基于Stribeck模型的摩擦界面粘滑振動(dòng)數(shù)值仿真分析

陳超山，謝國進(jìn)，盧 敏，黃 斌

（1.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 柳州 545000；2.廣西科技大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣西 柳州 545000；3.廣西柳州鋼鐵集團(tuán)公司質(zhì)量部，廣西 柳州 545006）

粘滑振動(dòng)（stick-slip vibration）作為一種典型的非光滑振動(dòng)，主要是由于摩擦界面動(dòng)、靜摩擦系數(shù)數(shù)值不同而發(fā)生的“運(yùn)動(dòng)—靜止—運(yùn)動(dòng)—靜止”的摩擦現(xiàn)象。粘滑振動(dòng)廣泛存在于含有摩擦副的各類機(jī)械系統(tǒng)中，尤其是低相對(duì)滑動(dòng)速度、高外部作用載荷條件下[1]。粘滑振動(dòng)導(dǎo)致機(jī)械系統(tǒng)顫振和極限環(huán)振蕩，并由其引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定振動(dòng)，帶來諸如低鳴噪聲（如汽車制動(dòng)器[2]）、降低加工精度（如機(jī)床[3]）等嚴(yán)重問題。因此，全面、系統(tǒng)地研究摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)發(fā)生機(jī)理及其關(guān)鍵影響因素，對(duì)于提高含有摩擦的機(jī)械系統(tǒng)的工作性能具有重要的工程指導(dǎo)價(jià)值。

目前，國內(nèi)外研究人員對(duì)振動(dòng)摩擦系統(tǒng)中的粘滑振動(dòng)現(xiàn)象開展了許多理論研究和試驗(yàn)研究工作，有效促進(jìn)人們對(duì)于粘滑振動(dòng)的認(rèn)識(shí)。在理論研究方面，Papangelo等[4]建立了單自由度摩擦模型，并以傳送帶滑動(dòng)速度作為分岔參數(shù)，采用數(shù)值計(jì)算方法繪制了傳送帶滑動(dòng)速度作用下的摩擦系統(tǒng)分岔圖，且采用標(biāo)準(zhǔn)線性穩(wěn)定性分析和非線性穩(wěn)定性分析討論了大擾動(dòng)下的摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)特性。Wei等[5]建立了汽車制動(dòng)系統(tǒng)雙層制動(dòng)片結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，討論了制動(dòng)片質(zhì)量和連接剛度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，以及不同外部壓力作用下系統(tǒng)的非線性行為和粘滑振動(dòng)響應(yīng)。Marín等[6]利用數(shù)值仿真分析軟件，討論了單自由度模型和二自由度模型中主要參數(shù)對(duì)粘滑振動(dòng)相平面和相空間運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律。張立軍等[7]采用有限元方法建立了汽車盤式制動(dòng)器的有限元模型，討論了蠕動(dòng)顫振發(fā)生時(shí)汽車制動(dòng)器的非線性動(dòng)力學(xué)特性。閻俊等[8]以典型的含結(jié)合面干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了含多尺度粘滑干摩擦模型的系統(tǒng)模型，討論了諧波激勵(lì)下摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的非線性行為。

在試驗(yàn)研究方面，Park等[9]采用1∶5縮比試驗(yàn)裝置開展了制動(dòng)界面接觸平臺(tái)大小及分布對(duì)制動(dòng)器粘滑振動(dòng)的影響研究，發(fā)現(xiàn)接觸平臺(tái)對(duì)粘滑振動(dòng)的強(qiáng)度及頻率均具有顯著影響。Gweon等[10]采用試驗(yàn)方式研究了制動(dòng)片摩擦材料中玻璃纖維分布情況對(duì)粘滑振動(dòng)的影響，發(fā)現(xiàn)含有研磨玻璃纖維的摩擦材料具有較高的摩擦系數(shù)、高磨損系數(shù)和更大的振蕩振幅。張立軍等[11]以某乘用車為研究對(duì)象，開展了常規(guī)平路起步和坡道空擋起步工況下汽車制動(dòng)顫振試驗(yàn)研究，并對(duì)汽車制動(dòng)器粘滑振動(dòng)的關(guān)鍵影響因素進(jìn)行了分析和討論。滕學(xué)清等[12]采用ESM鉆柱振動(dòng)測(cè)量工具測(cè)量了某超深井井下鉆柱的三向振動(dòng)加速度信號(hào)，并采用信號(hào)處理方法對(duì)粘滑振動(dòng)特征進(jìn)行提取，討論了井下鉆柱的粘滑振動(dòng)行為。

