟1所示，將空時平面均勻離散成Nd=ρd·K、Ns=ρs·N個網格，離散后的歸一化多普勒頻率和空域頻率集合分別為{fd,i|1≤i≤Nd}、{fs,i|1≤i≤Ns}，其間隔分別為：

(16)

(17)

得到歸一化多普勒頻率和空域頻率集合后，將其帶入式(2)—式(4)便可以構造原始字典Ф：

Ф=[υ(Sd,1,Ss,1,…,υ(Sd,Nd,Ss,Ns)]。

(18)

2.2 非均勻調整字典的空時網格

構造原始空時字典后，按照圖3中的步驟2—步驟5對原始字典網格進行非均勻調整。首先利用機載平臺和雷達系統工作參數等先驗信息，并結合式(6)計算fs,i對應的雜波歸一化多普勒頻率fd′：

(19)

圖3 過完備空時字典重構流程圖Fig.3 Flow chart of over-complete space-time dictionary reconstruction

由于斜側陣天線陣列條件下雜波脊線的非線性特性，如果僅用fd′來調整空時字典多普勒頻率間隔會出現字典網格過密集或過稀疏的情況。為了避免出現此問題，根據Δβi來調整原始字典的空域頻率集合{fs,i}和空域頻率間隔Δs：

1)當Δβi>1時，將[fs,i,fs,i+1]均勻離散化為p個小區間:[fs,i,fs,i+1,…,fs,i+p-1]，并更新其對應的空域頻率間隔Δs=Δs.i/p。其中p的值取不小于Δβi的最小整數。

2)當Δβi<α時，將[fs,i,fs,i+1]進行合并，此時新的空域頻率間隔Δs=2Δs,i。根據經驗，α值取0.4時的效果較好[27]。

調整完原始字典的空域頻率后，按照式(19)更新其對應的fd′，然后在此基礎上，沿雜波脊線取滑窗來調整字典的多普勒頻率，當原始空時字典的縱軸多普勒頻率位于滑窗范圍內時，非均勻地重新調整劃分原始字典的fd,i，具體步驟如下：

固定空域頻率fs,i，從大到小依次遍歷多普勒頻率fd,i。

(20)

(21)

把滑窗范圍內的多普勒頻率替換為更新后的fd,i′，而滑窗范圍外的歸一化多普勒頻率不變。

3)繼續遍歷fs,i、fd,i并移動滑窗，直至所有范圍內的字典網格調整完成。

最后，待所有字典范圍內的多普勒頻率和空域頻率網格調整完成后，將更新后的fs,i和fd,i代入式(18)得到非均勻空時字典Φ′。

3 仿真實驗

對本文所提的空時字典重構方法、傳統字典的SR-STAP方法和最優STAP方法進行仿真實驗，通過對比、分析實驗結果來說明本文方法的有效性。實驗所涉及的系統參數信息如表1所示。

表1 系統參數Tab.1 System parameters

3.1 雜波空時功率譜對比

仿真實驗1分別在正側陣和斜側陣環境下，對三種不同方法所構造的雜波空時功率譜進行了對比分析。其中功率譜采用空時二維Capon譜分析方法，其計算公式為[25]：

(22)

圖4為正側陣環境下最優STAP、傳統SR-STAP方法和本文所提方法所構造得到的雜波空時功率譜。圖4(a)提供了最優STAP計算的雜波功率譜，在整個角度-多普勒平面內沿著一條斜率為β=0.6的直線均勻連續分布。而在圖4(b)中，因為網格失配問題的存在，傳統SR-STAP所恢復構造的雜波功率譜不再收斂到雜波脊線上，存在明顯的頻譜擴展現象，這會降低系統的雜波抑制性能，這一點將在后面的改善因子仿真中得以體現。而本文所提方法借助機載平臺和雷達系統工作參數等先驗信息重構了SR空時字典，使字典網格能夠匹配真實雜波分量的分布，極大抑制了網格失配的影響，圖4(c)清晰地展示了該方法重構雜波功率譜的效果，幾乎和最優STAP計算的雜波功率譜分布一致。

圖4 正側陣(β=0.6)的雜波空時功率譜Fig.4 Clutter space-time power spectrum of side-looking array(β=0.6)

圖5是斜側陣環境下三種方法得到的雜波空時功率譜。圖5(a)首先展示了最優STAP計算的雜波功率譜，理想情況下雜波沿曲線收斂分布。由于斜側陣下的雜波分布軌跡為一條曲線，其網格失配現象進一步惡化，對于圖5(b)所示的傳統SR-STAP方法，其功率譜不僅更為發散，而且出現了較多的偽峰。圖5(c)中的雜波功率譜雖然也出現了一些波動，但經過字典的非均勻重構后，雜波譜依舊可以較好地收斂到雜波脊上。因此在面臨網格失配問題的情況下，本文所提方法的稀疏恢復性能相較于傳統SR-STAP方法有著明顯的提升。

