基于接觸式輪廓儀的工件參數(shù)校正模型建立與應(yīng)用

王阿利

(咸陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 基礎(chǔ)教學(xué)部，陜西，咸陽 712000)

0 引言

隨著測量技術(shù)的飛速發(fā)展，輪廓儀成為檢測工件表面粗糙程度的重要工具[1-2]，但由于工程工件使用頻次增多，工件的表面受到了一定程度的磨損，這些磨損很大程度上影響著工件的工作性能。為保證工程工件的工作精度，需要通過技術(shù)手段對工件的表面輪廓進(jìn)行測量、修正。目前，根據(jù)測量方式，輪廓儀可分為接觸式測量和非接觸式測量兩類[3]。由于非接觸式輪廓儀對工件輪廓表面測量要采用光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行掃描和圖像圖形處理等技術(shù)，測量誤差受工件表面粗糙度影響較大，因此在實(shí)際工程中很少采用。接觸式測量通常采用接觸式輪廓儀進(jìn)行，接觸式輪廓儀利用半徑為微米量級的探針從被測物體表面垂直劃過，再通過傳感器接收被測物體表面的輪廓信息采樣數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)化為電信號[4-5]。被測對象表面粗糙不平，或者輪廓儀中探針缺失、掃描不準(zhǔn)確等現(xiàn)象的存在，會給工件輪廓參數(shù)的準(zhǔn)確標(biāo)注帶來一定影響。因此，對于工件輪廓參數(shù)的校正研究也顯得尤為重要，在現(xiàn)代的研究理論中，對于利用接觸式輪廓儀進(jìn)行工件輪廓曲線擬合也出現(xiàn)了許多研究方法。朱洪濤等[6]基于工件輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)，并對其進(jìn)行平滑處理后，利用最小二乘擬合方法對工件輪廓曲線進(jìn)行擬合，取得了滿足精度要求的輪廓曲線。由于最小二乘擬合是線性估計，對于工件表面輪廓不規(guī)則曲線的使用有一定局限性，并且在工件輪廓曲線擬合過程中，每個回歸數(shù)據(jù)點(diǎn)不可能都進(jìn)行回歸計算。因此，本文以此為研究背景，以兩種工件輪廓測量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行工件輪廓線參數(shù)校正、工件輪廓傾斜角度計算、模型校正等研究。

1 工件輪廓模型概述

在使用輪廓儀進(jìn)行工件表面輪廓測量時，理想狀態(tài)下的測量曲線應(yīng)該是準(zhǔn)確的光滑曲線，由于測量過程中自然因素和人為因素的影響，檢測到的輪廓曲線可能呈現(xiàn)出粗糙不平的情況，給工件形狀的準(zhǔn)確標(biāo)注帶來影響。為進(jìn)一步減弱上述問題對輪廓儀帶來的影響，提高工件形狀標(biāo)注的準(zhǔn)確性，本文通過對兩種工件輪廓的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，建立工件輪廓曲線參數(shù)校正模型，實(shí)現(xiàn)對具有傾斜角度測量值的修正。

圖1為某工件輪廓圖，由于該工件表面輪廓較為復(fù)雜，是一個典型的復(fù)合圖形，采用一條曲線對所有的輪廓點(diǎn)進(jìn)行擬合是很難完成的，不易于求出其輪廓線的各項參數(shù)值。因此，考慮按照其實(shí)際模型特點(diǎn)，將工件實(shí)際拆分為8個區(qū)段進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合求解，在每個區(qū)段采用圖形拐點(diǎn)作為其分段點(diǎn)，運(yùn)用擬合的方程計算出圓心及半徑，進(jìn)而求出工件1 的各個參數(shù)值。

圖1 工件1在水平狀態(tài)下的測量輪廓線

2 工件輪廓參數(shù)修正模型的建立

2.1 工件輪廓函數(shù)擬合與參數(shù)求解

對工件1中的模型數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用MATLAB對每一區(qū)段的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整合。為了更精確地擬合出圓弧的近似模型，在第一區(qū)段凹型曲線的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次截取，得到如圖2所示的凹形曲線圓弧(x軸為直線運(yùn)動方向，z軸為位移測量)，使截取到的部分更接近圓的14/45弧形，其中弧長公式為d=θ*r(θ為弧長夾角)。再利用分段擬合方程進(jìn)行擬合，可以得到如圖3所示的擬合圖形。其次，在圖形曲線上取任意兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)式算出其斜率k1和圓弧半徑R1。第一區(qū)段的擬合方程如式(1)～式(4)所示。