Stribeck摩擦模型考慮了庫倫摩擦、黏性摩擦、靜摩擦以及Stribeck效應(yīng)，能夠較好地描述干摩擦過程摩擦系數(shù)的演變情況，因而在粘滑振動(dòng)的理論和試驗(yàn)研究中均得到了廣泛的應(yīng)用。然而，卻鮮有研究人員系統(tǒng)地開展Stribeck摩擦模型參數(shù)變化下粘滑振動(dòng)的數(shù)值及有限元仿真分析。為此，本文針對(duì)機(jī)械裝備摩擦系統(tǒng)中普遍存在的粘滑振動(dòng)現(xiàn)象，建立了考慮界面接觸行為的4自由度摩擦模型，討論了Stribeck摩擦模型、界面接觸行為和外部輸入對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的影響。研究成果為進(jìn)一步研究粘滑振動(dòng)發(fā)生機(jī)理及尋找有效的抑制措施提供一定的理論指導(dǎo)。

1 摩擦自激振動(dòng)物理模型

本文基于模態(tài)耦合理論，借鑒Hoffmann提出的2自由度摩擦模型[13]，建立了考慮摩擦界面接觸剛度的4自由摩擦自激振動(dòng)物理模型，如圖1所示。

圖1 摩擦自激振動(dòng)物理模型

該摩擦自激振動(dòng)物理模型由具有x1和y12個(gè)方向自由的質(zhì)量塊m1和x2及y22個(gè)方向自由度的傳送帶m2構(gòu)成。質(zhì)量塊m1由2根斜彈簧（k1和k2）及2個(gè)阻尼器（c1和c2）共同支撐，其中斜彈簧k1和k2與x1軸的夾角分別為α1和α2，阻尼器c1與y1軸同向，阻尼器c2與x1軸同向。對(duì)于傳送帶m2而言，其主要由彈簧k3和k4與阻尼器c3和c4共同支撐，當(dāng)中k3和c3與x2軸同向，k4和c4與y2軸同向。傳送帶m2沿著圖中方向以速度V0滑動(dòng)，并通過接觸剛度kn和接觸阻尼cn與質(zhì)量塊m1實(shí)現(xiàn)接觸，故質(zhì)量塊m1受到的摩擦力Ff方向與傳送帶m2滑動(dòng)方向一致。為了保證質(zhì)量塊m1與傳送帶一直處于摩擦接觸狀態(tài)，在質(zhì)量塊m1上施加沿y1反方向的作用力Fn。

由于Stribeck摩擦模型能夠較好地描述相對(duì)運(yùn)算速度和摩擦系數(shù)之間的關(guān)系以及動(dòng)靜摩擦力的轉(zhuǎn)換過程，因而在摩擦自激振動(dòng)的相關(guān)研究中得到廣泛應(yīng)用[1]。根據(jù)Stribeck摩擦模型可將質(zhì)量塊m1與傳送帶m2之間的摩擦系數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)方程式可寫為

式中：μk為動(dòng)摩擦系數(shù)；μs為靜摩擦系數(shù)；α為Stribeck摩擦模型的指數(shù)衰減因子。其中，指數(shù)衰減因子α決定摩擦系數(shù)衰減的速度，α越大，摩擦系數(shù)的衰減速度越快。當(dāng)α=0時(shí)，此時(shí)摩擦系數(shù)曲線沒有衰減趨勢(shì)，最大靜摩擦系數(shù)的數(shù)值和動(dòng)摩擦系數(shù)的數(shù)值相等，即摩擦系數(shù)和速度無關(guān)。此外，νr為質(zhì)量塊m1與傳送帶m2之間沿著x1方向的相對(duì)速度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可描述為

由前述建立的摩擦自激振動(dòng)物理模型，結(jié)合牛頓第二定律可得到該物理模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：Fcontact-n為質(zhì)量塊m1與傳送帶m2之間的界面接觸力，其可描述為

式中：kn為質(zhì)量塊m1與傳送帶m2之間的接觸剛度；cn則為接觸阻尼。

2 摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)特性分析

基于前述建立的4自由度摩擦自激振動(dòng)物理模型及其數(shù)學(xué)表達(dá)式，討論Stribeck摩擦模型參數(shù)、外部輸入及界面接觸剛度對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的影響。其中，該摩擦系統(tǒng)的主要參數(shù)設(shè)置：m1=2 kg，m2=10 kg，k1=3 000 N/m，k2=5 000 N/m，k3=k4=8 000 N/m，c1=c2=c3=c4=0.1 N/（m/s）。這里需要說明的是，本文建立的4自由度摩擦自激振動(dòng)模型及其參數(shù)選取并非為了重現(xiàn)某一特定的物理或試驗(yàn)現(xiàn)象，而是為了定性地闡明不同因素影響下摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)特性及其演變規(guī)律。

