密度梯度柱殼鏈的彈性波傳播特性研究1)

彭克鋒 鄭志軍 ,2) 周風華 虞吉林

* (中國科學技術大學近代力學系,中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室,合肥 230027)

? (寧波大學機械工程與力學學院,沖擊與安全工程教育部重點實驗室,浙江寧波 315211)

引言

多胞結構具備調控波形的潛力,在沖擊緩沖、脈沖傳輸和信號屏蔽等領域存在廣泛的應用[1-10].多胞結構中的波傳播行為受其胞元形狀和基體材料屬性的影響,可能呈現孤立波、稀疏波或沖擊波的特征[11].因此,通過對單個胞元的幾何構形和材料性能進行設計,有望發展出新型波傳輸結構,以實現對載荷和波形的調控.

不同于密實材料,多胞結構中含有大量空穴,為微結構設計提供了充足的空間.通過控制多胞結構的相對密度ρ可以改變多胞結構的等效彈性模量E[12],其中ρ定義為多胞結構質量與同體積的實心材料質量之比[12-16].對于不同類型的多胞結構,其等效彈性模量與相對密度通常呈冪律關系[14]

式中,E0和n是材料參數.冪指數n依賴于多胞結構的微結構類型和基體材料性質.例如,對于熱絲熔融沉積制造的閉孔聚乳酸(PLA)泡沫,冪指數為1.5[13];對于開孔泡沫,冪指數為2[14-15].這些研究揭示了基體材料和微結構類型對均勻多胞結構彈性力學行為的影響,為波形調控設計提供了基礎性認識.一些研究通過改變多胞結構的相對密度進行波形調控,例如,對于均勻圓柱殼鏈結構,通過改變壁厚(相對密度)可以控制鏈結構中的稀疏波傳播,徑厚比越大,沖擊緩沖效果越好[11];對于復合球殼鏈結構,其材料密度和壁厚越小,鏈中球殼之間的動態接觸力越小[17].這些研究表明多胞結構具有一定的波形調控能力.

通過引入密度梯度有望進一步提高多胞結構的載荷調控能力.例如,對于線性密度分布的梯度蜂窩結構,動態沖擊下正梯度結構可以降低沖擊端載荷,負梯度結構可以降低支撐端載荷[18];通過設計梯度泡沫的密度分布可以保護沖擊物體,使其維持恒定沖擊力[19-20].這些研究中多胞結構主要基于材料大變形和塑性耗散吸收能量從而衰減載荷.實際上,彈性多胞結構也能呈現出較好的載荷調控性能,不同于傳統的塑性耗散機制,彈性多胞結構的載荷調控機理為能量的再分布[21].例如,3D 打印橢圓柱殼鏈結構支持稀疏沖擊波的傳播,在質量塊沖擊下,鏈中應變峰值隨著波傳播有著明顯的衰減且不依賴于材料塑性耗能[22];最近,Kim 等[23]實驗和數值研究了3D 打印PLA 梯度多胞柱殼結構的沖擊緩沖性能,表明負梯度柱殼鏈結構具有優異的載荷衰減能力,并優于正梯度鏈結構.然而,梯度多胞結構中波傳播行為十分復雜,尚缺乏表征其中彈性波傳播的理論模型.近期,基于應力波理論[24],彭克鋒等[25]建立了質量塊沖擊下均勻柱殼鏈中的彈性波傳播等效模型,并采用拉普拉斯積分變換方法獲得了該模型的解析解.在均勻柱殼鏈的基礎上,本文進一步研究梯度柱殼鏈中的彈性波傳播行為.但是由于梯度的影響,理論模型的求解可能具有相當難度.

本研究運用密度梯度柱殼鏈的細觀有限元模型研究了三角形應力脈沖激勵下鏈中的彈性波傳播行為.通過將密度梯度柱殼鏈等效為密度梯度桿,建立了密度梯度柱殼鏈在應力脈沖作用下的控制方程,采用拉普拉斯積分變換方法獲得了解析解.將理論計算位移、載荷歷史曲線與細觀有限元模擬結果比較,以驗證理論模型及其解析解的有效性.進一步討論了線性密度梯度參數對支撐端載荷的影響,分析了密度梯度柱殼鏈的載荷調控性能.

