馬爾可夫跳躍線性系統的符號穩定研究

王 恒，郭俊亮，唐孝國

（銅仁職業技術學院 信息工程學院，貴州 銅仁 554300）

馬爾可夫跳躍線性系統是一類特殊的混雜系統，是由一族子系統和描述其之間聯系的切換規則所組成，切換規則由馬爾科夫過程控制，有關這類切換系統研究成果很多[1-8]，例如，指數幾乎處處穩定，全局漸近穩定，均方穩定等[2-5]。其設計切換的方法也很多，如持續駐留時間，平均駐留時間等[6-8]。隨著工程領域內的控制對象日益復雜，系統的模態不斷增加，定量穩定難以求解，而一種定性穩定概念——符號穩定，為這個問題提供了一條新的思路，符號穩定由于其符號與矩陣元素的數值大小無關，作為一種天然的魯棒穩定，不但簡單直觀，且一定程度上能夠繼承經典方法的設計經驗，這也推動了魯棒控制理論的發展。

給定一個實矩陣，僅保留其各元素的符號由此組成的矩陣稱為這個實矩陣的符號型，符號型矩陣可視為一類特殊的矩陣，其元素均由符號{+，-，0}組成。而符號穩定[9]的概念最早出現在生態系統，在大規模的生物圈中，種群數量受多種因素影響且缺少精確的建模方法，但卻呈現出很強的穩定性和抗干擾能力，這就促使研究人員利用符號穩定這種定性方法來分析不同物種間的動態變化過程，將這個變化過程與矩陣聯系起來，通過分析雅克比矩陣的符號特征來研究動態系統的定性穩定性，（i，j）表示矩陣第i行第j列的元素，如果這個元素符號為正，表示物種j對物種i有積極影響，符號為負表示消極影響，零表示沒有影響。這種聯系可以用一個有向圖來表示。例如，給定一個符號矩陣

其有向圖如圖1所示。

圖1 A的有向圖

相關研究者開始分析并運用符號穩定，得到了許多研究成果[9-11]。Jeffries[10]等用涂色測試法得到了符號穩定的充分條件，Rama[11]通過分析不同位置元素之間的聯系提出了一種簡單的符號穩定條件。基于這些研究，符號穩定在控制工程領域逐漸得到重視和應用[12-16]。相比于傳統的Lyapunov穩定性理論，符號穩定應用更加廣泛。

本文主要分析了符號穩定如何聯系馬爾可夫跳躍線性系統，目的是探索一種新的控制設計方法，基于馬爾可夫跳躍線性系統的均方穩定，分析其子系統矩陣和轉移概率矩陣的符號，得到了均方符號穩定，最后將得到的符號型代入數值進行驗證。

1 問題描述

1.1 數學概念

Rn×n表示一個n維的實矩陣，In表示一個n維的單位矩陣。給定矩陣An×n=（aij）n×n，Aij表示矩陣的元素aij，diag An×n表示矩陣的對角線元素{a11，a22，…，ann}。給定矩陣Ai，i=1，2，…，n，blockdiag（A1，…，An）表示塊對角矩陣。ei表示第i個元素是1，其余元素為零的列向量。sgn An×m表示矩陣An×m的符號型，GA表示sgn An×m的有向圖。νec（A）在A上的作用是依A的列的順序將A轉化為一個列向量。?表示Kronecker積，⊕表示Kronecker和，其運算方式為

1.2 馬爾可夫跳躍線性系統的均方穩定

考慮以下馬爾可夫跳躍線性系統

式中：x（t）是系統的狀態向量；Ai為子系統矩陣；σ（t）是一個取值于{1，2，…，N}的齊次馬爾可夫隨機過程的有限狀態。其過程σ（t）定義為

λij表示在時刻t從模態i經過h切到模態j的轉移速率，且滿足

Λ=[λij]是σ（t）的轉移速率矩陣。假設t=0時，k=0，在第k次跳躍之后的駐留時間是τk。令πi（t）=Pr{σ（t）=i}，并且其平穩分布Π=[π1，π2，...，πN]滿足。式（1）和（2）被稱為馬爾可夫跳躍線性系統。