2.1 Stribeck摩擦模型參數(shù)影響分析

在式（1）Stribeck摩擦模型基礎(chǔ)上，以動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.1，指數(shù)衰減系數(shù)α=1，靜摩擦系數(shù)μs分別為0.2、0.3、0.4、0.5、0.6，可得到摩擦系數(shù)隨相對(duì)速度νr的變化規(guī)律如圖2（a）所示；以動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.2，靜摩擦系數(shù)μs=0.5，衰減系數(shù)α分別為1、2、3、4、5，可得到以上參數(shù)影響下摩擦系數(shù)隨相對(duì)速度νr的變化規(guī)律如圖2（b）所示。由圖2可以看出，相對(duì)速度較小時(shí)，靜摩擦系數(shù)對(duì)摩擦系數(shù)整體大小的影響最為顯著，但隨著相對(duì)速度的增大，靜摩擦系數(shù)的影響較小。指數(shù)衰減系數(shù)則顯著影響動(dòng)、靜摩擦系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。指數(shù)衰減系數(shù)較大時(shí)，動(dòng)、靜摩擦系數(shù)快速轉(zhuǎn)換，而指數(shù)衰減系數(shù)較小時(shí)，動(dòng)、靜摩擦系數(shù)隨著相對(duì)速度變化而緩慢過渡。

假設(shè)質(zhì)量塊m1受到的法向力Fn=100 N，動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.1，指數(shù)衰減系數(shù)α=1，傳送帶m2的滑動(dòng)速度V0=0.01 m/s，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s）。將圖2（a）中的摩擦系數(shù)代入前述建立的4自由度摩擦自激振動(dòng)物理模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并在MATLAB中采用ode45進(jìn)行求解，可得到以上參數(shù)作用下摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)特性，如圖3所示。

圖2 摩擦系數(shù)隨相對(duì)速度的變化

由圖3可以看出，靜摩擦系數(shù)μs對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的時(shí)域特性和頻域特性均具有顯著影響。其中，靜摩擦系數(shù)較小時(shí)（μs=0.2），質(zhì)量塊m1僅沿著x1軸的負(fù)方向滑動(dòng)，且滑動(dòng)速度也最小。隨著滑動(dòng)速度的增大，質(zhì)量塊m1的運(yùn)動(dòng)方向?qū)⒉粌H限于x1軸的負(fù)方向，而是沿著x1軸的正、負(fù)方向均有運(yùn)動(dòng)。此外，隨著靜摩擦系數(shù)μs的增大，質(zhì)量塊m1沿著x1軸的正、負(fù)方向的振動(dòng)速度均顯著增大。因此，靜摩擦系數(shù)的變化對(duì)摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)強(qiáng)度具有顯著影響。

圖3 不同靜摩擦系數(shù)下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的時(shí)域特性和頻域特性

在摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的頻域特性方面，不同靜摩擦系數(shù)下摩擦系統(tǒng)均表現(xiàn)為多階諧波振動(dòng)，各階振動(dòng)頻率沒有隨著靜摩擦系數(shù)的變化而變化。對(duì)于摩擦系統(tǒng)而言，其頻率響應(yīng)特性主要由其固有結(jié)構(gòu)（如結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量等）決定，故而Stribeck摩擦模型靜摩擦系數(shù)的變化并不會(huì)改變摩擦系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。盡管如此，隨著靜摩擦系數(shù)的增大，摩擦系統(tǒng)各階振動(dòng)強(qiáng)度均明顯增強(qiáng)，這與前述時(shí)域特性分析結(jié)果一致。

不同靜摩擦系數(shù)下摩擦系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相圖如圖4所示。由圖4可以看出，各個(gè)靜摩擦系數(shù)下摩擦系統(tǒng)均能夠明顯區(qū)分粘著和滑動(dòng)2種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。靜摩擦系數(shù)μs=0.2時(shí)，摩擦系統(tǒng)滑動(dòng)階段振動(dòng)速度均小于傳送帶滑動(dòng)速度（0.01 m/s），且摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)位移均小于0，即往x1軸的負(fù)方向。隨著靜摩擦系數(shù)增大，摩擦系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖的極限環(huán)也隨之增大，振動(dòng)速度和振動(dòng)位移都存在于x1軸的正、負(fù)方向。其中，靜摩擦系數(shù)的增大也導(dǎo)致摩擦系統(tǒng)往x1軸正、負(fù)方向的振動(dòng)速度和位移增大。

