基于GA-ACO-BP網絡的機床主軸熱誤差預測＊

田春苗 季澤平 阿勇嘎 張學煒 唐術鋒 郭世杰

（內蒙古工業大學機械工程學院，內蒙古 呼和浩特 010051）

數控機床作為現代加工制造業的基礎，其精度對制造業的發展起到至關重要的作用[1-2]。影響機床精度主要因素中幾何誤差與熱誤差的占比最大[3-5]。諸多研究表明，熱誤差是影響機床精度的主要因素之一，其占機床總誤差約40%～70%[6-7]，因此減小熱誤差的影響是提高機床精度的主要途徑之一。隨著科學技術的飛速發展，機床的制造和設計工藝以及裝配精度得到提高，使得其他因素對精度影響大幅降低。同時，高端制造業的發展對機床的精度提出更高的要求，隨著機床精度等級的提高，熱誤差的影響更加突出[8-9]。而主軸是數控機床核心部件，主軸在高速轉動時會產生大量熱，引起機床零部件熱變形，產生加工誤差。因此對主軸熱誤差預測模型的研究具有重要意義。

近幾年，國內外學者在機床熱特性、熱誤差建模及補償方面做了大量研究[10-11]。熱誤差預測模型的準確性是熱誤差補償的基礎。針對熱誤差建模的研究已經成為該領域的研究重點。為此，學者們使用大量方法建立熱誤差預測模型，其中包括最小二乘法、多元線性回歸、灰色系統理論、支持向量機（SVM）、時間序列模型、人工神經網絡、卷積神經網絡（CNN）和循環神經網絡（RNN）等，這些方法均能構建溫度與熱誤差之間的非線性映射關系[12-19]。傳統建模方法主要包括多線線性回歸、最小二乘法等適用于結構簡單精度等級較低的數控機床，但針對復雜結構機床，傳統建模方法難以表征溫度與熱誤差之間的復雜關系，這使得機器學習等智能算法成為現今熱誤差建模的主要方法。SVM模型適合處理小樣本數據，但其核函數的選擇較為重要，且核函數選擇直接影響模型的預測精度，針對此缺點學者提出使用雞群（CSO）、遺傳算法（GA）等智能優化算法對SVM模型進行優化[20-21]。時間序列模型擁有較高的泛化能力，但與其他網絡模型相比，預測精度欠佳[22]。循環神經網絡進行建模時難以處理長期依賴問題，為此學者使用RNN網絡的變種長短記憶神經網絡（LSTM）進行建模，深度學習LSTM預測模型擁有更高的預測精度，但網絡需要更深層的學習，因此模型需要更長的訓練時間[23]。BP神經網絡建模是應用最廣泛的建模方法之一，但其易陷于局部最優，且網絡權值閾值以及隱含層節點數等需要依據經驗人為確定，缺乏理論支撐，針對此缺陷學者們使用優化算法來改進BP神經網絡，如：GA-BP模型[24]、PSO-BP模型[25]以及ACO-BP[26]模型等。ACO優化算法是Marco Dorigo等人提出的一種用來尋找優化路徑的概率型算法[27]。通過模擬蟻群覓食來搜尋全局最優解，蟻群算法采用正反饋機制，具有較強的全局尋優能力。然而與其他優化算法相同蟻群算法在進行全局尋優的同時，網絡自身也存在易陷于局部最優和收斂速度慢等缺陷。

針對以上問題，本文提出K-means++算法對溫度變量進行聚類分組，并結合Person、Sperman和Kendall3種相關性分析方法確定最佳熱敏感點；提出一種融合算法，利用GA算法初始化蟻群信息素并生成新的種群，進而解決蟻群算法收斂速度慢和易陷于局部最優的缺陷，建立基于GA-ACO-BP網絡的數控機床主軸熱誤差預測模型。使用GA-ACOBP網絡構建溫度變量與主軸熱伸長誤差、主軸熱偏移誤差和主軸熱傾斜誤差間的非線性映射關系。依據實測數據，比較BP模型與GA-ACO-BP模型的預測能力。

1 熱誤差建模

1.1 基于 K-means++算法的溫度測點分組

通過K-means++算法對溫度變量進行聚類分組，再利用相關性分析計算每個溫度測點與熱誤差之間的相關系數，確定最佳熱敏感點，減小溫度測點個數，從而解決溫度測點間的多重共線性，以提高熱誤差預測模型的計算速度及預測精度。設T={T1,T2,···,Tn}，是待進行 K-means++聚類分析的全部溫度變量樣本，T中每個對象稱為樣本Ti(i=1, 2, ···,n)。