定義1[7]：對于任意初始條件x（0）和任意初始分布Π0，如果

那么馬爾可夫跳躍線性系統（1）和（2）被稱為均方穩定的。

定理2[7]：系統（1）和（2）是均方穩定的，當且僅當存在對稱正定矩陣，使得下面不等式成立，

定理3：系統（1）和（2）是均方穩定的，當且僅當矩陣A'是赫爾維茨穩定的。

證明：由定理2可知存在對稱正定矩陣Pi∈Rn×n使得式（4）成立，系統（1）和（2）是均方穩定的，那么利用由式（4）可得

存在對稱正定矩陣Pi∈Rn×n使得式（5）成立，當且僅當A'是赫爾維茨穩定的。

1.3 馬爾可夫跳躍系統的定性特性

在接下來的分析中，只考慮A'的符號型，它們屬于一個符號矩陣的集合，即一種定性的矩陣。

定義4[16]：符號矩陣是一個所有矩陣元素取值于集合S:={-，＋，0}中的矩陣。所有n行m列的符號矩陣可表示為Sn×m。

定義5[16]：一類定性的實矩陣An×m通過下面這個集合定義。

由定義5可知，Q（A）表示一類與A有相同符號的實矩陣，那么QS表示在Q（A）中，對于所有實矩陣A，有sgn Aij=Sij，令M滿足式（3）的不可約矩陣，那么

為了分析馬爾可夫跳躍線性系統的符號穩定，將式（1）描述為

定義6[15]：如果所有使得系統（1）和（2）是均方穩定，那么稱系統（6）是均方符號穩定。

1.4 符號穩定的概念及性質

這篇文章將符號穩定的概念引入馬爾可夫跳躍線性系統，目的是探索一種新的控制設計方法。接下來將定義符號穩定，并分析它的相關性質。

定義7[12]：如果與實矩陣An×n有相同符號型的任意實矩陣An×n都是赫爾維茨穩定的，則稱sgn An×n是符號穩定的。

說明8：矩陣An×n=（aij）n×n滿足aijaji=0（i≠j）和aijajk…aqrari=0，則稱GA是非循環的。

定理9[15]：如果GA是非循環的，則存在一個置換矩陣Q，使得QTAQ是一個上三角矩陣。

定義10[13]：定義各個符號型并運算如下。

（1）如果各符號型同一位置處的各元素為某一相同符號或0，則并運算結果對應位置處的元素為該符號（非0）。

（2）如果各符號型同一位置處的各元素均為0，則并運算結果對應位置處的元素為0。

（3）如果各符號型同一位置處的各元素異號，則并運算結果對應位置處的元素記為*，表示可取任意符號。

上述并運算結果所得矩陣為各個符號型的源符號型矩陣。

定理11：蓋爾斯果林圓盤定理。

一個n階矩陣An×n=（aij）n×n的全部特征值包含在以下的n個圓盤中：

定理12[11]：如果一個符號矩陣A可以分為A1，A2，…，Aq，且det A=det A1×det A2×…×det Aq，那么A是符號穩定的，當且僅當A1，A2，…，Aq全部是符號穩定的。

2 馬爾可夫跳躍線性系統均方符號穩定分析

給定馬爾可夫跳躍線性系統（6）的子系統矩陣Ai和轉移概率矩陣Λ，令

注意，S'和Si分別是A'，Ai的符號矩陣。通過分析Si和Λ之間的聯系可以分析S'的符號穩定。

定理13：R是Si的符號矩陣集合的源符號型矩陣，下面兩個命題等價：

①馬爾可夫跳躍線性系統（6）是均方符號穩定的；

②GR是非循環的，diag R＜0且diag Si＜0。

證明：馬爾可夫跳躍線性系統（6）是均方符號穩定的，根據定義6，所有，使得系統（1）和（2）是均方穩定的，又由定理3可知，系統（1）和（2）是均方穩定的，當且僅當矩陣A'是赫爾維茨穩定的，所以馬爾可夫跳躍線性系統（6）是均方符號穩定的，等價于S'是符號穩定的。R是Si的符號矩陣集合的源符號型矩陣，GR是非循環的，由定義10可知，所有GSi是非循環的，令

那么

式中：0表示零矩陣；·表示矩陣元素不全為零的Di,ν或Dν,i，如果S'是符號穩定的，等價于QTS'Q是符號穩定的，等價于Q'T（QTS'Q）Q'是符號穩定的，由定理12可知，如果Q'T（QTS'Q）Q'是符號穩定的，當且僅當Dki，ki+ΛT（i=1，2，…，N）是符號穩定的，即Dki，ki+Λ（i=1，2，…，N）是符號穩定的。下面證明Dki，ki+Λ（i=1，2，…，N）是符號穩定的。

因為Si的對角線元素小于零，所以Dki，ki的對角線元素全部小于零，Λ滿足式（3），即，那么，由定理11可知，的特征值分布在如圖2所示的圓盤內，所以Dki，ki+Λ（i=1，2，...，N）是符號穩定的。

圖2 特征值分布

3 符號例子和數值例子

對于馬爾可夫跳躍線性系統（6）的均方符號穩定，令N=3，對于定理13的命題②，選擇源符號型矩陣為

那么

在集合S中任意選擇符號矩陣作為子系統矩陣的符號矩陣，例如，

令馬爾可夫切換信號σ（t）的轉移速率矩陣為

在符號矩陣中代入任意數值檢驗系統（1）的均方穩定，例如，

解線性矩陣不等式（4）得

圖3為馬爾可夫跳躍線性系統（1）的均方穩定的7次狀態軌跡，均為穩定狀態。

圖3 的7次實現

4 結論

本文基于馬爾可夫跳躍線性系統均方穩定的基礎上，考慮到隨著系統的復雜度增加，其線性矩陣不等式的可解性無法保證，所以將符號穩定引入馬爾可夫跳躍線性系統，分析其定性穩定性，得到了馬爾可夫跳躍線性系統均方符號穩定，有效地解決了可解性無法保證這個問題，最后通過一個符號例子和數值例子對其進行驗證，證實了其有效性。