導(dǎo)數(shù)恒成立中同構(gòu)問題探究

安徽 胡守強

導(dǎo)數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，更是高考考試的熱點.研究近年高考試題可以發(fā)現(xiàn)，在導(dǎo)數(shù)問題中，關(guān)于同構(gòu)類型的題目出現(xiàn)頻率有著顯著提高.結(jié)合平時教學(xué)發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對導(dǎo)數(shù)問題缺乏自信.本文主要是研究導(dǎo)數(shù)恒成立中的同構(gòu)問題，什么是同構(gòu)，同構(gòu)的常見類型等.

一、下面是一道經(jīng)典放縮同構(gòu)的函數(shù)題

【案例1】已知不等式xex≥ax+lnx+1恒成立，求a的取值范圍.

所以可得a的取值范圍為(-∞,1].

解題心得:本題是導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型中恒成立問題，如果學(xué)生直接對f(x)進行求導(dǎo)，求其最小值，可能會非常麻煩，導(dǎo)致無法求解.通過應(yīng)用ex≥x+1構(gòu)造函數(shù)，進行放縮，避免了指、對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)的煩瑣，降低了解題難度.

二、關(guān)于同構(gòu)問題常見類型如下

1.地位等同同構(gòu)，主要是針對雙變量

在解析幾何中的應(yīng)用：如果A(x1,y1),B(x2,y2)滿足的方程為同構(gòu)式，則A,B為方程所表示曲線上的兩點.則該方程即為直線AB的方程.

對于含有同等地位的兩個變量的方程進行變形，是常見變形，通過變形整理后的不等式兩邊具有相同結(jié)構(gòu)(函數(shù)同構(gòu)),往往通過函數(shù)的單調(diào)性進行求解，這類同構(gòu)也是比較基礎(chǔ)的一類，學(xué)生也易于掌握.

2.指、對數(shù)同構(gòu)，左、右同取對數(shù)或指數(shù)

(1)積型同構(gòu):aea≤blnb?

在積型同構(gòu)中，通過兩邊同時取對數(shù)方式求解最為便捷，然后應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì).

(3)和差型同構(gòu)：ea±a>b±lnb?

例如：eax+ax>ln(x+1)+x+1?eax+ax>eln(x+1)+ln(x+1)?f(x)=ax-ln(x+1).

因為lnx≥1,m>0,且當(dāng)x≥e時，g′(x)=(x+1)ex>0,

得g(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增，

令h(x)=xlnx,h′(x)=lnx+1>0,h(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增,

所以h(x)的最小值為h(e)=e,所以m≤e,即m的最大值為e.

設(shè)計意圖:讓學(xué)生找出相同的同構(gòu)函數(shù)，體會如何變成積型同構(gòu)，理解積型同構(gòu)的三種處理方法.

3.拼湊型同構(gòu)，無中生有同構(gòu)法

(1)aeax>lnx?axeax>xlnx?elnaxeax>xlnx?積型同構(gòu).

(2)ex>aln(ax-a)-a?ex-lna-lna>ln(x-1)-1?ex-lna+x-lna>ln(x-1)+x-1=eln(x-1)+ln(x-1)?x-lna>ln(x-1).

說明：因為ax和logax互為反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可以直接由ax>logax得到ax>x,對于某些隱藏比較深的不等式，通過觀察左、右兩邊是否互為反函數(shù)，再利用反函數(shù)的性質(zhì)，對左、右兩邊同時取對數(shù)，會有意想不到的效果.

【案例3】求函數(shù)f(x)=2x2e2x+lnx的零點個數(shù).

解析：方法一(比形同構(gòu))：

令f(x)=2x2e2x+lnx=0,則

令m(x)=lnx+2x,因為m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

方法二(換元同構(gòu))：

令t=2x2e2x,則lnt=2x+ln2+2lnx,

令f(x)=lnx+t=0,

所以lnt=lnx-t+2x+ln2?lnt+t=ln2x+2x,

令g(x)=lnx+x,g(t)=g(2x).