聚類算法具體流程如下：

（1）確定聚類數K

由于K-means++算法需要人為設置聚類個數K的值，K值直接影響聚類結果準確性，本文采用手肘法計算誤差平方和(SSE)，確定最優K值。

式中：p表示集群Ci中的所有點溫度數值；m表示每一類的聚類中心。

（2）選擇初始聚類中心

從溫度數據集中隨機選擇一個溫度測點作為初始聚類中心。

（3）計算溫度樣本中每個溫度數據到初始聚類中心Tu的歐氏距離D，為

式中：j=1, 2, ···,m(m為溫度向量中數據樣本的個數)；Ti,j表示溫度向量Ti中的所有溫度數據；Tk,j表示初始聚類中心Tk中的所有溫度數據。

（4）增加距離最遠溫度向量作為下一個聚類中心的概率。

（5）重復步驟（3）和步驟（4），直至選出k個初始聚類中心。

（6）計算溫度向量到每個初始聚類中心的歐氏距離。

（7）將每一個溫度變量分配到歐氏距離最近的聚類中心的類簇中。得到k個類簇{C1,C2, ···,Ck}，在每一個簇中更新聚類中心。

式中：∣Cl∣表示各簇中溫度測點的個數，1≤l≤k；Ti表示各簇中第i個溫度測點，1≤l≤∣Cl∣。

（8）重復步驟（6）和步驟（7）直至聚類中心的位置不再發生改變。

1.2 溫度測點優化

進行分組后，還需消除溫度變量之間的多重共線性。為此，本文在K-means++算法分組后，分別采用person、sperman和kendall這3種相關系數來確定溫度變量與熱誤差之間的相關程度，并在每一簇中選擇一個溫度測點作為熱敏感點。

依據上述K-means++聚類分組結果，計算全部溫度變量與熱誤差之間相關系數：

（1）person相關系數

式中：Ei表示熱誤差數據。

（2）sperman相關系數

式中：n是數據的數量；rg為數據的秩次。

（3）kendall相關系數

溫度變量和熱誤差變量T與E中包含的數據個數均為N，第i(1≤i≤N)個組合為 (Ti,Ei)，第j(1≤j≤N)組合為 (Tj,Ej)，若Ti＞Tj且Ei＞Ej，或Ti＜Tj且Ei＜Ej出現時，則稱第i個組合和第j個組合是一致的；若Ti＞Tj且Ei＜Ej， 或Ti＜Tj且Ei＞Ej出 現時 ，則稱兩組合不一致。kendall相關系數表達式為

式中：C和D分別表示一致和不一致組合的數量。

通過對溫度數據和熱誤差數據的相關性分析，可確定各聚類分組中的最佳溫度測點。將各分組中相關性最大的溫度變量作為熱誤差預測模型的輸入，避免了溫度變量之間的多重共線性。

1.3 BP 神經網絡建模

BP 神經網絡是一種多層前饋神經網絡，具有極強的非線性映射能力，是目前應用最廣泛的神經網絡模型之一[28]，具體建模過程如下：

依據Kolmogorov定理，確定BP網絡隱含層節點數，最大迭代步數，學習效率。初始化網絡權值閾值。

計算隱含層輸出

式中：g(x)為激活函數sigmoid；n為輸入層節點數；wij為輸入層到隱含層的權值；aj為輸入層到隱含層的閾值。

計算輸出層的輸出

式中：l為隱含層節點數；wjk為隱含層到輸出層的權值；bk為隱含層到輸出層的閾值。

計算輸出誤差

式中：m為輸出層節點數Yk為期望輸出。

更新權重

式中：η為學習速率；ek=Yk-Ok。

更新閾值

1.4 GA-ACO-BP 熱誤差建模

BP神經網絡有較強的非線性映射、自學習和自適應能力，但BP神經網絡同樣擁有易陷于局部最優解，收斂速度慢等缺點。針對其缺點，構建具有全局尋優能力和高收斂精度的GA-ACO算法，以提升BP神經網絡的預測精度。

