當韋達“套路”遭遇“卡殼”的破解策略
——以一道橢圓求斜率比值為定值問題為例

四川 張 兵 杜海洋

在解析幾何解題教學中，直線與圓錐曲線聯立時，韋達定理套路策略高頻出現，但也常常遭遇“卡殼”．通過剖析一道圓錐曲線綜合試題“套路卡殼”原因，以探索為契機，達到解決這類問題的“新套路”目的．

高三模擬試題中出現一道看似常規的解析幾何綜合試題，題目設直線方程為x=ty+1時，發現部分學生不能套用韋達定理而“卡殼”；有學生提出如設直線方程為y=k(x-1) 時，是否可以避免出現非對稱韋達，認為是題目設置直線方程有“誘導”之嫌，但動手去做時，卻再次被“卡殼”，說明出題者在兩條道路上都設置“關卡”，運用常規方法到底 “卡”在哪兒？如何化解這道“關卡”？有沒有解決這類問題 的“新套路”呢？下面筆者還原這道試題解答過程.

一 、試題呈現

(1)求C的標準方程；

(2)設直線BM，AN的斜率分別為k1，k2，若k2=λk1，證明：λ為定值．

本試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系以及定值問題.考查了設而不求，化歸與轉化等數學思想方法，檢驗了運算求解、分析問題與解決問題的能力，試題解法多樣，平中見奇，內涵豐富，為不同學生搭建了施展才能的舞臺，是一道具有研究性學習價值的好題.

二、試題求解過程

第(2)問：證法1:

可得(3t2+4)y2+6ty-9=0，

又A(-2,0)，B(2，0)，所以

將y1，y2代入①得

由于有證法1的思維啟迪，班上學生1提出他的想法：是否可以消掉一個變量保留兩個變量，然后分子分母也可進行整體約分.

證法2:

證法3:

證法4：

證法5:

證法6:

就在此時班上一名學生4談到此題后續不能繼續運用韋達定理是否是出題者提前設置的“坑”，即問題出現在直線方程x=ty+1的設法所致，本題明顯可以用點斜式表示直線方程，只是需要分類討論一下直線l斜率存在情況，后續或許直接可以用韋達定理，話音一落，大家動手解答如下：

當直線斜率k存在時，設直線l的方程為y=k(x-1)，

可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

到此時發現所得式子結構形式更加復雜，但好在有前面證法2為鋪墊，大家很快想到消參，

證法7:

則(λ-1)x1x2+(2λ+1)x1+(2-λ)x2-2λ-2=0，

證法8:

三、解題反思

1.從以上解答可以體現出每種證法在思維上的層層遞進，符合學生認知的最近發展區，當遇到新問題出現“卡殼”時，解答思維應回歸“原點”，尤其證法1雖運算難度大，但思維最“實惠”.

2.探究破解方法始終圍繞問題的本質“消元”，即多元變減元，逐步達到局部代換或整體代換.

3.解答過程應以學生的想法為根本，尊重學生、讓學生的思維得以施展，真正把解題教學落實課堂，體現學生是課堂中真正的主體，而不是靠老師提供的“簡潔”“妙解”，甚至“秒殺”，達到捷徑，那樣其實并沒有展示其中的本質．

四、總結提煉