圖4 不同靜摩擦系數(shù)下摩擦系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖

同樣地，假設(shè)質(zhì)量塊m1受到的法向力Fn=100 N，靜摩擦系數(shù)μs=0.5，動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.2，傳送帶m2的滑動(dòng)速度V0=0.01 m/s，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s）。將圖2（b）中的摩擦系數(shù)代入前述建立的4自由度摩擦自激振動(dòng)物理模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，對(duì)摩擦系統(tǒng)進(jìn)行求解可得到以上參數(shù)作用下摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)特性，如圖5所示。

由圖5可以看出，Stribeck摩擦模型的指數(shù)衰減系數(shù)對(duì)摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)強(qiáng)度具有一定影響，隨著指數(shù)衰減系數(shù)的增大，粘滑振動(dòng)的強(qiáng)度也有一定程度的減弱，如圖5（a）所示。其中，在指數(shù)衰減系數(shù)α=4時(shí)，摩擦系統(tǒng)滑動(dòng)階段振動(dòng)速度方向正好與其他幾種情況相反。對(duì)圖5（a）中不同指數(shù)衰減系數(shù)下的摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行FFT分析，結(jié)果如圖5（b）所示。從而得出，各指數(shù)衰減系數(shù)下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)在頻域上均呈現(xiàn)出倍頻關(guān)系，即粘滑振動(dòng)為多階諧波振動(dòng)。此外，指數(shù)衰減系數(shù)對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)各階頻率均沒有影響，僅影響了各階頻率下能量聚集情況。不難發(fā)現(xiàn)，隨著指數(shù)衰減系數(shù)的增大，各階頻率處聚集的能量均增強(qiáng)，這與摩擦系統(tǒng)的時(shí)域信號(hào)分析一致。

圖5 不同指數(shù)衰減系數(shù)下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的時(shí)域特性和頻域特性

圖6為Stribeck摩擦模型不同指數(shù)衰減系數(shù)下摩擦系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相圖。結(jié)果表明，該相圖可以明顯看出摩擦系統(tǒng)存在粘著和滑動(dòng)2種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且摩擦系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相圖隨著指數(shù)衰減系數(shù)的增大而增大。摩擦系統(tǒng)處于粘著狀態(tài)時(shí)，其振動(dòng)速度與傳送帶滑動(dòng)速度（V0=0.01 m/s）一致，振動(dòng)位移方向則存在于x1軸的正、負(fù)方向；摩擦系統(tǒng)處于滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)，摩擦系統(tǒng)質(zhì)量塊m1沿著x1軸的正負(fù)方向均有運(yùn)動(dòng)，其中主要以x1軸運(yùn)動(dòng)為主，且隨著衰減系數(shù)的增大，質(zhì)量塊m1的振動(dòng)速度和振動(dòng)位移均增大。

圖6 不同指數(shù)衰減系數(shù)下摩擦系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖

2.2 外部輸入的影響分析

對(duì)于摩擦系統(tǒng)而言，外部輸入（如載荷和傳送帶滑動(dòng)速度等）均會(huì)給其粘滑振動(dòng)特性帶來顯著影響。為此，本節(jié)將著重討論作用在質(zhì)量塊m1上的法向力和傳送帶滑動(dòng)速度V0分別對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)特性的影響。假設(shè)Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數(shù)μs=0.5，動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.2，指數(shù)衰減系數(shù)α=1，傳送帶滑動(dòng)速度V0=0.01 m/s，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s）。分別取一系列法向載荷F（100、200、300、400、500 N），在MATLAB中通過ode45求解摩擦系統(tǒng)，可得到不同法向力作用下摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)時(shí)域特性和頻域特性，如圖7所示。