GA-ACO-BP算法實現的原理是：將蟻群覓食路徑賦值為BP神經網絡的權值和閾值，通過螞蟻覓食路線來表征待優化問題的可行解，蟻群中所有個體的覓食路徑構成待優化問題的解空間，在較短路徑上的螞蟻所釋放的信息素更濃，選擇這條路徑的螞蟻也逐漸增多，最終整個蟻群在正反饋的作用下選擇此路徑，這條路徑所對應的解便是最優的權值和閾值。在蟻群進行搜索時，通過遺傳算法對信息素濃的蟻群個體進行交叉變異處理，隨機生成的蟻群加快了算法的收斂速度，提高了蟻群算法尋優的準確性。基于GA-ACO-BP的熱誤差建模預測流程圖如圖1所示。

圖1 基于 GA-ACO 優化 BP 網絡流程圖

基于GA-ACO-BP的熱誤差預測模型具體步驟如下：

（1）初始化網絡。包括BP神經網絡輸入層到隱含層的權值wij和閾值aj；隱含層到輸出層的權值wjk和閾值bk。將全部待優化參數記作p1,p2, ···,pn，針對任意參數，隨機選取N個非零值，組成集合Ipi(1≤i≤n)，集合Ipi中元素的信息素為τj(Ipi)(t)=C，(1≤j≤N)，蟻群算法中螞蟻數量為S，目標函數誤差為E。

（2）所有螞蟻進行搜索，依據概率公式（13）在集合Ipi中隨機選擇路徑，全部螞蟻完成路徑搜索為止。在集合Ipi中，螞蟻α(α=1, 2, ···,S)任意挑選第j個元素的概率為

（3）構造解空間，更新信息素。從蟻群中隨機挑選h個螞蟻，h=[r·S]，r為動態變化選取率。最優解為信息素濃度最大的螞蟻個體MAX(τj(Ipi))，螞蟻i下次迭代行走的路徑為

蟻群遍歷完所有元素后，使用Ant-Cycle更新集合Ipi中每個元素的信息素，得

式中：ρ為信息素揮發系數；Δβjk(Ipi)為螞蟻k本次迭代中在集合Ipi中第j個元素路徑的信息素[24]。

（4）使用遺傳算法對蟻群進行交叉變異操作。隨機選擇交叉點，對兩個染色體進行交叉處理，獲得兩個新的序列。依據變異概率，隨機確定變異個體和變異位置。

（5）依據適應度函數F-FMeasure計算螞蟻個體適應度，同時還需計算每個個體搜尋路徑的時間，若滿足最優解條件，轉入步驟（6），反之轉入步驟（3）。

（6）將GA-ACO算法獲取的最優權值閾值輸入至BP神經網絡，通過公式（9）計算預測誤差的差值E。

（7）通過式（11）和式（12）更新BP神經網絡的權值和閾值。

（8）若輸出結果滿足要求，得到最優解算法結束，否則重復過程（2）～（7）。

2 實例分析

2.1 主軸熱誤差測量

本文以武漢高科機械生產的雙轉臺五軸加工中心GS200-i5-a為研究對象，依據ISO 230-3[29]標準對機床主軸熱誤差進行測量，并通過五點法辨識出主軸5項熱誤差，使用電渦流位移傳感器測量位移數據，傳感器遠離檢驗棒時，位移數據記為正，反之則記為負，傳感器布置位置如圖2所示。

圖2 五點法測量示意示意圖

機床關鍵測點溫度數據測量選用高精度磁吸式鉑熱電阻PT100溫度傳感器。傳感器分布位置如表1所示，主要包括軸承、電機外殼、冷卻液進出管、主軸基座以及環境溫度。基于紅外熱成像儀器檢測機床主軸溫度場，以確定主要熱敏感區域。

表1 溫度傳感器分布位置

其中溫度傳感器精度等級為A級，量程為-50～100 ℃。電渦流位移傳感器量程為2 mm，分辨率為 0.1 μm，工作溫度在-30 ～150 ℃。檢驗棒為φ20 mm×200 mm 的軸承鋼。五點法夾具選用 7075鋁合金整塊切割制成。

