基于最小二乘支持向量機的組合模型在區域似大地水準面擬合中的應用

李明飛 吳軍超 張一馳

1 陜西省土地工程建設集團有限責任公司，西安市光泰路7號，710075 2 華南師范大學地理科學學院，廣州市中山大道西55號，510631 3 廣東省智慧國土工程技術研究中心，廣州市中山大道西55號，510631

在高程測量中，GPS 獲取的高程數據為大地高，而我國所采用的高程系統為正常高[1]，兩者存在差值，即高程異常。因此，如何獲取高精度的高程異常是區域似大地水準面擬合的關鍵。

LSSVM是一種常用的區域似大地水準面擬合方法，其以支持向量機為基礎改進而來，在高程轉換過程中能夠取得較好的效果[2]。但單一的LSSVM會存在模型誤差，精度有限，且會造成擬合殘差序列信息浪費?；诖?，本文以LSSVM為基礎，提出LSSVM-Shepard組合區域似大地水準面擬合方法，充分利用擬合的殘差序列信息，減少模型誤差影響，提高高程轉換精度。

1 原理與方法

1.1 LSSVM原理

假設(xi,yi)為一組高程異常數據集，其中，i=1,2，…，n，xi∈Rl，yi∈R。xi為數據集的平面坐標，yi為數據集的高程異常。則LSSVM優化問題為：

(1)

式中，ω為系數序列，e為誤差項，γ為正則化參數，φ(·)為映射函數，b為偏差量。根據拉格朗日定理可得：

L(ω,b,e,α)=J(ω,e)-

(2)

分別對ω、b、ei、αi求偏導數，并使偏導數等于0。整理得：

(3)

根據Mercer條件可知[6-7]，存在映射函數φ和核函數K，使得K(xk,xl)=φ(xk)Tφ(xl)。線性方程組(3)整理可得：

(4)

通過解方程(4)可得αi和b，則LSSVM模型函數可表示為：

(5)

1.2 Shepard插值模型

Shepard插值模型是針對大量離散點提出的局部逼近模型，是一種改進的加權平均法[8]。該模型應用于高程轉換的主要原理為：對于給定的數據集(xi,yi,ξi)，i=1,2，…，n，(xi,yi)為平面位置坐標，ξi為對應的高程異常，則未知點高程異?？赏ㄟ^下式進行求解：

(6)

式中，u為擬合度，u>1；ri為未知點到各已知點的距離；ρ(ri)為已知點關于未知點的距離權函數：

(7)

從式(7)可以看出，影響范圍內會形成兩個環帶。

1.3 LSSVM-Shepard組合模型

根據物理大地測量學理論，高程異?？煞譃?個分量[9]，其公式為：

ξ=ξ長+ξ中+ξ短

(8)

式中，ξ長、ξ中、ξ短分別為長波、中波、短波分量。高程異常在中長波項部分趨勢變化平緩，而在短波項部分變化較大，容易受到地形等因素影響。

LSSVM將最小二乘思想引入到支持向量機，趨勢面變化相對平緩，同時保持支持向量機良好的非線性問題處理能力，可提高計算效率。與二次曲面擬合“移去-恢復”模型的中長波項相比，LSSVM能夠更好地處理中長波項中存在的非線性問題。Shepard插值模型可以充分利用周圍已知點信息，能夠有效處理局部變化信息。本文將兩個單一模型進行結合，采用LSSVM擬合高程異常的中長波項，利用Shepard插值模型擬合包含模型誤差的短波項，綜合兩個單一模型的優點，同時充分利用單一模型的擬合殘差信息。其主要步驟如下：

1)利用LSSVM對高程異常的中長波項進行擬合，確定模型系數，并計算包含LSSVM模型誤差和短波項的殘差序列。

2)利用Shepard插值模型對殘差序列進行訓練，使用交叉驗證方法確定模型系數。

3)利用組合模型計算區域內任意一點的高程異常值。

2 算例分析

2.1 項目概況

實例1 項目區位于黑龍江省某市，地勢較為平坦，屬于平原地區。項目區共有74個GPS C級網點，且均已進行二等水準聯測[ 10]，測區面積為1 100 km2。點位分布見圖1。

圖1 平原地區GPS點位分布Fig.1 Distribution of GPS points in plain area

實例2 似大地水準面擬合項目區位于云南某地區，區域內地形起伏大，屬于高原山區地形。區域內共布設24個C級GPS 控制點，并已進行三等水準聯測[11]，測區面積約為2 159 km2。點位分布見圖2。