因為g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則t=2x，

設(shè)計意圖:讓學(xué)生體會指、對數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，通過拼湊，構(gòu)造相同格式的函數(shù)，加深學(xué)生對同構(gòu)本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),再通過換元利用單調(diào)性進行求解.

4.切線放縮，主要是局部放縮

(1)指數(shù)式ex的常見放縮

常見變形:①xex=ex+lnx≥x+lnx+1；

(2)對數(shù)式lnx的常見放縮

②lnx≤x-1?lnx≤ex-2；

說明：指、對數(shù)進行放縮變換在最近幾年出現(xiàn)的試題或者高考題中的頻率顯著提升，特別是關(guān)于指、對數(shù)結(jié)合不等式中恒成立問題，通過局部放縮變換會有意想不到的效果.

三、典例賞析

【例1】(2021·八省(市)聯(lián)考·8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( )

A.c

C.a

當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0,x∈(1,+∞)時,f′(x)>0，

又a<5,b<4,c<3,

所以a,b,c∈(0,1),且f(a)>f(b)>f(c),

所以0

【例2】(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析：由題設(shè)知2a+log2a=4b+2log4b=22b+log4b2.

又因為log4b2=log2b=log22b-1，

所以2a+log2a=22b+log22b-1,

從而2a+log2a<22b+log22b.

同構(gòu)函數(shù)f(x)=2x+log2x,x∈(0,+∞)?f(a)

又因為f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以a<2b,故選B.

【例3】已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1)

(2)方法一：由f(x)≥1,可得aex-1-lnx+lna≥1,

即ex-1+lna-lnx+lna≥1,即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

令g(t)=et+t,則g′(t)=et+1>0，所以g(t)在R上單調(diào)遞增,

所以g(lna+x-1)≥g(lnx)?lna+x-1≥lnx,

即lna≥lnx-x+1,令h(x)=lnx-x+1,

當(dāng)00,h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>1時，h′(x)<0,h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減,

所以h(x)≤h(1)=0,因為lna≥0所以a≥1，故a的范圍為 [1,+∞).

方法二：由f(x)≥1可得aex-1-lnx+lna≥1,x>0,a>0,

即aex-1-1≥lnx-lna,設(shè)g(x)=ex-x-1,g′(x)=ex-1>0恒成立,

所以g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0，

即ex>x+1，

所以h(x)≥h(1)=0?x-1-lnx≥0?x-1≥lnx，

所以ex-1≥x,則aex-1≥ax,此時只需要證ax≥x-lna，即證x(a-1)≥-lna，

當(dāng)a≥1時，x(a-1)>0>-lna恒成立，

當(dāng)0

綜上所述,a的取值范圍為[1,+∞).

設(shè)計意圖：指對同構(gòu)具有很強的技巧性，對學(xué)生的觀察能力、變形能力要求較高，因此，在平時教學(xué)時，要讓學(xué)生體會怎樣變形、配湊系數(shù)常數(shù).要鼓勵學(xué)生不畏難，敢于動手，培養(yǎng)他們自主探究的能力，合作交流的團隊精神，歸納反思的良好習(xí)慣.

四、回歸梳理，提煉升華

雖然我們很多題都可以一題多解，但正所謂，同構(gòu)出馬，技壓群雄，不僅可以秒殺壓軸小題，也可以簡化導(dǎo)數(shù)大題，同構(gòu)思想放光芒，轉(zhuǎn)化之后天地寬.

同構(gòu)主要包括：

一個主題：指對跨階，參數(shù)不易分離，參數(shù)出現(xiàn)2次或4次要同構(gòu).

兩條途徑：比形同構(gòu)，換元同構(gòu).

三點注意：定義域，單調(diào)性，子函數(shù)的整體范圍.

四種思想：化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算.