回轉軸空間六方位轉角誤差辨識解析與補償實驗分析＊

張 穎 于 博 胡 月

（①長春光華學院機械工程學院，吉林 長春 130012；②長春工程學院機電工程學院，吉林 長春 130012；③河北民族師范學院物理與電子工程學院，河北 承德 067000）

被譽為“工業母機”的數控機床在機械制造行業有著無比重要的地位，在國務院發布的《國家中長期科學和技術發展規劃綱要》中，已經將“高檔數控機床與基礎制造技術”列為國家科技重大專項[1-3]，由此可見，國內對高性能制造裝備的需求正在穩步提升。五軸數控機床是復雜零部件加工的重要手段[4-6]，機床精度直接影響和決定了被加工零部件的加工精度（如尺寸、形狀和相對位置）。五軸數控機床運動軸包括線性運動軸和回轉運動軸兩種形式，對于線性動軸而言，存在的空間六方位誤差檢測與辨識技術相對比較成熟，并且已經形成了系統的研究理論，以9線誤差辨識法[7]、12線誤差辨識法[8]、15線誤差辨識法[9]、22線誤差辨識法[10]為主；而對于回轉軸空間六方位誤差檢測與辨識技術而言，國內外研究學者對此研究較少，且無系統性提升精度的研究理論，因此，針對數控機床回轉軸空間六方位誤差，深入研究了基本存在形式，采用空間幾何數學分析法解析了回轉軸間六方位誤差的數學運算關系，并通過回轉軸誤差檢測數據特征，提出適合性補償方法，實現了回轉軸滾轉誤差的精密補償。

1 回轉軸空間六方位誤差形式

在三維空間中，任意回轉軸回轉運動過程中均會產生6項幾何誤差，包括：3項線性偏移位移誤差和3項回轉偏轉誤差。

如圖1所示，以任意回轉軸回轉運動進行分析，令該回轉軸中心線為Z軸，稱該回轉軸為C軸，其中，3項線性偏移誤差分別表示為：δx(c)、δy(c)、δz(c)，3 項回轉偏轉誤差分別表示為：εx(c)、εy(c)、εz(c)，回轉軸空間六方位誤差命名如表1所示，括號內字母c表示回轉軸轉動角度c，意為該誤差是與回轉軸轉角c的關聯函數。

表1 回轉軸空間六方位誤差

圖1 回轉軸空間六方位誤差分布圖

2 回轉軸空間六方位誤差辨識

準確辨識回轉軸空間六方位誤差是實現回轉軸誤差補償及回轉精度提升的必要手段，

2.1 沿回轉軸 Z向偏移誤差 δz(c)

如果通過檢測實施直接得到回轉軸中心位置軸向跳動量，則回轉軸Z向偏移誤差可直接得到，即：回轉軸中心位置軸向跳動量為沿回轉軸Z向偏移誤差。

2.2 繞回轉軸 X、Y向偏轉誤差 εx(c)、εy(c)

設置垂直回轉軸C軸兩個不同高度截面的檢測面，分別檢測截面X、Y向徑向誤差，可得到截面1的X、Y向徑向誤差為Δx1、Δy1，截面2的X、Y向徑向誤差為Δx2、Δy2，如圖2所示。

圖2 不同截面徑向誤差測量簡圖

由圖2幾何關系，可列寫式（1）、式（2）。

2.3 沿回轉軸 X、Y向偏移誤差 δx(c)、δy(c)

由誤差來源分析知，回轉軸C任意截面X、Y向徑向誤差，主要產生根源是由沿回轉軸X、Y向偏移誤差δx(c)、δy(c)和繞X、Y向偏轉誤差εx(c)、εy(c)間接產生，具體如圖3所示。

圖3 偏移誤差幾何關系簡圖

聯立圖2、圖3空間幾何關系，可列寫式（3）、式（4）。

2.4 繞回轉軸 Z向滾轉誤差 εz(c)

根據回轉軸空間六方位誤差元素分析，僅沿回轉軸Z向偏移誤差δz(c)對繞回轉軸Z向滾轉誤差εz(c)沒有影響，其余都會直接影響其大小。

假設，通過檢測設備檢測得到的回轉軸回轉誤差為εc(c)，由其他5項誤差因素引起的誤差分別為εc1(c)、εc2(c)、εc3(c)、εc4(c)、εc5(c)，εz(c) =εc1(c)，εc1(c)為未受其他5項誤差影響的真實繞回轉軸Z向滾轉誤差，則有