由圖7可以看出，在法向載荷F為100 N和200 N時(shí)，摩擦系統(tǒng)在x1軸的正負(fù)方向均存在運(yùn)動(dòng)，但是這2種載荷作用下摩擦系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向則正好相反。隨著法向載荷F的增大，摩擦系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向以x1軸的負(fù)方向?yàn)橹鳎瑑H在m1振動(dòng)速度從0過渡到傳送帶滑動(dòng)速度V0=0.01 m/s這一過程中運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤1軸正方向。在摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)強(qiáng)度方面，在本文設(shè)定的參數(shù)范圍內(nèi)，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)強(qiáng)度隨著法向載荷F的增大呈減小趨勢(shì)。此外，在法向載荷較小時(shí)，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)較為穩(wěn)定，隨著法向載荷的增大，摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)變得不穩(wěn)定。由圖7（a）可知，粘滑振動(dòng)峰值時(shí)大時(shí)小。

圖7 不同法向載荷作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的時(shí)域特性和頻域特性

由圖7（b）可以看出，法向載荷的作用并未改變摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的頻域特性，各法向載荷作用下摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)仍然表現(xiàn)出倍頻關(guān)系，即呈現(xiàn)出多階諧波振動(dòng)。不同法向載荷作用下，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)均以一階振動(dòng)（頻率為6 Hz）為主。隨著法向載荷的增大，摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)各階頻率處所聚集的能量均減小，這與摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)時(shí)域分析結(jié)果一致。

繪制不同法向載荷F作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)相圖，如圖8所示。由圖8可以看出，在法向載荷F為100 N和200 N時(shí)，摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)空間均較大，且較為穩(wěn)定并表現(xiàn)為單周期運(yùn)動(dòng)特征。隨著法向載荷的增大，摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)相圖空間減小，并且運(yùn)動(dòng)相圖往x1軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。此外，從圖8也可以看出，法向載荷給摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的穩(wěn)定性帶來顯著影響，法向載荷為400 N和500 N時(shí)，摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)相圖呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。盡管法向載荷增大導(dǎo)致摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)速度減小，但是振動(dòng)位移卻沿x1軸負(fù)方向顯著增大，這可能是法向載荷增大，摩擦系統(tǒng)粘著階段時(shí)間較長(zhǎng)導(dǎo)致的。

圖8 不同法向載荷作用下摩擦系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖

假設(shè)Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數(shù)μs=0.5，動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.2，指數(shù)衰減系數(shù)α=1，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s），作用在質(zhì)量塊m1上的法向載荷F=100 N，傳送帶滑動(dòng)速度V0分別取一系列值（0.01、0.02、0.03、0.04、0.05 m/s），在MATLAB中通過ode45求解摩擦系統(tǒng)，可得到不同傳送帶滑動(dòng)速度V0作用下摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)時(shí)域特性和頻域特性，如圖9所示。

由圖9可以看出，傳送帶滑動(dòng)速度對(duì)摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)特性同樣具有一定影響。在本文設(shè)定一系列傳送帶滑動(dòng)速度影響下，摩擦系統(tǒng)均沿著x1軸的正負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。其中，傳送帶滑動(dòng)速度V0=0.01 m/s時(shí)，摩擦系統(tǒng)振動(dòng)速度較小，傳送帶滑動(dòng)速度增大時(shí)，摩擦系統(tǒng)相應(yīng)的振動(dòng)強(qiáng)度也急劇增大，而后粘滑振動(dòng)強(qiáng)度隨著傳送帶滑動(dòng)速度的增大未表現(xiàn)出明顯的增強(qiáng)。從圖9（b）中傳送帶不同滑動(dòng)速度作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)頻域特性可以看出，傳送帶滑動(dòng)速度對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的頻率成分未帶來顯著影響，粘滑振動(dòng)均表現(xiàn)出多階諧波振動(dòng)特性。傳送帶滑動(dòng)速度影響了摩擦系統(tǒng)各階頻率處能量的聚集情況，且影響規(guī)律與時(shí)域特性一致。

圖9 不同傳送帶滑動(dòng)速度作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)時(shí)域特性和頻域特性

繪制不同傳送帶滑動(dòng)速度作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)相圖，如圖10所示。由圖10可以看出，傳送帶滑動(dòng)速度較小時(shí)，摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)相圖空間較小，隨著傳送帶滑動(dòng)速度的增大，相圖空間也急劇增大，而后未再顯著增大。此外，傳送帶滑動(dòng)速度較小時(shí)，摩擦系統(tǒng)在x1軸的正負(fù)方向都存在粘著現(xiàn)象，而隨著傳送帶滑動(dòng)速度的增大，僅在質(zhì)量塊往x1軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)過渡到沿正方向運(yùn)動(dòng)階段存在粘著現(xiàn)象。

