在數學教學中從代數出發理解函數

胡 乙

(江蘇經貿職業技術學院 211168)

1 代數的產生及其功能

早期人們將數字與實際物品聯系在一起，此時數與對象不可分割，人們不能從中提取數字.隨著生產實踐發展，人們對數的認識也逐漸深化，能從一支筆、一個人、一張紙中抽象出數字1，隨著抽象思維的不斷發展，人們嘗試對數再次進行抽象，用代名詞、文字、符號等代表任意數，例如用a代表1,2,3,…,等，研究文字或代名詞算術的學問稱為代數學.一般算術是一定的，具體的，而代數是不確定的、普遍的，為了深入研究生活中各種變化規律，人們在代數的基礎上又發明了函數.由于代數能運用文字做幫手，故人們可用其表示算術法則、解方程、描述數學公式等.

1.1 代數與算術法則

以算術運算為例，其有一定的法則與規律，當描述加法交換律時，人們不能簡單地歸納為2+3=3+2，因為這個敘述只是上述規律的一個特點.當人們要表示整數之間關系時，必須用文字來代替具體的數字，即用代名詞來表示任意符合要求的數，這個代名詞表示的數不是固定的，而是變化的，比如用a+b=b+a描述加法交換律，上述過程可稱為算術的基本規律，其他算術基本規律也可用代數表示.有了算術規則，人們可以寫出任意代數運算的表達式，簡稱代數式.最簡單的代數式為單項式，比如axk.兩個及以上的單項式組合為多項式，如x+1.略為復雜的多項式如x3+x2+1等，由于在計算中要弄清各個對象數量關系，人們逐漸用代數來探索方程的普遍的系統的解法.

1.2代數與解方程

數學中最基礎的部分為算術，當人們發現算術中某些數量關系問題難以用普通算術方法解決，于是轉而運用代數方法.王貴水指出：“用文字代表數的學問即為代數.為了尋找系統的、普遍的求解數量問題的解法，產生了以解方程為原理的初等代數.”代數與方程密不可分.用數字、文字或符號表示兩個量相同的表達式稱為等式，其描述了各個對象數量間的數量關系，含有未知數的等式就是方程.如果用文字表示未知數，人們把尚未知道的數用代數表示，運用移項或約同類項的復原方法來求解未知數，這是代數的優點，并且它可以解決原本用普通算術方法難以解決的問題.

1.3 代數與公式

公式是特殊的方程，它說明了各個對象之間的關系.例如，人們用代數描述正方形面積公式S=a2，a為邊長.當a=1cm時，此時人們在代表一般數的代數中代入了特殊的數字.教師引導學生思考：如果將a與S視為兩個口袋，當代入不同的a時，S數值有何變化？S與a是否對應？比如輸入1個a，是否會出現2個S值？這里學生只要能判斷兩個口袋(集合)之間對應關系即可，教師運用數與代數知識，初步引導學生認識集合，為學生日后學習函數打下基礎.

2 代數與函數的聯系

隨著生產發展與科學技術的進步，人們需要研究變化與運動的數學，比如為了計算太陽與月亮的運動軌跡，為了計算子彈、炮彈的彈道等，人們必須發明研究變化之術的學問，即函數.學生可將函數理解為描述變化和運動的數學語言.教師可與從代數式、代數方程、代數與數軸、代數變量等方面引導學生理解函數.

2.1 從代數式的結果出發理解函數

代數可代表變動的數，從代數式可初步理解函數的特點.假設存在代數式x2+1，且x的值不固定，則該代數式沒有確定的數，學生可用x2+1=f(x)描述以上過程，以上代數式的值稱為x的值的函數.R·柯朗與H·羅賓直接將代數式的不定結果視為函數，并提出不同量之間如果有物理關系則會出現函數概念，變量為集合中的一個元素.

最簡單的函數為單項式函數，其表達式為f(x)=axk，a為任意實數，k是任意正整數，其也是單項式的次數.此類函數有f(x)=1，f(x)=-3x2等.

稍為復雜的為多項式函數，它是由兩個或者兩個以上單項式函數加在一起的和，如f(x)=1-3x2，其中單項式的最高次數代表該多項式的次數.

此外，還有自變量x以指數形式出現的指數函數以及三角函數等.

2.2 從代數解方程出發理解函數

代數能用字母表示未知數，從求解方程角度，教師可運用代數引導學生學習函數的作用.在早期解方程過程中，人們總是嘗試代入特殊的數字進行求解，例如，欲求解x2+2x-1=0，則人們可以嘗試代入兩個特殊的值，使得代數式結果一個大于0，一個小于0.假設x=1，則x2+2x-1=2>0.假設x=0，則x2+2x-1=-1<0.故x的值應該位于0與1之間，取x=0.5，則x2+2x-1=0.25>0，故0與0.5之間，一定有某個值使得原代數式為0，后續計算以此類推，直到求出x為止.