繞回轉軸X向偏轉誤差εx(α) 引起繞回轉誤Z向滾轉誤差空間關系如圖4所示，回轉軸驅動轉角為∠AOB，在實際驅動過程中，受繞回轉軸X向偏轉誤差εx(α)的影響，目標點B轉至點D，過點D作XOY面垂線，E為垂點，過點D向OX做垂線，C為垂點，則可以得到，實際滾轉誤差為∠AOE，εx(c)=∠BCD，εc2(c)=∠EOB，CB=CD。

圖4 繞X向偏轉誤差與滾轉誤差關系圖

由空間幾何關系知，在ΔBOC中，可列寫式（6）～（8）。

在ΔCED中，可列

將上述推理式（6）～（8）代入式（9）中，可以整理得

式（10）所求解εC2(c)為繞回轉軸X向偏轉誤差εx(c)引起的回轉誤差。

根據上述空間幾何關系，可同理得到，繞回轉軸Y向偏轉誤差εy(c)引起的回轉誤差為式（11）的解εc3(c)。

沿回轉軸X向偏移誤差δx(c)引起回轉軸滾轉誤差空間幾何關系如圖5所示，回轉軸驅動轉角為∠AOB，在實際驅動過程中，受沿回轉軸X向偏移誤差δx(c)的影響，使驅動目標點B移至空間點D，且BD=δx(c)，過點D作垂線垂直于Y軸，交點為C，實際滾轉誤差為∠AOD，∠DOB=εc4(c)，由于OA連線與DC連線平行，所以得出∠ODC=∠AOD。

圖5 沿X向偏移誤差與滾轉誤差關系圖

由圖5空間幾何關系，可列

在ΔCOD中，可列

在ΔOBC中，可列

將上述式（12）～（14）代入式（15）中，可以整理得

根據上述空間幾何關系，可同理得到，沿回轉軸Y向偏轉誤差δx(c)引起的回轉誤差為式（17）的解εc5(α)。

綜上空間幾何關系解析，將式（10）、（11）、（16）、（17）代入式（5）中，可得到回轉軸繞Z向滾轉誤差εz(c)的大小為式（18）所示。

式（18）的解εz(c)即為為繞回轉軸Z向滾動誤差。

3 回轉軸轉角誤差檢測

采用XL-80型激光雙頻干涉儀角度檢測組件對回轉軸滾轉誤差進行檢測，選用ALAR-100-sp回轉軸出廠的沿回轉軸X向偏移誤差和沿回轉軸Y向偏移誤差為參考數據，進行該回轉軸轉角誤差檢測，檢測現場如圖6所示。

圖6 檢測現場

設置回轉軸每轉動5°進行滾轉誤差檢測，回轉軸與檢測設備在每個檢測點停留4 s進行誤差采集及傳輸，以5次檢測取均值為滾轉誤差數據，如表2所示。

由表2滾轉誤差數據分析知：回轉軸滾轉誤差隨著旋轉角度變化，大小一直處于近似遞增特性，僅在第三段（-50°，-40°）內略有減少，最大增量14.506 arcsec在（10°，20°）出現，最大增值 93.688 arcsec 在（70°，80°）出現。

表2 誤差檢測數據

4 適應性誤差補償

以該回轉軸滾轉誤差具有的累積遞增特性，提出適應性補償原理，具體實施如下：

4.1 創建累積性數據庫

將回轉軸擺角位置進行λ等分，利用XL-80角度檢測組件對節點位置P滾轉誤差進行檢測和累計值ε云保存，稱為數據庫，如式（19）所示。

4.2 建立補償模型

創建適應性前饋系統，內部為滾轉誤差補償模型，當回轉驅動器輸出轉動指令后，指令經前饋系統進行運算處理，解算得到無滾轉誤差驅動指令。

補償模型以當前位置P(光柵反饋)和轉動角度θ(驅動發出)為自變量，經前饋運算后輸出為轉動角度θ和滾轉誤差ε′的疊加θ′=θ-ε′。模型構建步驟如下：

4.2.1 建立滾轉誤差逼近方程

應用直線方程兩點直線法建立從回轉軸零點至正極限直線方程，如算式（20）所示。

同理，應用直線方程兩點直線法建立從回轉軸零點至負極限直線方程，如式（21）所示。

式中：Pi、εi為零點至正極限位置和滾轉誤差；P-i、ε-i為零點至負極限位置和滾轉誤差。

4.2.2 解算位置Pa、轉動角度θ滾轉誤差ε′

根據當前轉動位置Pa和目標轉動位置Pb大小，補償模型分為4種形式進行補償：

（1）Pa∈(0,Pn)，Pb∈(0,Pn)