1 數值模擬

1.1 密度梯度柱殼鏈的有限元模型

由圓柱殼有序排列組成的柱殼鏈結構是一種典型的多胞結構,其胞元中空且相對密度可以改變,通過調控單個圓柱殼的相對密度可以方便地構建密度梯度柱殼鏈結構.單個柱殼的相對密度ρ定義為πh(D-h)/D2,其中D為圓柱殼外徑,h為壁厚.本研究中考慮柱殼鏈的相對密度沿加載方向(X方向)遵循線性分布

式中,ρ0為平均相對密度,γ為密度梯度分布參數并滿足-2 ＜γ＜ 2,L為柱殼鏈長度.本研究中單個柱殼外徑D=20 mm,柱殼面外方向厚度W=10 mm,柱殼鏈長度L=360 mm,每條鏈中含18 個柱殼.采用ABAQUS/Explicit 進行有限元模擬,通過網格收斂性分析,柱殼的單元尺寸取為0.3 mm,單個柱殼含1920 個六面體單元,單元類型為C3D8.鏈中相鄰柱殼接觸部分的節點綁定在一起,并且這些節點的位移被約束在X方向以形成連續穩定的一維堆積結構.模擬中采用硬接觸描述所有的面接觸行為,摩擦系數設置為0.02[19].柱殼基體材料密度ρs=966 kg/m3,彈性模量Es=1600 MPa,泊松比νs=0.3[25].

三角形應力脈沖僅含有一個峰值,通常被用來分析結構中的波形變化[24,26-27].考慮梯度柱殼鏈一端受到三角形應力脈沖作用,另一端固定,如圖1.三角形應力脈沖斜率為ξ,上升時間為t0,下降時間也為t0,總脈寬為2t0,峰值脈沖為ξt0.本研究中應力脈沖較小,不考慮材料塑性.

圖1 密度梯度柱殼鏈結構的細觀有限元模型Fig.1 Meso-scale finite element model of a density gradient cylindrical shell chain

1.2 密度梯度柱殼鏈中的波傳播特征

考慮三種密度梯度分布(γ=-1,0 和1)的柱殼鏈受到三角形應力脈沖作用,脈沖斜率ξ=0.1 MPa/ms、上升或下降時間t0=1 ms,每條鏈的平均相對密度ρ0=0.2.以作用時間t=2 ms 時為例,這些柱殼鏈中的應力分布如圖2,結果表明,彈性波在柱殼鏈中傳播具備兩個主要特征:(1)沿著柱殼向固定端傳播;(2)在相鄰柱殼的接觸區域呈現應力集中.此時,可以看到負梯度鏈中應力波傳播最遠,正梯度鏈中應力波傳播最近.這是由于負梯度鏈前半部分的柱殼壁厚較厚,柱殼的等效彈性模量較大,所以波速較快.

圖2 不同梯度柱殼鏈結構在t=2.0 ms 時刻的應力云圖Fig.2 Von Mises stress distributions of cylindrical shell chains with different density distributions at t=2.0 ms

2 理論分析

2.1 計及密度梯度的波傳播模型

采用一維應力波理論分析均勻圓柱殼鏈中的波傳播行為.最近,通過將均勻圓柱殼鏈等效為均質彈性桿,彭克鋒等[25]基于波動方程研究了鏈中的波傳播規律及波形彌散機理.本研究中,采用類似的方法,將密度梯度柱殼鏈等效為密度梯度連續桿,如圖3.等效桿的長度為L,沿X方向的相對密度分布為ρ(X),面內厚度為W,寬度與柱殼的直徑D相等,桿的橫截面積A0=DW.需要說明的是,文獻[25]考慮了柱殼鏈的橫向慣性效應對波傳播的影響,結果表明,橫向慣性效應使波形振蕩,但對于長度較短的均勻圓柱殼鏈,其對波形峰值的影響不大[25].本研究中柱殼鏈長度較短,因此,不考慮橫向慣性效應.