為了最大程度符合實際生產加工，分別設計3種不同轉速的實驗：低速實驗、中速實驗和高速實驗。實驗工況設計如表2所示。為避免隨機誤差的影響，每種工況分別進行3次實驗。

表2 試驗工況設計

2.2 測試結果與分析

以高速實驗中的一組試驗結果為例，溫度和位移數據的檢測結果如圖3～4所示。

由圖3可知，在主軸運行53 min時，冷卻液管處溫度傳感器數值突然下降，此時機床自動冷卻系統開始運行。在運行至200 min時達到熱平衡，溫度變化趨于平穩。

圖3 溫度變化曲線

由圖4可知，熱效應引起的位移量在300 min以后趨于平穩狀態，相比溫度場達到穩態時間稍有滯后。位移量變化曲線呈現為先增大再減小最后趨于平穩的趨勢，位移量最大值出現在200 min，剛好此時達到熱穩態，穩態和非穩態狀態下傳熱效率和接觸熱阻不同，導致位移量在溫度達到熱穩態后出現一段下降趨勢，而后在趨于平衡。

圖4 主軸熱位移曲線

3 測點優化及模型預測評價

3.1 溫度測點優化

T={T1,T2, ···,Tn}，是待進行 K-means++聚類分析的全部溫度測點，其中n=10，聚類分組數由手肘法確定，SSE變化曲線如圖5所示，最大拐點出現在K=4處，因此最佳組數為4組。依據1.1小節聚類方法，將全部溫度測點分成(T1、T4、T6)、(T2、T3、T5)、(T7、T8、T9)和 (T10)這 4 組。計算全部溫度測點的相關系數，將各簇中相關系數最大的溫度測點作為最佳熱敏感點，各測點相關系數如表3所示。

表3 溫度測點相關系數

圖5 SSE 變化曲線

3.2 模型預測與評價

以圖3所示的數據作為訓練樣本，基于BP神經網絡和GA-ACO-BP神經網絡對主軸熱伸長誤差、X向熱偏移誤差、Y向熱偏移誤差、X向熱傾斜誤差和Y向熱傾斜誤差五項熱誤差進行預測對比，如圖6所示，各模型預測殘差如圖7所示。

圖6 主軸熱誤差預測

圖7 預測殘差

以平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE、平均絕對百分比誤差MAPE評價模型擬合優度。擬合優度參數如表4、表5所示。

表4 BP神經網絡擬合優度

表5 GA-ACO-BP神經網絡擬合優度

由圖6和圖7可知，GA-ACO-BP模型預測效果明顯優于BP模型。經過平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE、平均絕對百分比誤差MAPE和殘差均值的對比，可以看出，本文提出的基于GAACO-BP神經網絡的數控機床主軸熱誤差預測模型具有更好的擬合優度和更高的預測精度。

4 誤差實時補償過程

將3.1小節中優化后的溫度熱敏感點作為誤差補償時的溫度采集點，通過PC端接受溫度數據，傳輸至已建立好的預測模型中，由計算機實時計算補償值，計算機通過以太網與數控系統進行實時通訊。同時在機床PLC中配置相應個數的熱誤差補償模塊“TESPSEM”，如圖8所示。

圖8 PLC 中“TESPSEM”熱誤差補償模塊[30]

PLC中熱誤差補償模塊“TESPSEM”4組參數的說明如表6所示。

表6 “TESPSEM”模塊參數[30]

在進行補償前還需結合溫度傳感器采集溫度數據在數控系統中對各項補償參數進行設置。熱誤差補償是在插補周期內進行的，即插補后補償。通過監控程序來限制補償值大小，以免機床過載，再將其與插補輸出指令位置進行疊加[31]。補償的流程圖如圖9所示。

圖9 熱誤差補償控制流程圖[31]

5 結語

本文提出了基于GA-ACO-BP網絡的主軸熱誤差預測模型，有效地解決了BP神經網絡收斂速度慢、易陷于局部最優、預測精度低等缺陷。結果表明：K-means++算法與person、sperman和kendall分析相結合可有效發掘主軸溫度變量和熱誤差之間的相關性，降低了溫度測點間的多重共線性。基于GA算法初始化蟻群信息素，并通過交叉和隨機變異生成新的蟻群，解決了ACO算法的缺陷，改進后的ACO算法有效優化了BP網絡的權值和閾值，提高了熱誤差預測模型的精度和泛化能力。實驗對比結果顯示，GA-ACO-BP預測模型更適合確定主軸熱誤差的補償值。

熱誤差的精準預測是實施補償的前提，本文主要關注的研究內容為主軸熱誤差的預測，后續的研究中，將在數控機床上進行實時誤差補償，進一步驗證該模型的可行性和魯棒性是下一步研究的工作重點。