假 設 ，0≤i＜j≤n，Pi≤Pa≤Pi+1，Pj≤Pb≤Pj+1，利用逼近方程算式（20），可解算位置Pa、Pb的滾轉誤差εa和εb，算式關系如（22）、（23）所示。

通過算式（22）、（23）可解得對應該位置轉動角度θ的滾轉誤差ε′為

整理可得滾轉誤差ε′如式（25）所示。

（2）Pa∈(0,Pn)，Pb∈(P-n,0)

假 設 ，Pi≤Pa≤Pi+1，P-j-1≤Pb≤P-j， 利 用 逼 近方程式（20）、（21），可解算位置Pa、Pb的滾轉誤差εa和εb，算式關系如式（26）、（27）所示。

通過式（26）、（27）可解得對應該位置轉動角度θ的滾轉誤差ε′為

整理可得滾轉誤差ε′如式（29）所示。

（3）Pa∈(P-n,0)，Pb∈(0,Pn)

假 設 ，P-i-1≤Pa≤P-i，Pj≤Pb≤Pj+1， 利 用 逼 近方程式（20）、（21），可解算位置Pa、Pb的滾轉誤差εa和εb，算式關系如式（30）、（31）所示。

通過式（30）、（31）可解得對應該位置轉動角度θ的滾轉誤差ε′

整理可得式（33）。

（4）Pa∈(P-n,0)，Pb∈(P-n,0)

假設，P-i-1≤Pa≤P-i，P-j-1≤Pb≤P-j，利用逼近方程式（21），可解算位置Pa、Pb的滾轉誤差εa和εb，算式關系如式（34）、（35）所示。

通過式（34）、（35）可解得對應該位置轉動角度θ的滾轉誤差ε′為

整理可得滾轉誤差ε′如式（37）所示。

4.2.3 補償運算解析

用方程關系解算得到的滾轉誤差ε′對初始位置Pa、轉動角度θ、目標位置Pb實施補償，解析得到補償后轉動角度θ″運算關系如式（38）所示。

5 實驗分析

對回轉軸C空間六方位轉角誤差進行辨識和適應性補償實驗，補償模型參數如表3所示。

表3 補償模型及實驗參數

為直觀表明補償前后滾轉誤差分布，應用Matlab對滾轉誤差數據進行擬合，如圖7所示。

圖7 補償前后對比

由圖7曲線分析知：回轉軸C軸經適應性補償后，回轉軸C軸滾轉誤差顯著減小，且適應性補償后滾轉誤差曲線在零線波動，通過計算得到補償后殘差最大值、殘差均值和殘差均方差如表4所示。

表4 補償后殘差數據

由表4殘差數據進一步表明，研究的空間六方位轉角誤差辨識及適應性補償方法可以有效降低回轉軸滾轉誤差。

6 結語

針對回轉軸空間六方位誤差進行了數學解析和補償實驗，得出以下結論：

（1）回轉軸運動過程中空間六方位誤差大小數值存在相互影響關系，用數學基礎理論可以對回轉軸空間六方位誤差進行具體的解析建模；采用成熟的檢測設備“激光雙頻干涉儀XL-80角度檢測組件”可以實現回轉軸滾轉誤差的檢測與辨識。

（2）根據被測回轉軸滾轉誤差具有的增減特征，提出適應性補償方法，建立具體的補償數模，經實驗表明，研究的回轉軸空間六方位誤差辨識及補償理論可靠實用，補償后滾轉誤差殘差均數據得到明顯降低，可滿足高精度五軸數控機床的運動需求。

（3）針對適應性補償模型，運行參數等分步長λ和分段數N,如果對其進行進一步精細設置，該模型針對滾轉誤差具有增減特征的回轉軸來說，補償精度將得到顯著提升。