圖5 斜側陣(θp=30°)的雜波空時功率譜Fig.5 Clutter space-time power spectrum of non-side-looking array(θp=30°)

3.2 CCM特征譜對比

為了進一步說明本文所提方法的優點，仿真實驗2展示了三種方法在正側陣環境下獲得CCM的特征譜，特征譜可以從協方差矩陣自由度(大特征值個數)的方面來解釋各方法所構造CCM的準確性。根據RMB準則，理想情況下，雜波自由度為Mr=N+β(K-1)=25。根據圖6中的仿真實驗結果可以很直觀地看出，所提方法的特征譜表現出與最優STAP情況相似的形式，在Mr=25附近，特征值急速減小，表明該方法可以準確地估計雜波子空間來計算CCM。而傳統的空時字典對應SR-STAP得到的雜波協方差矩陣的大特征值個數明顯增加，表明其不能準確地估計雜波子空間，從而會進一步影響系統的雜波抑制性能。

圖6 雜波協方差矩陣特征譜Fig.6 Characteristic spectrum of clutter covariance matrix

3.3 系統剩余輸出功率對比

在仿真實驗3中，分別使用傳統SR-STAP方法和本文所提方法對樣本數據進行濾波，圖7為正側陣和斜側陣環境下的距離向剩余輸出功率。特別說明，在第256號距離門處都加入了一動目標信號。由實驗結果可知，兩種方法構成的自適應STAP濾波器都可以檢測出待測距離單元的目標信息，但相比于傳統SR-STAP方法，本文所提方法的剩余雜波功率較小，體現了更強的雜波抑制和動目標檢測能力。

圖7 剩余輸出功率Fig.7 Residual output power

3.4 系統改善因子對比

為了評估各方法的雜波抑制性能，通常用改善因子作為衡量標準，其公式定義為[19]：

(23)

圖8為三種方法系統改善因子的對比圖，從中可以看出，本文所提方法的系統改善因子更接近于最優STAP方法，性能損失小于3 dB，這一點符合RMB準則的預期。而由于網格失配問題的存在，導致傳統SR-STAP方法不能準確地估計CCM，降低了系統的雜波抑制能力。正側陣環境下，本文所提方法比傳統SR-STAP方法在旁瓣和主瓣處的改善因子分別提升了2.69 dB、12.07 dB；在斜側陣中，本文所提方法在旁瓣和主瓣處的改善因子也有著3.24 dB和5.67 dB的提升。由此不難看出，相比較于傳統SR-STAP方法，本文所提方法的系統改善因子的旁瓣處損失更小。此外，改善因子位于主瓣處的凹口更窄更深，不僅擁有更好的雜波抑制能力，而且較窄的凹口可以避免主雜波附近的目標信號被抑制。而傳統SR-STAP方法由于不能準確地恢復CCM，其系統的處理效果受到了較大的影響，特別是在斜側陣環境下，傳統SR-STAP方法的性能進一步惡化。

圖8 系統改善因子Fig.8 System improvement factor

3.5 參數誤差對系統性能的影響分析

本文所提方法借助雷達系統和機載平臺的工作參數信息重構了稀疏字典，參數的準確性對于該方法的系統性能非常關鍵。下面以正側陣為例來分析當式(7)中的參數出現誤差時的系統性能。由圖9可知，參數誤差會對該方法的系統性能造成一定的影響，其主要表現為旁瓣處的系統改善因子會隨著參數誤差的增大而不斷減小，而且主瓣處的凹口也會不斷增寬，較寬的凹口不利于系統檢測慢速目標。因此，為了使該方法能夠更好地抑制雜波，需要獲得準確的系統參數信息。

圖9 不同參數誤差情況下的系統改善因子Fig.9 System improvement factor in the case of different parameter errors

4 結論

本文提出一種基于先驗信息的SR-STAP字典重構方法。該方法利用雷達系統和機載平臺的工作參數計算雜波脊線的分布范圍，適當地調整空域頻率的分布間隔，并以滑窗的方式非均勻地調整原始字典的多普勒頻率網格，進而得到重構后的稀疏字典。仿真實驗表明，與傳統字典的SR-STAP方法相比，本文所提的字典重構方法能夠更好地匹配雜波分量的分布，不僅有效地解決了網格失配問題，而且有效改善了系統的雜波抑制和動目標檢測能力。但是當重構稀疏字典所用的參數信息存在誤差時，該方法的系統性能會受到一定的影響，未來將對此做進一步研究。