圖10 不同傳送帶滑動(dòng)速度作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)相圖

2.3 界面接觸剛度的影響分析

許多研究表明，摩擦系統(tǒng)界面摩擦學(xué)行為與系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)存在直接關(guān)系，而界面摩擦學(xué)行為也將通過界面接觸剛度反饋于摩擦系統(tǒng)的摩擦自激振動(dòng)[14-15]。為此，本節(jié)將討論摩擦系統(tǒng)界面接觸剛度對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的影響。

假設(shè)作用在質(zhì)量塊m1上的法向力F=100 N，傳送帶滑動(dòng)速度V0=0.01 m/s，Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數(shù)μs=0.5，動(dòng)摩擦系數(shù)μk=0.2，指數(shù)衰減系數(shù)α=1，摩擦界面接 觸 剛 度 取 一 系 列 值（kn分 別 為2 000、3 000、4 000、5 000 N/m）。在MATLAB中通過ode45求解摩擦系統(tǒng)，得到不同界面接觸剛度作用下摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)時(shí)域特性和頻域特性，分別如圖11和12所示。

由圖11和圖12表明，接觸剛度kn=2 000 N/m時(shí)，質(zhì)量塊m1的振動(dòng)速度均小于傳送帶的滑動(dòng)速度V0，且摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)強(qiáng)度也是最小的。接觸剛度kn為3 000 N/m和4 000 N/m時(shí)，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)得到顯著增強(qiáng)，振動(dòng)速度也不再是所有時(shí)刻都小于傳送帶的滑動(dòng)速度，其中摩擦系統(tǒng)的接觸剛度kn=4 000 N/m時(shí)，具有最強(qiáng)的粘滑振動(dòng)。然而，接觸剛度kn=5 000 N/m時(shí)，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)強(qiáng)度反而減弱了，說明接觸剛度的增大并不會(huì)導(dǎo)致摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)無限增強(qiáng)。在接觸剛度對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)頻域影響方面，不同接觸剛度下摩擦系統(tǒng)的頻率成分表現(xiàn)出一定差異，但仍然存在多階諧波振動(dòng)特性。

圖11 不同接觸剛度下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)時(shí)域特性

圖12 不同接觸剛度下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)頻域特性

繪制不同接觸剛度作用下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)相圖，如圖13所示。由圖13可以看出，接觸剛度kn=2 000 N/m時(shí)，摩擦系統(tǒng)表現(xiàn)出單周期運(yùn)動(dòng)特征，且質(zhì)量塊m1的振動(dòng)速度都小于傳送帶的滑動(dòng)速度，其振動(dòng)位移也處于x1軸的負(fù)方向。隨著接觸剛度增大，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)相圖先由混沌狀態(tài)逐漸趨于單周期振動(dòng)，且相圖的范圍也先增大后減小。

圖13 不同接觸剛度下摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)運(yùn)動(dòng)相圖

3 結(jié)論

本文建立了考慮界面接觸行為的4自由度摩擦自激振動(dòng)模型，討論了Stribeck摩擦模型、界面接觸行為和外部輸入對(duì)摩擦系統(tǒng)粘滑振動(dòng)的影響。具體結(jié)論如下。

（1）Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數(shù)的增大能夠顯著增強(qiáng)摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)強(qiáng)度，運(yùn)動(dòng)相圖空間也隨之增大且單周期運(yùn)動(dòng)顯著；指數(shù)衰減系數(shù)的增大則略微降低，運(yùn)動(dòng)相圖空間減小，系統(tǒng)穩(wěn)定性未顯著變化；靜摩擦系數(shù)和指數(shù)衰減系數(shù)的變化對(duì)摩擦系統(tǒng)的頻域特性未產(chǎn)生影響。

（2）界面接觸剛度反映了質(zhì)量塊與傳送帶之間的摩擦學(xué)行為，摩擦系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)隨著接觸剛度先增大后減小，運(yùn)動(dòng)相圖逐漸趨于單周期運(yùn)動(dòng)。接觸剛度的變化改變了摩擦系統(tǒng)的頻域特性。

（3）法向力及傳動(dòng)帶的滑動(dòng)速度作為摩擦系統(tǒng)的外部輸入，同樣對(duì)系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)存在顯著影響。對(duì)于質(zhì)量塊-傳送帶系統(tǒng)，法向力的增大降低粘滑振動(dòng)強(qiáng)度且改變了運(yùn)動(dòng)方向；滑動(dòng)速度則在較小時(shí)顯著改變系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)強(qiáng)度，較大時(shí)則未產(chǎn)生顯著影響。