圖2 第一段凹型曲線圓弧

圖3 第一段擬合后曲線

擬合方程：

x2+z2-102.4x+15.57z+36.51=0

(1)

斜率公式：

(2)

半徑公式：

(3)

弧長公式：

d1=arctanθ1×R1

(4)

根據(jù)上式則可以計算出圖1中工件參數(shù)∠1和∠2夾角的參數(shù)值為

tanθ=-2.4

(5)

∠1=112°，∠2=112°

同理可得，第二區(qū)段及第三區(qū)段的擬合圖形與參數(shù)如圖4～圖7所示。

圖4 第二段凹型曲線

圖5 第二段擬合后曲線

圖6 第三段凹形曲線

圖7 第三段擬合后曲線

第二區(qū)段的擬合方程如式(6)～式(8)所示。

擬合方程：

x2+z2-117.2x+20.81z+71.52=0

(6)

半徑公式：

(7)

弧長公式：

d2=arctanθ2×R2

(8)

根據(jù)上式則可以計算出圖1中工件參數(shù)∠3和∠4夾角的參數(shù)值為

tanθ=-3.48

(9)

∠3=106°，∠4=-107°

擬合方程：

x2+z2+0.116 4x-0.472 5z-4.458=0

(10)

半徑公式：

(11)

弧長公式：

d3=arctanθ3×R3

(12)

根據(jù)式(10)～式(12)則可以計算出圖1中的∠5和∠6夾角的參數(shù)值為

tanθ=-5.14

(13)

∠5=101°，∠6=102°

由于第四區(qū)段為規(guī)則圖形(如圖8)，因此根據(jù)工件輪廓數(shù)據(jù)找到第四區(qū)段對應(yīng)的極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)可以進(jìn)一步得到該區(qū)段曲線的垂直高度z值。其次，利用特殊點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線點(diǎn)線原理可以求出左、右邊線段的方程如式(14)、式(15)：

圖8 第四段凹形曲線

z1=0.19x+15.39

(14)

zr=-0.2x+14.59

(15)

根據(jù)上式，則可以得到圖8中曲線頂點(diǎn)的垂直距離為

z=0.979 368

由于第五區(qū)段近似擬合程度不高，因此將第五區(qū)段近似看成半圓圖形(如圖9)，應(yīng)用工程設(shè)計軟件截取出第五區(qū)段所在的數(shù)據(jù)區(qū)間，以數(shù)據(jù)區(qū)間上的縱坐標(biāo)作為圓弧上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)區(qū)間的端點(diǎn)值求出該段圓弧的近似擬合方程，進(jìn)而可以求得該段的各個參數(shù)。

圖9 第五段凹形曲線

由圓心方程得：

x2+z2-171.382 16x-3.262 06z+7 344.822 04=0

(16)

半徑公式：

(17)

弧長公式：

d5=arctanθ5×R5

(18)

由于第六區(qū)段工件輪廓區(qū)間的圓弧接近于擬合圓，因此對于該段并不需要求確定的角度，只需要對其進(jìn)行圓擬合處理，從而可以得出該段區(qū)間的擬合圓心與直徑。第六區(qū)段工件輪廓的圓弧圖形及擬合圖形如圖10、圖11所示，擬合方程如式(19)～式(21)。

圖10 第六段凹形曲線

圖11 第六段擬合后曲線

擬合方程：

x2+z2-117x-39.69z-75.58=0

(19)

半徑公式：

(20)

弧長公式：

d6=arctanθ6×R6

(21)

同理可得，工件輪廓第七區(qū)段區(qū)間與第八區(qū)段區(qū)間上的圓弧圖形及其擬合曲線圖，如圖12～圖15所示。進(jìn)而可以求得槽口寬度x11和圓心，連接圓心與弧長的兩個端點(diǎn)，由圓的性質(zhì)得該連接線為圓的半徑R，進(jìn)而可以根據(jù)式(22)進(jìn)一步得到弧長夾角θ。第七區(qū)間擬合曲線方程如式(23)～式(25)。

圖12 第七段凹形曲線

圖13 第七段擬合后曲線

圖14 第八段凹形曲線

圖15 第八段擬合后曲線

(22)

擬合方程：

x2+z2+0.022 38x-9.803z-0.701=0

(23)

半徑公式：

(24)

弧長公式：

d7=arctanθ7×R7

(25)

工件輪廓曲線第八區(qū)段擬合曲線方程如式(26)～式(28)。

擬合方程：

x2+z2+0.014 8x+1.774z-1.407=0

(26)

半徑公式：

(27)

弧長公式：

d8=arctanθ8×R8

(28)