圖3 密度梯度桿受到線性應力脈沖作用Fig.3 A density gradient rod subjected to a linear stress pulse

密度梯度桿的相對密度分布為ρ(X),則桿中運動方程為

式中,σ,v,X,t和ρs分別是應力、粒子速度、拉格朗日位置、時間和基體材料密度.已有研究表明圓柱殼的表觀彈性模量與厚徑比的關系[28-29]為E～ (t/R)3,由于相對密度ρ正比于t/R,所以有E=E0ρ3.然后結合應變ε與位移u的關系式 ε=-?u/?X以及速度與位移的關系式v=?u/?t,式(3)可改寫為

式(4)為一個線性齊次偏微分方程,滿足疊加原理.因此,在理論分析中,先考慮桿端受到線性應力脈沖作用,再采用疊加原理,即可適用于任意可線性分解的應力邊界條件,例如,邊界受到三角形應力脈沖作用.

考慮桿一端受到斜率為ξ線性應力脈沖激勵,另一端固定,桿中的初始條件和邊界條件為

將桿長L、密度ρs和基體材料中的縱波波速作為特征參數,引入以下無量綱參數

然后結合式(4)和式(5)給出應力脈沖作用下密度梯度桿中的無量綱控制方程

2.2 拉普拉斯積分變換求解

式中,s是復變量.將式(8)分部積分并應用初始條件,然后代入式(7)可以得到

引入

和

式(9)可以寫成劉維爾標準型

于是,式(12)可以寫作

式(15) 的第一個方程為二階常微分方程,其解為

式(17)給出

將式(18)代入式(16),得

將式(19)代入式(11),可以得到

進一步考慮U的拉普拉斯逆變換

式中,ω是實變數.將式(20)代入式(21),得到

式(22)可以通過留數定理求解.令式(22)中被積分式的分母為0,即

可見積分式(22)有二重奇點0 和簡單奇點sk=iηk(k=± 1,± 2,± 3,···),實數ηk通過下式計算

式(24)有無窮多個實根,并且正根和負根存在一一對應關系.留數定理給出

在0 點處的留數為

在sk處的留數為

考慮正負根的一一對應關系,式(27)可以簡化為

式中

所以線性應力脈沖作用下密度梯度桿中的位移解為

對于均勻桿,即γ=0 的情形,此時,T=1/ρ0,ηk=(k-1/2)π/T,k=1,2,3,···位移解退化為

進一步采用疊加原理求解三角形應力脈沖作用下密度梯度桿中的位移解.文獻[30]中基于疊加原理,獲得了梯形應力脈沖在考慮橫向慣性的均勻彈性桿中產生的位移、應力和應變的解析解.類似地,對于三角形應力脈沖,其上升時間為下降時間為總脈寬為脈沖峰值為其位移解為

3 結果與討論

3.1 柱殼等效材料參數的確定

通過對不同相對密度的單個柱殼進行單軸準靜態壓縮的數值模擬,可以獲得柱殼的等效材料參數.在準靜態壓縮試驗中,圓柱殼位于兩塊剛性板之間,其中一塊剛性板以V=5 mm/s 的恒定速度壓縮圓柱殼,另一塊剛性板固定.不同相對密度(0.05～0.30)圓柱殼的名義應力-應變曲線如圖4.當其名義應變較大時,圖中出現了較明顯的應變軟化現象.但在某一應變之前,其名義應力-應變曲線近似滿足線彈性關系.在控制線性相關系數不小于0.995 的情況下,通過線性擬合獲得線彈性段的表觀彈性模量E和最大有效應變ε0.不同相對密度圓柱殼的線彈性段的最大有效應變與相對密度的關系如圖4(b),它們近似遵循線性關系 ε0=-0.52ρ+0.26.圓柱殼的表觀彈性模量與相對密度的關系如圖4(c)所示.利用E=E0ρ3式子[29]擬合圖4(c)中的數據,擬合結果給出E0為418.6 MPa.