在求解方程的過程中，人們每次都要寫下諸如此類代數式，對于更為復雜的方程，如6x4-5x3+4x2+2x-1=0，如果每次都要完整寫出此類代數式，則增加了負擔、降低了效率.為提高效率，正如人們用乘法代替加法一樣，在解方程中，人們可仿照代數用一個字母，比如y代表此類代數式，這種簡化的代數形式即為函數.黃風義認為函數是代數的高級運算形式.對于x2+2x-1的結果，當用字母y來代表時，即y=x2+2x-1，該等式的含義是指，當x取某個數值，經過這個代數式運算后，得到y的相應數值.當x取不同數值，經過同樣代數式計算后，得到的y一般也不同.為了體現x的值決定y的值，人們可以擴展字母的個數，附加其他字母來代表x決定y的這個事實.例如，對于y(x)=x2+2x-1，其清楚地表明x決定y，y依賴于x.用y(x)代表x2+2x-1，即令y(x)=x2+2x-1，總之，人們用一個字母或者符號代表某個運算表達式，簡稱函數.有時人們也可用f(x)來代表函數，其中字母f是函數單詞(function)的首字母.

2.3 從代數與數軸出發理解函數

數、函數是數學的基本單元.在測量連續量與離散量時，為便于比較大小，笛卡爾創造性地將數以幾何形式表示為直線數軸上的點，如此將難以直接比較的量轉化為易于比較的量，通過比較數軸上的不同點與原點的距離，即可知道兩個量的大小.數軸是以原點為中心，向兩端無限延伸的直線.原點與0相對應，原點右邊表示正數，其左邊表示負數.人們可以將任意實數x描述為數軸上的點，可以在數軸上設定單位長度，這個點與原點的距離用設定的單位長度表示，即為實數x.如果x是一個固定實數，是具體的、個別的，則每個x都可以用數軸上某個確定的點表示，且數軸上每個點只能表示一個x.如果x是代數符號，是不確定的、普遍的數，則它是一個在數軸上不斷移動的點，假設在數軸上存在多個不確定的代數移動點，要研究其中的數量關系，就需要用到函數.卡爾·P·西蒙等主張從代數與數軸出發理解函數，并視函數為數軸上實數的對應法則.

從代數與數軸考察，函數表示某一確定的對應規則，它使得對于數軸上的每個實數，都有函數確定的唯一的數軸上的實數與之對應.如果一個函數需要向任意一個實數x賦值，使得它所賦的值比實數x本身多2個單位，此時可將函數寫成f(x)=x+2，該函數給2以4值，可以寫成f(2)=4，同樣，另一個函數使得它所賦的值是實數x本身，則可以寫成g(x)=x，f(x)與g(x)表示不同的函數.

2.4 從代數變量出發理解函數

代數為函數的發展提供了有力工具.人們用代數x可表示直線上可以任意移動的點，因為此x表示變動的數量，故人們稱為變量，變量的產生為函數的研究提供了方向和思路，人們可將函數視為描述變化和運動的數學語言.生活中的變量現象非常普遍，如果物體的面積與重量不斷變化，則以上兩個量即為變量.如果司機開車時不斷調整速度，則速度值也是變量.此外，人的呼吸、脈搏隨著情緒不斷變化，家中的自來水表、煤氣表隨著能源的消耗亦是不斷變化，以上皆為單個變量，單個變量只能孤立地描述事物的一個方面性質，為了應對生活中的復雜問題，為全面描述事物的狀態，人們設想存在多個變量，力求從多個變量出發以更加全面地理解事物.正如醫生看病時，不光要測量心跳，還要測量血壓、體溫，與僅僅測量心跳一個變量相比，以上該組變量一般能更為完整地描述病情.綜上，從代數變量出發，教師可將函數解釋為描述了各個變量間關系的數學語言.

除了單個變量外，兩個變量間具有的關聯變化是最簡單的情形，即一個變量變動如何影響另一個變量值，學生對此也容易理解.例如商品價格對其銷售量產生影響，貨幣投放量對本地區銀行利率有影響，原料的投入對產品的產出有影響等等.為幫助學生理解，教師可運用生產機器的比喻來講授函數.

整個函數如同一臺用電腦程序控制的生產機器.假設有兩個口袋A、B，電腦程序是某類代數運算法則，A口袋里裝有原料，向機器投入原料后機器按電腦程序進行生產并產出產品，這些產品存入B口袋.假設電腦程序為投入1單位原料，可產生2單位的產品，以此類推，投入x單位原料，則可產生2x單位產品.假設這里只投入3次原料，A口袋中投入原料分別為1單位、2單位、3單位時，相應的則B口袋中產出分別為2單位、4單位、6單位.從函數考察：A口袋為限制輸入量，它決定了B口袋的輸出，電腦程序或者運算法則為f，用函數描述為：

f：A→B，f：x→2x

(1)

(1)表示：函數必有投入與產出，缺一不可.A口袋為投入，每一次投入必產生一個產品，這個產品存在于B口袋中.在具體的運算程序2x控制下，機器對x進行加工，產出產品值為2x.教師可用口袋比喻集合解釋函數定義，如果A口袋中每一個投入物都能在B口袋中找到僅僅一個對應產出，則具體運算關系f就是函數.A口袋為定義口袋，B口袋為上域口袋，兩個口袋間不同的對應關系決定了函數的類型.

總之，函數是代數式的不定結果，是高級的代數表達形式，表明了數軸上實數之間的對應關系，是描述各個變量間關系的數學語言.