根據(jù)式(1)～式(28)可以得到工件輪廓曲線各參數(shù)取值，如表1所示。將表1中的參數(shù)在圖1中進(jìn)行標(biāo)注，可以得到含有參數(shù)的工件輪廓，如圖16所示。

表1 工件輪廓各參數(shù)取值

圖16 水平狀態(tài)下工件輪廓曲線圖

通過對工件1在水平狀態(tài)下的輪廓數(shù)據(jù)分析可知，該工件輪廓模型由圓弧與直線構(gòu)成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，屬于典型的非線性系統(tǒng)，很難直接利用分析工具獲得其準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。因此，本文利用分段模型擬合思想對其模型數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，進(jìn)而建立了工件1的輪廓曲線參數(shù)修正模型如式(29)：

x2+z2+ax+bz-c=0

(29)

di=arctanθi×Ri

其中，a、b、c為工件輪廓曲線圓弧所在圓方程參數(shù)，i為圓弧的標(biāo)號，Ri為擬合圓的半徑，θi為圓弧對應(yīng)的圓周角，di為弧長。

2.2 工件輪廓傾斜角度的水平校正

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于測試位置的傾斜，可能使得測試數(shù)據(jù)存在一定的誤差。為了消除由于位置傾斜引起的誤差，本文根據(jù)工件1的傾斜角和水平狀態(tài)的測試數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法，建立輪廓儀測試工件水平校正數(shù)學(xué)模型：

x=(x-x0)×cosθ-(z-z0)×sinθ+x0

y=(x-x0)×sinθ+(z-z0)×cosθ+z0

(30)

式中，θ為工件模型修正角度。

圖17為輪廓儀測試工件1的傾斜曲線圖。根據(jù)上述校正數(shù)學(xué)模型，可以得到如圖18所示的工件1輪廓線的水平校正曲線圖。

圖17 斜率校正前工件輪廓曲線圖

圖18 斜率校正后校正斜率圖

3 工件輪廓參數(shù)修正模型的驗(yàn)證

為驗(yàn)證第二部分中所建立的工件輪廓參數(shù)修正數(shù)學(xué)模型，先通過在不同傾斜角度情況下對工件2的輪廓進(jìn)行位置和參數(shù)的修正，進(jìn)一步討論改輪廓修正模型的實(shí)用性。

圖19～圖23的(a)為工件2在不同角度、測量起點(diǎn)和終點(diǎn)等不同位置的多次檢測數(shù)據(jù)。首先利用式(29)中的水平修正模型對其進(jìn)行水平位置修正，修正結(jié)果如圖19～圖23的(b)所示。

(a)校正前

(a)校正前

(a)校正前

(a)校正前

(a)校正前

對比圖19～圖23的(b)中工件2在不同測量條件下的測量曲線圖，工件2輪廓在不同的測量工況下存在著一定的誤差。因此，為進(jìn)一步獲得工件2精確的輪廓曲線，根據(jù)數(shù)學(xué)模型可以對工件2輪廓線中的各參數(shù)進(jìn)行修正，進(jìn)一步得到工件2的參數(shù)如圖24所示。

圖24 工件2完整輪廓線

在參數(shù)條件過程中，主要程序代碼如下：

X=A;

n=length(X(:,1));

y=ones(n,1);

b=[rand(1)*1000 rand(1)rand(1)];

fun=inline(’X(:,1).^2+X(:,2).^2+a(1)*X(:,1)+a(2)*X(:,2)+a(3)’,’a’,’X’);

[a,r,J]=nlinfit(X,y,fun,b);

vpa(a,10);

X1=-a(1)/2；

Y1=-a(2)/2；

R=sqrt(a(1)^2+a(2)^2-4*a(3))/2；

4 總結(jié)

接觸式輪廓儀在機(jī)械行業(yè)和軸承行業(yè)運(yùn)用十分廣泛，輪廓儀的主要優(yōu)點(diǎn)是可以直接測量一些比較難以測得的零件的表面粗糙程度，而且可以快速測量整個剖面。本文根據(jù)工件1的輪廓曲線數(shù)據(jù)，以數(shù)據(jù)為先導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型，利用建立的數(shù)學(xué)模型對工件2在不同工況下與傾斜角度下的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)修正與水平位置調(diào)節(jié)，得到了工件2的精確輪廓模型，進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型簡單易懂，處理數(shù)據(jù)能力強(qiáng)，精確度較高。但由于該數(shù)學(xué)模型在進(jìn)行數(shù)據(jù)參數(shù)分析時測試數(shù)據(jù)眾多，在原始數(shù)據(jù)量特別密集的時候，該取點(diǎn)方法還需再做進(jìn)一步精細(xì)化操作。