圖4 不同初始相對密度柱殼的材料參數Fig.4 The apparent material parameters of cylindrical shells with different initial relative densities

3.2 理論與數值結果的比較

首先比較理論與細觀有限元模擬的不同密度梯度柱殼鏈在三角形應力脈沖作用下的加載端位移.式(33) 結合圓柱殼的材料參數(n=3,E0=418.6 MPa),可以預測不同密度分布柱殼鏈加載端的位移歷史曲線.圖5 展示了理論與模擬計算的三種密度梯度柱殼鏈(γ=-1,0,1)在三角形應力脈沖作用下的加載端位移.結果表明,理論預測與細觀有限元模擬的加載端位移有著相同的演化趨勢,但也存在一些差異,這說明離散的柱殼鏈結構難以完全等效成連續介質.盡管如此,連續介質模型仍可以表征其位移演化的主要特征.三角形應力脈沖作用下,不同密度梯度鏈加載端位移均隨著時間的增加而增加,當位移達到最大值時,鏈開始回彈,其中正梯度鏈最早回彈,負梯度鏈回彈時間最晚,均勻鏈加載端在其位移達到最大值后并未立刻回彈,而在一定時間內維持靜止.此外,正梯度鏈加載端的最大位移比負梯度鏈和均勻鏈都大,這是由于正梯度鏈前半部分的平均等效彈性模量較小,因此抵抗變形的能力較弱.相反地,負梯度鏈前半部分的平均等效彈性模量較大,這使得負梯度鏈加載端位移在初始階段比正梯度和均勻鏈都小.進一步將理論計算和細觀有限元模擬的柱殼鏈支撐端的載荷歷史曲線進行比較.理論分析中載荷由式F=計算,模擬中載荷可從有限元結果直接提取.結果表明,對于三種梯度分布的柱殼鏈(γ=-1,0,1),理論模型可以很好地表征其支撐端載荷演化的主要特征,如圖6.當應力波傳到支撐端時,支撐端載荷先增大至最大值,然后逐漸減小.通過比較有限元模擬計算得到的支撐端的峰值載荷,可以發現這三種梯度柱殼鏈支撐端載荷的最大峰值存在明顯區別,其中均勻鏈中支撐端峰值載荷為37.29 N,負梯度鏈的支撐端峰值載荷最小(13.84 N),為均勻鏈的0.37 倍,正梯度鏈的支撐端峰值載荷最大(80.90 N),是均勻鏈的2.17 倍.理論分析得到了與有限元模擬相似的結果,這表明負梯度柱殼鏈表現出載荷衰減特征,而正梯度柱殼鏈表現出載荷增強特征.值得注意的是,數值模擬獲得的峰值載荷略低于理論預測的結果,數值結果中載荷峰值附近曲線光滑不尖銳,這是因為理論分析中忽略了泊松比的影響[25].盡管如此,理論模型仍能捕捉加載過程中載荷演化的主要趨勢.

圖5 理論和有限元模擬的不同密度梯度鏈中加載端位移歷史曲線Fig.5 Theoretical and FE simulated displacement histories of the loading end in the chains with different density distributions

圖6 理論和有限元模擬的不同密度梯度鏈中支撐端的載荷歷史曲線Fig.6 Theoretical and FE simulated forces at the support end in the chains with different density distributions

3.3 密度梯度柱殼鏈中載荷演化過程

基于理論模型可以分析三角形應力脈沖作用下密度梯度柱殼鏈中的載荷演化過程.圖7 給出了正梯度和負梯度鏈中不同時刻的載荷變化曲線.觀察發現,正梯度鏈中載荷峰值隨著波傳播逐漸增大,負梯度鏈中載荷峰值隨著波傳播逐漸減小.對于初始對稱的三角形應力脈沖,其在梯度柱殼鏈中呈現不對稱傳輸的特征.在正梯度鏈中,三角波形下降沿寬度大于上升沿寬度,這是由于正梯度鏈沿著加載方向等效彈性模量逐漸增大、波速越來越快造成的.與正梯度鏈相反,負梯度鏈中的三角波形下降沿寬度小于上升沿寬度.此外,邊界對波形有著明顯的影響,當波傳到支撐端時,由于固支邊界的反射,載荷被放大,波形不再維持三角形.還可以發現,梯度柱殼鏈受到三角形應力脈沖壓縮時,鏈中不僅有壓力也有拉力,且隨著波傳播,拉力逐漸增大,正梯度鏈中的拉力大于負梯度鏈.