圖2 高原山區GPS點位分布Fig.2 Distribution of GPS points in plateau mountainous area

2.2 參數選取

LSSVM模型采用徑向基函數作為核函數，其公式為：K(x,xi)=exp(-‖x-xi‖2/2σ2)。該模型含有2個參數，分別為懲罰系數γ和核函數參數σ，模型參數以雙層方格網法進行尋優。同時為減少取樣隨機性所產生的訓練偏差，采用交叉驗證法進行參數精度評定，將原始數據分為n等份，通過n次循環，每次以其中一份作為測試數據，其余n-1份作為訓練數據，得到模型并對測試數據進行預測。統計測試結果，最終獲得n次統計結果的平均值，并以此作為參數的評價因子。Shepard插值模型參數為擬合度u和影響半徑R，為防止模型陷入局部最優，文中將u和R范圍分別設置為[1,50]和[0.1,20]，搜索步長分別設置為1和0.02，同時通過循環操作使尋優過程遍歷每一個節點。

2.3 實驗對比分析

為增加實驗的可靠性，選取10、20、30、40、50個均勻分布的聯測點分別作為平原地區實驗擬合點，選取7、9、11、13、15個均勻分布的聯測點分別作為高原山區實驗擬合點，剩余點作為檢測點進行計算。為使高程異常數據集處于同一量級，在實驗前對兩組數據分別進行標準化處理。

實驗分別采用二次曲面法、LSSVM、Shepard插值模型、二次曲面-Shepard、LSSVM-Shepard模型等5種方法進行似大地水準面擬合，采用檢測點的外符合精度作為評定指標。實驗計算結果如表1(單位m)和表2(單位m)所示。

表1為平原地區各模型計算結果對比。當擬合點個數從10增加至50時，LSSVM-Shepard模型的外符合精度從0.035 m降至0.015 m，且數值均小于二次曲面、LSSVM、Shepard插值等3種單一模型，說明該組合模型的擬合效果優于這3種單一模型。二次曲面-Shepard模型隨著擬合點數增加，外符合精度從0.034 m降為0.013 m，且數值均小于二次曲面和Shepard插值模型，說明擬合效果優于這兩種單一模型。當擬合點個數一定時，二次曲面-Shepard和LSSVM-Shepard模型的外符合精度最大差值的絕對值為0.002 m，表明兩個組合模型的擬合效果基本一致。

表1 平原地區似大地水準面擬合結果統計

表2為高原山區各模型計算結果對比。當擬合點個數一定時，LSSVM-Shepard模型的外符合精度小于其他4種模型，說明該組合模型高程轉換效果最優。當擬合點個數由7增加至11時，二次曲面-Shepard模型的外符合精度分別為0.097 m、0.103 m、0.110 m，而Shepard插值模型的外符合精度分別為0.095 m、0.094 m、0.089 m，Shepard插值模型的擬合效果略優，說明二次曲面-Shepard模型在復雜的高原山區進行高程轉換時適用性受限。

表2 高原山區似大地水準面擬合結果統計

綜上所述，無論是在平原還是高原山區實驗區，LSSVM-Shepard模型的擬合效果均優于二次曲面、LSSVM、Shepard插值等3種單一模型。在平原實驗區，LSSVM-Shepard模型和二次曲面-Shepard模型均能取得較好的擬合效果，但在高原山區實驗區，二次曲面-Shepard模型適用性受限，而LSSVM-Shepard模型仍能取得較好的擬合效果。

3 結 語

本文提出LSSVM-Shepard組合區域似大地水準面擬合方法，并結合平原地區和高原山區兩個工程實例進行實驗，得到以下結論：

1)無論是在平原地區還是高原山區，LSSVM-Shepard模型的擬合效果均優于二次曲面法、LSSVM、Shepard插值等3種單一模型，是一種可行的似大地水準面擬合方法。

2)二次曲面-Shepard模型在平原實驗區進行高程轉換時，能夠取得較好的擬合效果，但在高原山區實驗中，轉換度低于Shepard插值模型，適用性受限。LSSVM-Shepard模型以LSSVM代替二次曲面模型，能夠有效處理轉換過程中的非線性問題，在兩個實驗中均能取得較好的高程轉換效果，具有較強的適用性。