圖7 密度梯度柱殼鏈中的載荷演化Fig.7 Force evolutions in the density gradient cylindrical shell chains

利用有限元模擬結果計算了正負梯度柱殼鏈在沖擊過程中的應變分布,其中應變定義為 ε=Δx/D,Δx為胞元沿加載方向的變形量,D為胞元直徑.基于理論模型也可以獲得柱殼鏈結構中的應變分布,即 ε=-?u/?x.通過比較發現,數值模擬結果與理論結果吻合較好,如圖8.此外,在沖擊過程中正/負梯度柱殼鏈中圓柱殼的最大應變均小于其線彈性段最大有效應變.

圖8 密度梯度柱殼鏈中的應變分布Fig.8 Strain distributions in the density gradient cylindrical shell chains

3.4 密度梯度柱殼鏈的波形調控性能

傳遞到支撐端的峰值載荷通常被用來評估結構的載荷調控能力.基于理論模型,計算出了三角形應力脈沖作用下不同梯度分布柱殼鏈支撐端的峰值載荷.為了方便比較,將支撐端峰值載荷進行歸一化處理.歸一化的峰值載荷由式計算,其中F0為模擬得到的均勻鏈中傳遞到支撐端的峰值載荷.結果表明,當梯度分布參數小于0 時,并隨著梯度分布參數的減小而減小;當梯度分布參數大于0 時,且隨著梯度分布參數的增大而增大,如圖9 所示.因此,針對三角形應力脈沖波形,線性密度分布的柱殼鏈可以在大范圍內對其進行調控.

圖9 密度梯度參數γ 對支撐端載荷的影響Fig.9 Effects of density gradient parameter γ on the peak force at the support end

4 結論

本文通過理論分析和數值模擬研究了應力脈沖激勵下梯度柱殼鏈中的彈性波傳播行為,建立了密度梯度桿在應力脈沖作用下的彈性波傳播模型,并基于細觀有限元模型對理論模型進行了驗證,主要結論如下.

(1) 通過簡化,將密度梯度柱殼鏈等效為變密度連續桿,給出了應力脈沖作用下密度梯度柱殼鏈中彈性波傳播的簡化分析模型.采用拉普拉斯積分變換方法,獲得了應力脈沖作用下線性密度梯度桿中波傳播模型的級數形式的解.

(2) 梯度柱殼鏈結構中應力波由加載端向支撐端沿著柱殼向前傳播.與均勻鏈相比,負梯度鏈的支撐端峰值載荷較小,正梯度鏈支撐端峰值載荷較大.以三角形應力脈沖作用為例,理論模型的解析解可以較好地預測梯度柱殼鏈支撐端載荷的演化趨勢.

(3) 線性密度梯度參數對梯度柱殼鏈的載荷調控性能有較大的影響.對于正梯度鏈,密度梯度參數越大,傳遞到支撐端的峰值載荷越大;對于負梯度鏈,密度梯度參數越小,傳遞到支撐端的峰值載荷越小.

本文建立的理論模型及其解析解為研究梯度柱殼鏈中波傳播規律及揭示波形調控機理提供了理論基礎,對新型載荷控制器的優化設計具有指導意義.值得注意的是,圓柱殼在應變較大時會出現明顯的非線性行為,而本研究中的理論分析以線彈性假設為基礎,因此所考慮的情況要求外載引起的圓柱殼應變應小于其線彈性段最大有效應變.此外,本文建立的密度梯度桿中彈性波傳播簡化分析模型忽略了橫向慣性的影響,盡管可以較好表征梯度柱殼鏈的載荷演化,但預測的峰值載荷略低于模擬結果,進一步的工作可以考慮橫向慣性效應以對模型進行改進.